清单14 相似图形基础（3个考点梳理+14种题型解读+提升训练）

清单14相似图形基础（3个考点梳理+14种题型解读+提升训练）【知识导图】【知识清单】考点一比例线段比例线段的定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比)与另两条线段的比相等，如ab=cd（即ad=bc），我们就说这四段线段是成比例线段，简称比例线段。其中a、b、c、d叫组成比例的项；a、d叫比例的外项，b、c【补充】当比例的内项相等时，即ab=b【解题思路】1）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依次排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等即可；2）成比例的线段是有顺序的，比如：a、b、c、d是成比例的线段，则成比例线段只能写成ab=cd（即：第一条【考试题型1】理解成比例线段的概念1．（2023上·湖南衡阳·九年级衡阳市外国语学校校考期中）下列各组线段中，是成比例线段的是（

）A．1cm,3cm,4cm,6cm． B．2cm,4cm,0.8cm,0.6cm．C．3cm,9cm,18cm,6cm． D．3cm,9cm,10cm,4cm．2．（2023上·陕西西安·九年级西安行知中学校考阶段练习）下列四组线段中，不成比例的是（

）A．3，9，2C．1，2，3．（2023上·安徽合肥·九年级校考阶段练习）已知线段b是线段a，c的比例中项，a=4cm，b=9cm，那么c=4．（2023上·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）已知线段a、b、c满足a:b:c=2:3:4，且2a+b+c=22．(1)求a、b、c的值；(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．【考试题型2】图上距离与实际距离1．（2023上·山西临汾·九年级校考期中）在比例尺为1:10000000的地图上，A，B两城市之间的距离为5cm，则这两城市之间的A．0.5km B．5km C．50km2．（2023上·广西贺州·九年级统考期中）小红的爸爸是汽车制造厂的工程师．他要将一个长4毫米、宽2毫米的零件画在一张A3纸（42A．1∶80 B．80∶1 C．1∶800 D．800∶13．（2022下·九年级单元测试）在比例尺为1:100000的地图上，若A，B两地相距20km，则两地的图上距离为（

A．0.2cm B．2cm C．20cm4．（2022下·九年级单元测试）如图，直线a是直线b沿着箭头平移所得的像，如果直线a、b表示两条公路，比例尺：1:16000，那么请你通过测量，判断一下，公路a、b的实际距离约为（

）（精确到1m）A．224m B．208m C．240m【考试题型3】成比例线段的实际应用1．（2023上·山西晋中·九年级统考阶段练习）如图，一块矩形绸布的长AB=am，宽AD=2m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即AEAD=AD

2．（2021上·九年级课时练习）一块三角形土地的一边长为120m，在地图上量得它的对应边长为0.06m，这边上的高为0.04m，求这块地的实际面积．考点二比例的性质①基本性质：a②变形：ab=③合、分比性质：a【注意】实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：a④等比性质：如果ab=⑤黄金分割：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果ACAB【考试题型4】利用比例的性质判断式子变形正误1．（2023上·山东潍坊·八年级统考期中）已知ab=cA．ac=bd B．a+bb=2．（2023上·湖南邵阳·九年级统考期中）下列比例式中(a、b、c、d都不等于0)，不能得到ad=bc的是（

）A．ab=cd B．dc=3．（2023上·安徽合肥·九年级阶段练习）如果a2=bA．a+1b+1=34 B．b-ab=13 C．ab=23 D．a+bA．xy=45 B．xy=【考试题型5】利用比例的性质求未知数的值1．（2023上·广西贵港·九年级统考期中）已知四个数2，-3，4，x成比例，则x的值是（

）A．6 B．-6 C．32 D．2．（2023上·甘肃张掖·九年级校考阶段练习）已知ab+c=ba+c=A．12 B．-1 C．12或-1 D．-3．（2023上·山西晋城·九年级统考期中）若线段a，b，c满足ab=bc，且A．4 B．6 C．8 D．164．（2023上·山东青岛·九年级山东省青岛第五十九中学校考期中）已知a2=b3=c【考试题型6】利用比例的性质求代数式的值1．（2023上·四川巴中·九年级校考阶段练习）如果x2=y3=z2．（2023上·四川成都·九年级校考期中）已知ab=cd=e3．（2023上·全国·九年级专题练习）已知xy=23，则4．（2023上·浙江·九年级期中）已知m-3nn=15．（2021上·重庆渝中·八年级统考期末）阅读理解：已知：a，b，c，d都是不为0的数，且ab=c证明：∵ab∴ab∴a+bb根据以上方法，解答下列问题：（1）若ab=3（2）若ab=cd，且a≠b，c≠【考试题型7】理解黄金分割的概念1．（2023上·安徽六安·九年级校考阶段练习）若点P为线段AB的黄金分割点，且AP<BP，BP=10，则AP=．2．（2023上·上海杨浦·九年级期末）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，那么AP-BPBP的值为3.（2023上·山东青岛·九年级青岛大学附属中学校考期中）如图，点C是线段AB的黄金分割点，计算线段AB的黄金比ACAB

【考试题型8】黄金分割的实际应用1．（2023上·安徽安庆·九年级校联考期中）大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP>PB），如果AP的长度为10cm，那么AB的长度是（

A．55+5 B．15-55 C．52．（2023上·山东济南·九年级统考期中）2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看做是线段AB的黄金分割点（AC<CB），AB=10cm，则BC=cm3．（2023上·四川成都·九年级石室中学校联考期中）“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．主持人站在舞台的黄金分割点的位置会更自然得体．如图，舞台长AB=8米，C，D是线段AB的黄金分割点，若主持人从舞台黄金分割点C走到另一个黄金分割点D，则主持人所走的路程CD的长为4．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，AC，BC，AB各部分长度的比满足ACBC=BCAB=5-12，已知AB=565．（2023上·江西鹰潭·九年级统考期中）人体上半身长和下半身长的黄金比为0.618:1，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？

考点三平行线分线的成比例平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例。1）已知l3∥l4∥l5,可得等2）把平行线分线段成比例的定理运用到三角形中，会出现下面的两种情况：

把l4（图1）或l3（图2）看作平行底边BC的直线，再根据平分线分线段成比例的定理，我们可以得出，平行于三角形一边的直线和其两边相交（或其两边的延长线相交），所构成的三角形和原三角形相似。【考试题型9】由平行线分线段成比例判断比例式正误1．（2023上·安徽淮北·九年级淮北市第二中学校联考期中）如图，AB∥CD∥

A．ACCE=DFC．ACCE=AB2．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十九中学校校考期中）如图，△ABC中，D是AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC边于点E，N是BC边上一点，连接AN交DE于点M，则下列结论错误的是（）A．AMAN=MECN B．ADBD=3．（2023上·北京石景山·九年级校考期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，下列结论错误的是（

A．ADAB=AEC．BDAB=ECAC D．ADAB=DE1．（2023上·贵州贵阳·九年级统考期中）如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等．线段AC在横格纸上，与作业本的横格交于点B．若AB=6，则AC的长是（

）A．9 B．12 C．14 D．152．（2023上·广西贵港·九年级统考期中）如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，且DE∥BC，若AB=3BD，则CEACA．12 B．13 C．143．（2023上·浙江·九年级校联考期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=3,ADA．4 B．6 C．8 D．104．（2023上·甘肃张掖·九年级校考阶段练习）已知：如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，若

【考试题型11】平行线分线段成比例（X型）1．（2023上·浙江金华·九年级校联考期中）如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b，c于A，B，C；直线DF分别交a，b，c于D，E，F．若AB=2，AC=5，DE=3，则EF=（

）A．2 B．72 C．4 D．2．（2023上·海南儋州·九年级儋州市第一中学校联考期中）如图，AB∥CD∥EF，AD:DF=3:1，BE=12，那么A．2 B．125 C．3 D．3．（2023上·河南周口·九年级统考期中）如图，AB∥CD∥EF，AD:DF=3:4，A．8 B．7 C．6 D．104．（2023上·山西长治·九年级统考期中）如图，AB∥CD∥EF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，C，F和点B，D，E．若BDDE=2A．32 B．23 C．355．（2023上·河北邯郸·九年级校考阶段练习）如图，直线a∥b∥c，另两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F.已知AB=3，BC=2，DE=6，则DF等于（A．10 B．11 C．8 D．46．（2023上·广西·九年级校考期中）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、(1)如果EF=10，求DE、(2)如果AD=5,CF=12，求BE的长．【考试题型12】平行线分线段成比例与三角形中位线综合1．（2021下·福建泉州·八年级泉州五中校考期末）【教材呈现】如图是华师版九年级上册第77-78页部分内容：如图，在ΔABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，根据画出的图形，可以猜想：DE//BC，且DE=1结论：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．证明：在ΔABC中，∵点D、E分别是AB与AC的中点，∴AD∵∠A=∠A，∴ΔADE∼ΔABC，∴∠ADE=∠ABC，DEBC=ADAB=【探究】如图①，ΔABC中，点D、F分别为边AB、AC的中点，点G、E在边BC上．若DG//FE，求证：S四边形【应用】如图②，ΔABC中，点E、F分别为边AB、AC的中点，D在线段AB上（不与点A、B重合），点H、G分别为线段DB、DC的中点，若SΔADC=5，则S【拓展提升】如图③，在ΔABC中，D、E分别在边BA、BC上．BDDA=BEEC=23，在线段DE上取一点F，（点F不与点D、E重合），连接BF并延长BF交AC于点G．点M、N在线段AC上，且AM=2EF2．（2023·山西运城·统考二模）请阅读下列材料，非完成相应的任务．利用辅助平行线求线段的比三角形的中位线定理是三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．平行线分线段成比例定理是两条平行线被两条直线所截，截得的线段对应成比例．有些几何题，若题中出现了平行线，我们可以直接利用这两个定理求出两线段的比值，而有些几何题，题中没有平行线这样的条件，那么我们可以通过作辅助平行线，然后再利用这两个定理加以解决．举例：如图1，AD是△ABC的中线，AE:AD=1:5，BE的延长线交AC于点F．求AFCF下面是该题的部分解题过程：解：如图2，过点D作DH∥BF交AC于点H．∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC．∵DH∥BF，∴FHCH=BDCD∵EF∥DH，…任务：(1)请补充材料中剩余部分的解答过程．(2)上述解题过程主要用的数学思想是______．（单选）A．方程思想

B．转化思想

C．分类思想

D．整体思想(3)请你换一种思路求AFCF【考试题型13】平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线4．（2023上·浙江金华·九年级校联考期中）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，CA上的点，且BD=CE，连接AD，BE交于点P(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)若AE:EC=5:3，求BP:PE的值；(3)若点P恰好落在以AC为直径的圆上，求AE:EC的值．5．（2023上·安徽合肥·九年级合肥38中校考期中）如图，已知D为△ABC的边AC上的一点，E为CB的延长线上的一点，且EFFD=AC

【考试题型14】平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线.1．（2023上·辽宁沈阳·九年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC=15，BC=24．点P，Q分别为△ABC边上的动点，动点P以每秒10个单位长度的速度，沿B-A-C路线向终点C匀速运动，动点Q同时从点C出发，在边CB上以每秒4个单位长度的速度向终点B匀速运动．当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．设动点运动时间为t秒t>0．

(1)AP=______，BQ=______（用含t的代数式表示）；(2)当PQ∥AB时，求时间t的值；(3)当PQ=12时，请直接写出此时时间t的值．2．（2021下·福建龙岩·八年级校考阶段练习）已知，如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2．

(1)若CF=2，AE=3，求BE长；(2)证明：△EGC≌△DFC；(3)求证：∠CEG=1【提升练习】1．（2021下·广东深圳·八年级深圳外国语学校校考期末）已知非零实数a，b，c，d满足abA．ad=cb B．ac=bd C2．（2020上·浙江宁波·九年级校考期中）已知x+2yy=125，则A．5:2 B．5:4 C．4:5 D．2:53．（2020下·江苏苏州·八年级统考期末）点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，若AC＝2，则BC的长为（）A．5+12 B．5-12 C．5+1 D4．如图，已知AB // CD // EF，那么下列结论不正确的是（

）A．ADDF=BCCE B．BCCE=5．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，设G是△ABC的重心，过G的直线分别交AB，AC于点P，Q两点，则PBPA+QCQA6．如图，点D在△ABC的边BC的延长线上，AD为△ABC的外角的平分线，AB＝2BC，AC＝3，CD＝4，则AB的长为．7．（2011·云南曲靖·中考真题）已知△ABC中，DE//BC，EF//AB，AB＝3，BC＝6，AD:D