高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第37练椭圆(原卷版+解析)

第37练椭圆一、课本变式练1.（人A选择性必修一P115习题3.1T6变式）已知圆C的方程为，，A为圆C上任意一点，若点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，则点P的轨迹方程为（

）A． B． C． D．2.（人A选择性必修一P115习题3.1T5变式）已知椭圆为C的左､右焦点，为C上一点，且的内心，若的面积为2b，则n的值为（

）A． B． C． D．33.（人A选择性必修一P115习题3.1T12变式）椭圆的一个短轴端点到一个焦点的距离为______．4.（人A选择性必修一P115习题3.1T4变式）已知焦点在x轴上的椭圆C经过点，且离心率为，则椭圆C的方程为______．二、考点分类练(一)椭圆的定义5.（2022届湖南省湘潭市高三下学期三模）椭圆的左､右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与E交于A，B两点，若△ABF2的周长为12，则E的离心率为（

）A． B． C． D．6.已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（

）A． B． C． D．(二)椭圆的方程7．已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，O为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，若四边形OMAN是正方形，则C的方程为（

）A． B． C． D．8.（2022届海南省海口市高三学生学科能力诊断）已知椭圆的离心率为，且经过点．(1)求C的方程；(2)动直线l与圆相切，与C交于M，N两点，求O到线段MN的中垂线的最大距离．(三)椭圆的几何性质9.（2022届河北省衡水市部分学校高三下学期4月联考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上点到焦点的最大距离为3，最小距离为1，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．10.（2022届山东省济南市历城第二中学高三下学期冲刺卷）设，F为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的动点，且椭圆上至少有17个不同的点，，，，…组成公差为d的递增等差数列，则（

）A．的最大值为B．的面积最大时，C．d的取值范围为D．椭圆上存在点P，使11.已知椭圆C：1的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，其中，若，||，则椭圆的离心率的取值范围为_____．(四)定点定值及最值问题12.（2022届天津市部分区高三上学期期末）已知椭圆的一个顶点为，离心率为.(1)求椭圆的方程(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点A，B，与轴交于点E，线段AB的中点为P，直线过点E且垂直于（其中O为原点），证明直线过定点.13.已知椭圆的短轴长为2，离心率为，下顶点为A，右顶点为B.(1)求椭圆C的方程；(2)经过点的直线交椭圆C于P，Q两点（点P在点Q下方），过点P作x轴的垂线交直线AB于点D，交直线BQ于点E，求证：为定值.14.（2023届安徽省十校联考高三上学期第一次教学质量检测）如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，且经过点，直线恒过定点且交椭圆于两点，为的中点.(1)求椭圆的标准方程;(2)记的面积为S，求S的最大值.三、最新模拟练15.（2022届上海市位育中学高三冲刺）已知椭圆的右焦点为，点是椭圆上三个不同的点，则“成等差数列”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16.（2022届安徽省合肥市第六中学高三下学期高考前诊断暨预测）已知斜率为的直线l与椭圆相交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于C，D两点，若C，D恰好是线段的两个三等分点，则椭圆E的离心率e为（

）A． B． C． D．17.（多选）（2023届云南省昆明市五华区高三上学期8月质量检测）椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，与C的另一交点为M，与C的另一交点为N，若直线与直线的斜率之积为，则（

）A．C的离心率为B．C．的周长为18D．设的面积为，的面积为，则18.（2022届四川省泸县第五中学高三下学期适应性考试）椭圆C：的上、下顶点分别为A，C，如图，点B在椭圆上，平面四边形ABCD满足，且，则该椭圆的短轴长为_________．19.（2023届浙江省杭州市桐庐中学高三阶段性测试）如图，椭圆：的离心率为，F是的右焦点，点P是上第一角限内任意一点，，，若，则的取值范围是_______．20.（2023届云南省下关第一中学高三上学期见面考）已知椭圆过点，离心率为，直线与椭圆交于两点，过点作，垂足为C点，直线AC与椭圆的另一个交点为．(1)求椭圆的方程；(2)试问是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．21.（2023届广东省六校高三上学期第一次联考）椭圆经过点且离心率为；直线与椭圆交于A，两点，且以为直径的圆过原点.(1)求椭圆的方程；(2)若过原点的直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的最大值.22.（2022届云南师范大学附属中学高三高考适应性月考）已知椭圆：经过点，离心率为，为坐标原点.(1)求的方程；(2)设，分别为的左、右顶点，为上一点（不在坐标轴上），直线交轴于点，为直线上一点，且，求证：，，三点共线.四、高考真题练23.(2022高考全国卷甲)椭圆的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称．若直线的斜率之积为,则C的离心率为（）A. B. C. D.24.（2022新高考全国卷1）已知椭圆,C的上顶点为A,两个焦点为,,离心率为．过且垂直于的直线与C交于D,E两点,,则的周长是________．25.（2022新高考全国卷2）已知直线l与椭圆在第一象限交于A,B两点,l与x轴,y轴分别交于M,N两点,且,则l的方程为_______．26.（2022高考全国卷乙）已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过两点．（1）求E的方程；（2）设过点的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足．证明：直线HN过定点．五、综合提升练27.已知椭圆E:的左焦点为F，过点P(2，t)作椭圆E的切线PA、PB，切点分别是A、B，则三角形ABF面积最大值为（

）A． B．1 C．2 D．28.（多选）（2022届重庆市第八中学校高三下学期适应性月考）椭圆的左、右焦点分别是，离心率为e，点A、B、P在椭圆E上，且满足(其中O为坐标原点)，则下列说法正确的是(

)A．若是等腰直角三角形，则B．的取值范围是C．直线过定点(定点坐标与a，b有关)D．为定值(定值与a，b有关)29.（2023届四川省成都市高三摸底测试）已知椭圆的左，右焦点分别为，，以坐标原点O为圆心，线段为直径的圆与椭圆C在第一象限相交于点A．若，则椭圆C的离心率的取值范围为______．30.（2022届上海市徐汇区高三下学期三模）已知椭圆：焦距为，过点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点､.(1)求椭圆的方程；(2)若，的最大值；(3)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若､和点共线，求实数的值.第37练椭圆一、课本变式练1.（人A选择性必修一P115习题3.1T6变式）已知圆C的方程为，，A为圆C上任意一点，若点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，则点P的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，所以，所以，而，所以点轨迹是以为焦点，长轴长是4的椭圆．设其方程为，，，，则，所以点轨迹方程是．故选C．2.（人A选择性必修一P115习题3.1T5变式）已知椭圆为C的左､右焦点，为C上一点，且的内心，若的面积为2b，则n的值为（

）A． B． C． D．3【答案】C【解析】由题意可得，的内心到x轴的距离就是内切圆的半径.又点P在椭圆C上，.又，，即，解得或（舍），.又，解得.故选C.3.（人A选择性必修一P115习题3.1T12变式）椭圆的一个短轴端点到一个焦点的距离为______．【答案】【解析】由题意，即为一个短轴端点到一个焦点的距离4.（人A选择性必修一P115习题3.1T4变式）已知焦点在x轴上的椭圆C经过点，且离心率为，则椭圆C的方程为______．【答案】【解析】由题意，设椭圆的方程为，由题可知，解得，椭圆的方程为.二、考点分类练(一)椭圆的定义5.（2022届湖南省湘潭市高三下学期三模）椭圆的左､右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与E交于A，B两点，若△ABF2的周长为12，则E的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为的周长为，根据椭圆的定义可得，解得，则，所以，则椭圆的离心率为.故选A.6.已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在椭圆中，由椭圆的定义可得，因为，所以，在中，，由余弦定理得，即所以所以的离心率.故选C(二)椭圆的方程7．已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，O为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，若四边形OMAN是正方形，则C的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由椭圆方程可知，由四边形OMAN是正方形可知，又点M在椭圆C上，则有，解得，又椭圆C的右焦点为，则，结合椭圆中，解得，，则椭圆C的方程为.故选A8.（2022届海南省海口市高三学生学科能力诊断）已知椭圆的离心率为，且经过点．(1)求C的方程；(2)动直线l与圆相切，与C交于M，N两点，求O到线段MN的中垂线的最大距离．【解析】(1)由题知：，解得.所以的方程为．(2)当的斜率不存在时，线段MN的中垂线为轴，此时到中垂线的距离为0．当的斜率存在时，设，，．因为与圆相切，则到的距离为，所以．联立方程，得，则，可得的中点为．则MN的中垂线方程为，即．因此到中垂线的距离为（当且仅当，时等号成立）．综上所述，到线段MN的中垂线的最大距离为．(三)椭圆的几何性质9.（2022届河北省衡水市部分学校高三下学期4月联考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上点到焦点的最大距离为3，最小距离为1，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设椭圆的半焦距为，由题意可得，解得，，所以椭圆C的离心率，故选A.10.（2022届山东省济南市历城第二中学高三下学期冲刺卷）设，F为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的动点，且椭圆上至少有17个不同的点，，，，…组成公差为d的递增等差数列，则（

）A．的最大值为B．的面积最大时，C．d的取值范围为D．椭圆上存在点P，使【答案】ABC【解析】由椭圆方程知，.选项A：因为P为椭圆上的动点，所以，所以的最大值为，故A正确；选项B：当点P为短轴顶点时，的高最大，所以的面积最大，此时，所以B正确；选项C：设，，，…组成公差为d的等差数列为，所以，，，故C正确；选项D：因为，又，所以，而，当且仅当时取等号.此时，故此时最大.此时故D不成立.故选ABC．11.已知椭圆C：1的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，其中，若，||，则椭圆的离心率的取值范围为_____．【答案】(，]【解析】设，由，知，因为，在椭圆上，，所以四边形为矩形，；由，可得1，由椭圆的定义可得，

①，平方相减可得②，由①②得；令t，令，所以，即，所以，所以，所以，解得.(四)定点定值及最值问题12.（2022届天津市部分区高三上学期期末）已知椭圆的一个顶点为，离心率为.(1)求椭圆的方程(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点A，B，与轴交于点E，线段AB的中点为P，直线过点E且垂直于（其中O为原点），证明直线过定点.【解析】(1)依题意，，∴，又，，∴，∴∴椭圆的标准方程为.(2)由（1）知右焦点坐标为，设直线方程为，，，由得，，∴，∴，，∴直线的斜率∴直线的斜率，令得点坐标为，∴直线的方程为，即∴直线恒过定点.13.已知椭圆的短轴长为2，离心率为，下顶点为A，右顶点为B.(1)求椭圆C的方程；(2)经过点的直线交椭圆C于P，Q两点（点P在点Q下方），过点P作x轴的垂线交直线AB于点D，交直线BQ于点E，求证：为定值.【解析】(1)依题意，b=1，，解得，椭圆C的方程为：；(2)依题意作下图：设，直线l的方程为，将点(2,-1)代入得：m=-2k-1，直线l：y=kx-(2k+1)；由于椭圆C：，∴A（0，-1），B（2,0），联立方程，得，，，直线AB的方程为：x-2y-2=0，直线BQ的方程为：，，，运用…①易证得：…②，下面证明②：，运用①中的韦达定理：=0，即②成立，∴，即点E和P的纵坐标之和等于D点纵坐标的2倍，∴D点是线段EP的中点，即；综上，椭圆C的方程为：，，故为定值.14.（2023届安徽省十校联考高三上学期第一次教学质量检测）如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，且经过点，直线恒过定点且交椭圆于两点，为的中点.(1)求椭圆的标准方程;(2)记的面积为S，求S的最大值.【解析】（1）由题意可得，直线恒过定点，因为为的中点，所以，即.因为椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆的方程为.（2）设.由得恒成立，则，则又因为点到直线的距离，所以令，则，因为，时，，在上单调递增，所以当时，时，故.即S的最大值为.三、最新模拟练15.（2022届上海市位育中学高三冲刺）已知椭圆的右焦点为，点是椭圆上三个不同的点，则“成等差数列”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题设有，故，而，故，同理，，若成等差数列，则，故，若，则即，故成等差数列，故“成等差数列”是“”的充要条件，故选C16.（2022届安徽省合肥市第六中学高三下学期高考前诊断暨预测）已知斜率为的直线l与椭圆相交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于C，D两点，若C，D恰好是线段的两个三等分点，则椭圆E的离心率e为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，设，，∵C，D分别是线段的两个三等分点，∴，，则，得，利用点差法，由两式相减得，整理得到，即，所以.故选C．17.（多选）（2023届云南省昆明市五华区高三上学期8月质量检测）椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，与C的另一交点为M，与C的另一交点为N，若直线与直线的斜率之积为，则（

）A．C的离心率为B．C．的周长为18D．设的面积为，的面积为，则【答案】ABCD【解析】如图所示：设，联立，得，解得，，则，所以，因为直线与直线的斜率之积为，所以，即，则，所以，，则，，，所以，，则，故选ABCD18.（2022届四川省泸县第五中学高三下学期适应性考试）椭圆C：的上、下顶点分别为A，C，如图，点B在椭圆上，平面四边形ABCD满足，且，则该椭圆的短轴长为_________．【答案】6【解析】由题意得，设，由可得在以为直径的圆上，又原点为圆上弦的中点，所以圆心在的垂直平分线上，即在轴上，则，又可得，故圆心坐标为，所以圆的方程为，将代入可得，又，解得，则，故短轴长为.19.（2023届浙江省杭州市桐庐中学高三阶段性测试）如图，椭圆：的离心率为，F是的右焦点，点P是上第一角限内任意一点，，，若，则的取值范围是_______．【答案】【解析】由于点在椭圆上运动时，与轴的正方向的夹角在变，所以先设，又由，可知，从而可得，而点在椭圆上，所以将点的坐标代入椭圆方程中化简可得结果．【详解】设，，，则，由，得，代入椭圆方程，得，化简得恒成立，由此得，即，故．20.（2023届云南省下关第一中学高三上学期见面考）已知椭圆过点，离心率为，直线与椭圆交于两点，过点作，垂足为C点，直线AC与椭圆的另一个交点为．(1)求椭圆的方程；(2)试问是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．【解析】（1）由已知得，解得，所以．（2）由已知，不妨设，则，，所以，，所以，代入椭圆的方程得：，设，则，即，所以，即，所以，即，即，也即为定值．21.（2023届广东省六校高三上学期第一次联考）椭圆经过点且离心率为；直线与椭圆交于A，两点，且以为直径的圆过原点.(1)求椭圆的方程；(2)若过原点的直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的最大值.【解析】（1）椭圆经过点，,椭圆的离心率为，则，即,即，解得，所以椭圆的方程为.（2）当直线斜率不存在时，设以AB为直径的圆的圆心为，则，则不妨取，故，解得，故方程为，直线过中点，即为轴，得，，故；直线斜率存在时，设其方程为，，，联立，可得，则①，②，

③，以为直径的圆过原点即，化简可得，将②③两式代入，整理得，即④，将④式代入①式，得恒成立，则，设线段中点为，由，不妨设，得，又∵，∴，又由，则点坐标为，化简可得，代回椭圆方程可得即，则，综上，四边形面积的最大值为.22.（2022届云南师范大学附属中学高三高考适应性月考）已知椭圆：经过点，离心率为，为坐标原点.(1)求的方程；(2)设，分别为的左、右顶点，为上一点（不在坐标轴上），直线交轴于点，为直线上一点，且，求证：，，三点共线.【解析】(1)由题意，得，，又因为，所以，，故椭圆的方程为(2)证明：，，设，则，所以直线的方程为，令，得点的坐标为，设，由，得显然，直线的方程为，将代入，得，即，故直线的斜率存在，且又因为直线的斜率，所以，即，，三点共线．四、高考真题练23.(2022高考全国卷甲)椭圆的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称．若直线的斜率之积为,则C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得,设,则,则,故,又,则,所以,即,所以椭圆的离心率.故选A.24.（2022新高考全国卷1）已知椭圆,C的上顶点为A,两个焦点为,,离心率为．过且垂直于的直线与C交于D,E两点,,则的周长是________．【答案】13【解析】∵椭圆的离心率为,∴,∴,∴C的方程可化为,不妨设左焦点为,右焦点为,如图所示,∵,∴,∴为正三角形,∵过且垂直于的直线与C交于D,E两点,为线段的垂直平分线,直线的方程：,代入椭圆方程,整理化简得,∴,∴,得,∵为线段的垂直平分线,根据对称性,,∴的周长等于的周长,利用椭圆的定义得周长为.25.（2022新高考全国卷2）已知直线l与椭圆在第一象限交于A,B两点,l与x轴,y轴分别交于M,N两点,且,则l的方程为_______．【答案】【解析】解法一：设的中点为,因为,所以,设,,则,,所以,即所以,即,设直线,,,令得,令得,即,,所以,即,解得或（舍去）,又,即,解得或（舍去）,所以直线,即解法二：,设的中点为,则,设,,则,,所以,即所以,即,所以,由得,两式联立解得,所以所以直线AB方程为,即26.（2022高考全国卷乙）已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过两点．（1）求E的方程；（2）设过点的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足．证明：直线HN过定点．【解析】（1）设椭圆E的方程为,过,则,解得,,所以椭圆E方程为：.（2）,所以,①若过点的直线斜率不存在,直线.代入,可得,,代入AB方程,可得,由得到.求得HN方程：,过点.②若过点的直线斜率存在,设.联立得,可得,,且联立可得可求得此时,将,代入整理得,将代入,得显然成立,综上,可得直线HN过定点五、综合提升练27.已知椭圆E:的左焦点为F，过点P(2，t)作椭圆E的切线PA、PB，切点分别是A、B，则三角形ABF面积最大值为（

）A． B．1 C．2 D．【答案】A【解析】由椭圆方程，知，，设