专题21反比例函数的图象与性质（3个知识点5种题型2种中考考法）（解析版）-初中数学北师大版9年级上册

【关注公众号：林樾数学】免费获取更多初高中数学学习资料专题21反比例函数的图象与性质（3个知识点5种题型2种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.反比例函数图象的画法（重点）知识点2.反比例函数的图象与性质（重点）知识点3.反比例函数表达式中比例系数k的几何意义（难点）【方法二】实例探索法题型1.反比例函数的图象与性质的应用题型2.反比例函数与图形面积问题题型3.利用反比例函数图象的对称性解题题型4.创新题题型5.反比例函数与几何图形的综合【方法三】仿真实战法考法1.反比例函数的比例系数k的几何意义考法2.利用反比例函数的性质比较函数值大小【方法四】成果评定法【学习目标】能画出反比例函数的图象，知道反比例函数的图象是双曲线。理解反比例函数的性质，并能运用其性质解决相关的问题。理解反比例函数中的比例系数k的几何意义，并能运用其意义求与反比例函数图象有关的图形面积问题。【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.反比例函数图象的画法（重点）（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；（4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．【例1】（2022春·全国·九年级专题练习）在同一平面直角坐标系中，画出反比例函数与的图象.【分析】用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表---描点---连线．【详解】解：列表如下：x-4-3-2-11234-2-4-8842248-8-4-2描点、连线，如图所示.【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象，列表取值时，x≠0，因为x=0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．知识点2.反比例函数的图象与性质（重点）1、反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.注意：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；（2）在反比例函数(为常数，)中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．2.反比例函数的性质（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；注意：（1）反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.（2）反比例的图像关于原点的对称【例2】（2022秋•南华县期末）反比例函数与一次函数y＝kx+1在同一坐标系的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、由反比例函数的图象可知，k＞0，由一次函数的图象可知k＜0，两结论矛盾，故本选项错误；B、由反比例函数的图象可知，k＜0，由一次函数的图象可知k＞0，故本选项正确，符合题意；C、由反比例函数的图象可知，k＜0，由一次函数的图象可知k＞0，故本选项错误，不符合题意；D、由反比例函数的图象可知，k＞0，由一次函数的图象可知k＜0，由一次函数在y轴上的截距可知k＝﹣1，故本选项错误．故选：B．【变式】（2022秋•大渡口区校级期末）在同一坐标系中，函数和y＝kx﹣2的图象大致是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：k＞0时，一次函数y＝kx﹣2的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，选项A、C不符合题意，选项B符合题意；k＜0时，一次函数y＝kx﹣2的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，选项D不符合题意．故选：B．【例3】（2023•瑞安市开学）对于反比例函数，当﹣1＜y≤2，且y≠0时，自变量x的取值范围是（）A．x≥1或x＜﹣2 B．x≥1或x≤﹣2 C．0＜x≤1或x＜﹣2 D．﹣2＜x＜0或x≥1【答案】A【解答】解：由题知，因为反比例函数表达为，所以其函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小．则当﹣1＜y＜0时，对应的图象在第三象限，且x的取值范围是x＜﹣2．当0＜y≤2时，对应的图象在第一象限，其x的取值范围是x≥1．所以x的取值范围是：x≥1或x＜﹣2．故选：A．【变式】（2023•西湖区校级开学）若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），都在反比例函数（k为常数，k＞0）的图象上，其中y2＜0＜y1＜y3，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x1＜x3【答案】B【解答】解：∵k＝8＞0，y2＜0＜y1＜y3，∴点B在第二象限，点A、C在第一象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，∴x2＜0，x3＞x1＞0，∴x2＜x3＜x1．故选：B．知识点3.反比例函数表达式中比例系数k的几何意义（难点）通过反比例函数上一点向一条坐标轴作垂线，这个点与垂足和原点所构成的三角形面积为，与两条坐标轴围成矩形面积为，注意加绝对值时，有正负两个答案．【例4】（2023•和平区校级三模）如图，点A在双曲线上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积S△AOB＝2，则k的值为（）A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4【答案】D【解答】解：∴S△AOB＝2，∴|k|＝4，∵函数在二、四象限，∴k＝﹣4．故选：D．【变式】如图，矩形ABCD的边CD在x轴上，顶点A在双曲线上，顶点B在双曲线上，求矩形ABCD的面积．AABCDEOxy【答案】2．【解析】设，则，由此可得：，，则有．【总结】考查反比例函数的几何意义的综合应用，通过反比例函数上一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积为．【方法二】实例探索法题型1.反比例函数的图象与性质的应用1．（2023•株洲）下列哪个点在反比例函数的图象上？（）A．P1（1，﹣4） B．P2（4，﹣1） C．P3（2，4）D．【答案】D【解答】解：A．∵1×（﹣4）＝﹣4≠4，∴P1（1，﹣4）不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意；B．∵4×（﹣1）＝﹣4≠4，∴P2（4，﹣1）不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意；C．∵2×4＝8≠4，∴P3（2，4）不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意；D．∵，∴在反比例函数的图象上，故选项符合题意．故选：D．2.（2023•西湖区校级开学）若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），都在反比例函数（k为常数，k＞0）的图象上，其中y2＜0＜y1＜y3，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x1＜x3【答案】B【解答】解：∵k＝8＞0，y2＜0＜y1＜y3，∴点B在第二象限，点A、C在第一象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，∴x2＜0，x3＞x1＞0，∴x2＜x3＜x1．故选：B．3.（2023春•东阳市期末）已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点（3，﹣2）．​（1）求此反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．（2）求当y≤4，且y≠0时自变量x的取值范围．【答案】（1）反比例函数的表达式为y＝﹣，图象见详解；（2）x≤﹣或x＞0．【解答】解：（1）把点（3，﹣2）代入y＝（k≠0），﹣2＝，解得：k＝﹣6，∴反比例函数的表达式为y＝﹣，补充其函数图象如下：（2）当y＝4时，﹣＝4，解得：x＝﹣，∴当y≤4，且y≠0时，x≤﹣或x＞0．4.（1）平面直角坐标系中，点A在第二象限，且m为整数，求过点A的反比例函数解析式；（2）若反比例函数的图像位于第二、四象限内，正比例函数过一、三象限，求整数k的值．【答案】（1）；（2）2．【解析】（1）由点A在第二象限，可知，，得：，因为m为整数，即可得：，．设过点的反比例函数解析式为，即有，得：，即反比例函数解析式为；（2）由反比例函数图像在二、四象限，可知，即，由正比例函数过一、三象限，可知，由此可得：，则整数的值为2．【总结】考查正比例函数和反比例函数性质的综合应用，根据函数所在象限判断出相应的比例系数与0的大小关系，解决问题．5.已知反比例函数，当自变量x的取值范围为时，相应的函数取值范围是，求这个反比例函数解析式．【答案】．【解析】当时，在每个象限内，反比例函数的值随着值的增大而减小，可知 时，，时，，由，可知此时符合 题意；当时，在每个象限内，反比例函数的值随着值的增大而增大，可知 时，，时，，由，可知此时不符合题意， 综上所述，，即反比例函数解析式为．【总结】考查反比例函数的增减性的综合应用，注意根据反比例函数的性质进行分析判断．题型2.反比例函数与图形面积问题6.（1）若P是反比例函数图像上的一点，PQ⊥y轴，垂足为点Q，若，求k的值；（2）已知反比例函数的图像上有一点A，过A点向轴，y轴分别做垂线，垂足分别为点，且四边形的面积为15，求这个反比例函数解析式．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据反比例函数几何意义，可得，解得：；（2）根据反比例函数几何意义，可得，解得：，即反比例函数解析式为．【总结】考查反比例函数的几何意义，通过反比例函数上一点向一条坐标轴作垂线，这个点与垂足和原点所构成的三角形面积为，与两条坐标轴围成矩形面积为，注意加绝对值时，有正负两个答案．7.（2022秋•朝阳期末）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，6），B（3，n）两点．（1）求反比例函数的解析式和n的值；（2）根据图象直接写出不等式k1x+b的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵A（1，6），B（3，n）在y＝的图象上，∴k2＝6，∴反比例函数的解析式是y＝．∴n＝＝2；（2）当0＜x＜1或x＞3时，k1x+b＜；（3）∵A（1，6），B（3，2）在函数y＝k1x+b的图象上，∴，解得：，则一次函数的解析式是y＝﹣2x+8，设直线y＝﹣2x+8与x轴相交于点C，C的坐标是（4，0）．S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝OC（|yA|﹣|yB）＝8．题型3.利用反比例函数图象的对称性解题8．（2023•福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝的图象的四个分支上，则实数n的值为（）A．﹣3 B．﹣ C． D．3【答案】A【解答】解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点O，过点A，B分别作x轴的垂线．垂足分别为C、D，点B在函数y＝上，如图：∵四边形是正方形，∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°，∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（AAS），∴S△AOC＝S△OBD＝＝，∵点A在第二象限，∴n＝﹣3，故选：A．9．（2023•广西）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1，S2，S3，S4，若，则k的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解答】解：设A（m，），在y＝﹣中，令y＝得x＝﹣，令x＝m得y＝﹣，∴B（﹣，），D（m，﹣），∴C（﹣，﹣），∴S2＝S4＝1，S3＝，∵，∴1++1＝，解得k＝2，经检验，k＝2是方程的解，符合题意，故选：C．10．（2023·广东广州·广州大学附属中学校考二模）已知：(1)化简A；(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求A的值．条件①：若点是反比例函数图象上的点；条件②：若a是方程的一个根．【答案】(1)(2)①②【分析】（1）根据分式通分、平方差公式化简即可；（2）根据反比例函数点的特征和一元二次方程解的定义即可求出，代入即可．【详解】（1）解：；（2）解：①点是反比例函数图象上的点，∴，∴；②是方程的一个根，∴，∴，∴；【点睛】本题考查分式化简，涉及到反比例函数点的特征和一元二次方程的解，正确化简分式是关键．11．（2022秋·九年级单元测试）点A是反比例函数的图像上一点，直线轴，交反比例函数（）的图像于点B，直线轴，交于点C，直线轴，交于点D．(1)若点A（1，1），分别求线段AB和CD的长度；(2)对于任意的点A（a，b），试探究线段AB和CD的数量关系，并说明理由．【答案】(1)，(2)，理由见解析【分析】（1）根据题意求得B（3，1），C（1，3），D（，3），即可求得AB和CD的长度；（2）根据题意得到A（a，），B（3a，）．C（a，），D（，），进一步求得AB=2a，CD=a．即可求得AB＞CD．【详解】（1）解：如图，∵轴，A（1，1），B在反比例函数的图象上，∴B（3，1）．同理可求：C（1，3），D（，3）．∴，（2）解：．证明：如图，∵A（a，b），A在反比例函数的图象上，∴A（a，）．∵轴，B在反比例函数的图象上，∴B（3a，）．同理可求：C（a，），D（，）．∴，．∴∴．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，表示出A、B、C、D的坐标是解题的关键．12．（2022·江苏常州·校考二模）如图，直线与双曲线相交于、B两点．(1)求m及k的值；(2)不解关于x、y的方程组直接写出点B的坐标；(3)直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数和反比例函数即可求；（2）根据点B与点A关于二四象限角平分线对称写出即可；（3）观察函数图象根据其性质直接写出即可．【详解】（1）将点A（2,1）的坐标分别代入一次函数与反比例函数，可得，，，解得：，；（2）∵两点关于直线对称，∴点的坐标为；（3）由得，即反比例函数的函数值大于一次函数的函数值，由图像可知：或．【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及了点关于对称的知识，注意数形结合在解题中的应用．13．（2023·全国·九年级专题练习）函数的图象可以由函数的图象左右平移得到．(1)将函数的图象向右平移4个单位得到函数的图象，则____；(2)下列关于函数的性质：①图象关于点对称；②随的增大而减小；③图象关于直线对称；④的取值范围为．其中说法正确的是________（填写序号）；(3)根据（1）中的值，写出不等式的解集：_________．【答案】(1)(2)①④(3)或【分析】（1）根据“左加右减”的规律即可求解；（2）根据平移的性质得出①正确；类比反比例函数图象的性质即可判断②④，根据平移的性质将向左平移个单位，得出，即可判断③；（3）根据题意，画出两个函数图象，结合图象即可求解．【详解】（1）解：∵函数的图象向右平移4个单位得到函数的图象，∴；故答案为：．（2）解：∵可以看作是由向左平移个单位得到的，∵函数图象的对称中心为，将其对称中心向左平移个单位，则对称中心为，故①正确，②类比反比例函数图象，可得，故函数图象不是连续的，在直线两侧，随的增大而减小；故②错误；③∵关于对称，同①可得，向左平移个单位得到：∴图象关于直线对称；故③不正确；④∵平移后的对称中心为，左右平移图象后，与轴没有交点，∴的取值范围为．故④正确，故答案为：①④．（3）∵，∴不等式如图所示，在第三象限内和第一象限内，，∴或，故答案为：或．

【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的平移，平移的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．题型4.创新题14．（2022秋·安徽滁州·九年级统考期中）如图，已知，，，…，…是轴上的点，且，分别过点，，，…，，…作轴的垂线交反比例函数的图象于点，，，…，，过点作于点，过点作于点，…，记的面积为，的面积为，的面积为．则．【答案】【分析】设，，，…，对应的x值为…B点对应y值为…，根据比例函数表示出y值，即可得到三角形面积规律，求解即可．【详解】解：设，，，…，对应的x值为…B点对应y值为，由题意可得，∵，∴…，∴，，，…∴∴故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数上点规律问题，解题的关键是找到三角形高的规律关系．15．（2021秋·河北石家庄·九年级校考期中）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是2和3，每个台阶凸出的角的顶点记作（m为的整数）．函数（）的图象为曲线L．（1）若L过点，则；（2）若曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有个．【答案】23【分析】（1）由题意可求这些点的坐标，将点的坐标代入解析式可求解；（2）由曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，可得，，，与，，，，在曲线L的两侧，即可求解．【详解】解：（1）每个台阶的高和宽分别是2和3，，，，，，，，，过点，，故答案为：；（2）若曲线过点，时，，若曲线过点，时，，若曲线过点，时，，若曲线过点，时，，曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，即，，，与，，，，在曲线L的两侧，，整数的个数为：个，故答案为：23；【点睛】本题考查了反比例函数的应用，点的规律变化，找出点的规律，正确求出各点的坐标是本题的关键．16．（2022秋·全国·九年级期末）如图，已知反比例函数的图象上有一组点，，……，，它们的横坐标依次增加，且点横坐标为．“①，②，③……”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，……，则．【答案】【分析】由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于，得出，进而即可求解．【详解】解：如图，由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于，又∵点，，……，，它们的横坐标依次增加，且点横坐标为，∴，，，，……∴，,……，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．题型5.反比例函数与几何图形的综合17.过原点作直线交双曲线于点A、C，过A、C两点分别作两坐标轴的平行线，围成矩形ABCD，如图所示．已知矩形ABCD的面积等于8，求双曲线的解析式；若已知矩形ABCD的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式?如果能，请予求出；如果不能，说明理由．yyABCDOx【答案】（1）；（2）无法确定．【解析】（1）设，因为过原点直线与反比例函数两交点关于原点中心对称，可得：，由此可得，得：，即双曲线解析式为；（2）同（1）可得，，由于一个方程含有两个未知数，因此k的值无法确定，故反比例函数解析式也无法确定．【总结】考查反比例函数的几何意义的综合应用，通过反比例函数上一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积为．18.正方形OAPB、ADFE的顶点A、D、B在坐标轴上，点E在AP上，点P、F在函数的图像上，已知正方形OAPB的面积是16．求k的值和直线OP的函数解析式；求正方形ADEF的边长．yyABPFOxED【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由，且四边形为正方形，则有，即可得，即， 根据反比例函数的几何意义，可得：，设直线函数解析式为，则有，解得：，即可得直线的函数解析式为；（2）设正方形ADEF边长为，则，因为在双曲线上， 根据反比例函数的几何意义，则有，解得：（负舍）， 即得正方形ADEF边长为．【总结】考查反比例函数几何意义的应用．19.如图，已知正方形OABC的面积是9，点O为坐原点，A在x轴上，C在y轴上，B在函数的图像上，点P（m，n）在的图像上异于B的任意一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别是E、F．设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积是S．求点B的坐标；当时，求点P的坐标；写出S关于m的函数解析式．AABCPEFyOx【答案】（1）；（2）或；（3）．【解析】（1）因为，且四边形为正方形，则有，即得：，所以点B坐标为；由（1）易得，则反比例函数的解析式为：．因为矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积是S，且，设，当点P位于点B下方时，有，解得：，此时P点坐标为：；当点P位于点B上方时，有，解得：，此时P点坐标为：，综上，P点的坐标为或；用割补法求面积，即可得以下分类讨论：当时，；当时，，点P（m，n）在双曲线上，即可得：，则有；综上所述，．【总结】考查反比例函数几何意义的应用，注意求面积时候用割补法进行分类讨论．【方法三】仿真实战法考法1.反比例函数的比例系数k的几何意义1．（2023•福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝的图象的四个分支上，则实数n的值为（）A．﹣3 B．﹣ C． D．3【分析】如图，点B在函数y＝上，证明△AOC≌△OBD，根据k的几何意义即可求解．【解答】解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点O，过点A，B分别作x轴的垂线．垂足分别为C、D，点B在函数y＝上，如图：∵四边形是正方形，∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°，∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（AAS），∴S△AOC＝S△OBD＝＝，∵点A在第二象限，∴n＝﹣3，故选：A．【点评】本题考查正方形的性质，反比例函数的k的几何意义，熟练掌握以上性质的解题关键．2．（2023•湘西州）如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】延长BA交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到，S矩形OCBD＝3，根据四边形ABCO的面积等于S矩形OCBD﹣S△ADO，即可得解．【解答】解：延长BA交y轴于点D，∵AB∥x轴，∴DA⊥y轴，∵点A在函数的图象上，∴，∵BC⊥x轴于点C，DB⊥y轴，点B在函数的图象上，∴S矩形OCBD＝3，∴四边形ABCO的面积等于S矩形OCBD﹣S△ADO＝3﹣1＝2；故选：B．【点评】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中k的几何意义，是解题的关键．考法2.利用反比例函数的性质比较函数值大小3．（2023•镇江）点A（2，y1）、B（3，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1y2（用“＜”、“＞”或“＝”填空）．【分析】根据反比例函数的比例系数的符号可得在同一象限内函数的增减性，进而可得y1与y2的大小．【解答】解：反比例函数y＝中，k＝5＞0，∴函数图象在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，∵2＜3，∴y1＞y2，故答案为＞．【点评】考查反比例函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：反比例函数的比例系数大于0，在每个象限内，y随x的增大而减小．4．（2022•广东）点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数y＝图象上，则y1，y2，y3，y4中最小的是（）A．y1 B．y2 C．y3 D．y4【分析】根据k＞0可知增减性：在每一象限内，y随x的增大而减小，根据横坐标的大小关系可作判断．【解答】解：∵k＝4＞0，∴在第一象限内，y随x的增大而减小，∵（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数y＝图象上，且1＜2＜3＜4，∴y4最小．故选：D．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象的增减性是解答此题的关键．5．（2021•广安）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数中k＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．∵﹣3＜0，﹣1＜0，∴点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）位于第二象限，∴y1＞0，y2＞0，∵﹣3＜﹣1＜0，∴0＜y1＜y2．∵2＞0，∴点C（2，y3）位于第四象限，∴y3＜0，∴y3＜y1＜y2．故选：A．【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2021秋·福建宁德·九年级校考阶段练习）下列函数图像分布在第一、三象限的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据反比例函数的图像与性质求解即可．【详解】解：A、∵，函数图像分布在第一、三象限，符合题意；B、∵，函数图像分布在第二、四象限，不符合题意；C、∵，函数图像分布在第二、四象限，不符合题意；D、∵，函数图像分布在第二、四象限，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质，解答的关键是熟知当时，函数的图像在第一、三象限；当时，函数的图像在第二、四象限．2．（2023·江苏泰州·校考三模）如图，已知矩形的对角线中点E与点都在反比例函数的图象上，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意设，则，，即可得出，从而求得，得出，求得．【详解】解：矩形的对角线中点与点都在反比例函数的图象上，设，则，，，把代入，解得，，，，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，求得点的坐标是解题的关键．3．（2022·福建福州·校考模拟预测）如图，在的图象上有两点、，过这两点分别向轴引垂线，交轴于、两点，连结、，记、的面积，，则与的大小关系是（

）

A． B． C． D．不确定【答案】C【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值【详解】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即，所以．故选：．【点睛】主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．4．（2022秋·广西贺州·九年级校考期末）如图，，是反比例函数图象上的两个点，分别过，作轴、轴的垂线，构成图中的三个相邻且不重叠的小矩形，，，已知，则的值是（

）

A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】根据A，B是反比例函数图象上的两点，可得，从而得到，即可求解．【详解】解：∵A，B是反比例函数图象上的两点，∴，∴，∵，∴．故选：C．【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握在反比例函数图象上任取一点，过这个点分别向两坐标轴作垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积是定值是解题的关键．5．（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）如图，过双曲线上任意一点分别作轴，轴的垂线，，交轴、轴于点、，所得矩形的面积为8，则的值是（

）

A．4 B． C．8 D．【答案】D【分析】设点P坐标为，则，根据矩形的面积为8，得出，即可得出k的值．【详解】解：设双曲线表达式为，设点P坐标为，∵轴，轴，∴，∵矩形的面积为8，∴，则，故选：D．【点睛】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，解题的关键是掌握过反比例函数图象上的点作两坐标轴的垂线，组成的矩形面积为．6．（2021秋·河北石家庄·九年级校联考期中）关于反比例函数，下列说法不正确的是（

）A．函数图像分别位于第一、三象限 B．函数图像经过点C．函数图像过，则 D．函数图像关于原点成中心对称【答案】C【分析】根据可得函数图像分别位于第一、三象限，由此可判断A、C；根据当时，即可判断B；根据反比例函数图像的特点即可判断D．【详解】解：∵在反比例函数中，，∴函数图像分别位于第一、三象限，故A说法正确，不符合题意；当时，，即函数图像经过点，故B说法正确，不符合题意；∵函数图像过，，∴，故C说法错误，符合题意；反比例函数的函数图像关于原点成中心对称，故D说法正确，不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了反比例函数图像的性质，反比例函数图像与系数的关系等等，熟知反比例函数的相关知识是解题的关键．7．（2023秋·江苏南京·九年级南京市伯乐中学校考开学考试）已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据反比例函数判断此函数图象所在的象限，再根据判断出，所在的象限即可得到答案．【详解】∵反比例函数的图象在一、三象限，而，∴点在第三象限反比例函数的图象上，在第一象限反比例函数的图象上，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．8．（2022秋·河北邯郸·九年级校考期中）点，，都在反比例函数的图象上，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据反比例函数的性质直接判断即可得到答案．【详解】解：∵，∴的图像在一三象限，且在两个象限内随增大而减小，∵，∴，故选：B；【点睛】本题考查反比例函数的性质，的图像在一三象限，且在两个象限内随增大而减小．9．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，直线与反比例函数的图象相交于A、B两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C、D，连接，则四边形的面积为（）A．4 B．8 C．12 D．24【答案】C【分析】首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即，得出，再根据反比例函数的对称性可知，即可求出四边形的面积．【详解】解：∵过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，∴，又∵，∴，∴四边形的面积为：．故选：C．【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为；图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即，是经常考查的一个知识点；同时考查了反比例函数图象的对称性．10．（2023·江苏宿迁·统考三模）如图，是的中线，，若点A在反比例函数图像上，点E在图像上，则的值是（

）

A．1 B．3 C． D．2【答案】A【分析】取的中点，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，根据平行线分线段成比例定理得再证明得到的比值，即可得出结果．【详解】解：取的中点，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，

是的中线，，，，而，故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定，本题的关键是辅助线的作法．二、填空题11．（2022秋·湖南永州·九年级校考期中）如图，M为反比例函数的图象上的一点，轴，垂足为A，的面积为3，则k的值为．【答案】6【分析】由反比例函数k的几何意义可得，再结合函数图象可得答案．【详解】解：∵M为反比例函数的图象上的一点，轴，的面积为3，∴，∴，∵，∴，故答案为：6【点睛】本题考查的是反比例函数中比例系数k的几何意义，理解k的几何意义是解本题的关键．12．（2023春·安徽合肥·九年级校考开学考试）如图，点A，B是双曲线上的点，分别经过A，B两点向轴，轴作垂线段，若，则．

【答案】【分析】根据反比例函数的几何意义，即可得到答案．【详解】解：由题意可得：，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义：过反比例函数图像上的点作坐标轴垂线围成的图形的面积等于的绝对值．13．（2022秋·黑龙江大庆·九年级校考期中）若点在双曲线上，则的大小关系是．【答案】【分析】根据反比例函数的性质计算判断即可．【详解】∵点在双曲线上，∴在每一象限内，y随x的增大而增大，∴．∴，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的增减性是解题的关键．14．（2023·安徽滁州·校考二模）如图，反比例函数的图象经过对角线的交点，已知点A，，在坐标轴上，，的面积为16，则．

【答案】【分析】由平行四边形面积转化为矩形面积，在得到矩形面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．【详解】解：如图，过点做轴于点．

四边形为平行四边形，，又轴，为矩形，，，为对角线交点，轴，四边形为矩形面积为8，即，设点坐标为，．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义以及平行四边形的性质，理解等底等高的平行四边形与矩形面积相等是解题的关键．15．（2023秋·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点、为反比例函数上两点，且点横坐标为点横坐标的两倍，分别过点作轴平行线，过点作轴平行线，两直线交于点，若，则．

【答案】【分析】过点，作，轴于，，然后根据点横坐标为点横坐标的两倍，且点、都在曲线上，设出、坐标，由图形的面积公式求出的值，然后由反比例函数的性质求解即可．【详解】解：过点，作，轴于，，如图：

∵点横坐标为点横坐标的两倍，且点、都在曲线上，∴设，则，其中，，∵，∴，整理得：，解得：；∴．故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式等，关键是对反比例函数性质的掌握．16．（2023秋·福建泉州·九年级校考专题练习）如图，已知直线交轴于点，分别与函数和的图象相交于点，，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，连接，，若，，则．

【答案】【分析】根据同底等高的三角形面积相等以及反比例函数系数的几何意义得出，然后根据，，即可求得的面积．【详解】解：连接，，，延长交轴于，

∵同底等高的三角形面积相等∴，同理：，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，三角形的面积以及不同底等高是三角形面积的关系，证得是解题的关键．17．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期中）如图，点在x轴上，且，分别过点作y轴的平行线与反比例函数（x＞0）的图象分别交于点，分别过点作x轴的平行线，分别于y轴交于点，连接，那么图中从左到右第2022个阴影部分的面积为．【答案】【分析】根据反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的，则有，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到3个阴影部分的三角形的面积，找出规律即可得出结论．【详解】解：根据题意可知，∵轴，设图中阴影部分的面积从左向右依次为则，∵，∴，，∴•••，∴第n的阴影部分的面积是：，∴图中从左到右第2022个阴影部分的面积为：．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，综合性比较强，解题的关键要熟练掌握反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的．18．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，点A，B，C在函数（常数，）图象上的位置如图所示，分别过点A，C作x轴与y轴的垂线，过点B作y轴与的垂线．若，图中所构成的阴影部分面积为2，则矩形的面积为．【答案】【分析】设，进而表示出的坐标，用含的代数式表示出阴影部分的面积，求出的值，即可得解．【详解】解：∵，设，则：，∴，∴阴影部分的面积为：，∴，∴矩形的面积为；故答案为：．【点睛】本题考查已知图形面积求值，熟练掌握值的几何意义，是解题的关键．三、解答题19．（2023秋·陕西榆林·九年级校考期末）已知反比例函数，当为何值时：(1)函数的图象在第二、四象限？(2)在每个象限内，随的增大而减小？【答案】(1)(2)【分析】（1）根据反比例函数的图象在第二、四象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可；（2）根据反比例函数的增减性列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可得出结论．【详解】（1）解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，∴，解得；（2）∵在每个象限内，随的增大而减小，∴，解得．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．20．（2023·全国·九年级专题练习）已知函数．(1)若点是函数图像上一点，则点关于原点的对称点是否在该函数图像上？请说明理由．(2)设、是该函数图像上任意两点，且，求证：．【答案】(1)点关于原点的对称点在该函数图像上，理由见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据函数上的点满足函数关系式解答即可；（2）分别把，代入函数关系式，得出、再作差证明即可．【详解】（1）解：点关于原点的对称点在该函数图像上，理由如下：，，点关于原点的对称点，当时，，点关于原点的对称点在该函数图像上；（2）证明：、在数的图像上，，，，，，即．【点睛】本题考查了函数的图像与性质，熟知函数上的点与函数关系式的关系是解答本题的关键．21．（2023·河南省直辖县级单位·统考二模）如图，点A在反比例函数的图像上，过点A作轴于点B，的面积为4．

(1)求k的值；(2)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图）(3)设（2）中的角平分线与轴相交于点，延长到，使，连接并延长交轴于点．求证：．【答案】(1)(2)作图见解析(3)证明见解析【分析】（1）由反比函数值的意义即可求解；（2）如图，以点为圆心，作弧交、于点、，分别以点、为圆心大于为半径作弧，交于点，则为的平分线；（3）由为的平分线，，根据等腰三角形“三线合一”可知是边的中垂线，利用中垂线性质及等腰三角形性质得到，再由轴，确定在中，，根据对顶角，即可得到，从而得证．【详解】（1）解：由反比函数值的意义知，，∵图像在第二象限，∴；（2）解：以点为圆心，作弧交、于点、，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，交于点，连接，则为的平分线，如图所示：

（3）证明：如图所示：

为的平分线，，，也是边的中线，即是边的中垂线，，，在等腰中，则，，轴，即，在中，，，，．【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到三角形高问题、反比例函数值的意义、几何作图、等腰三角形性质、中垂线判定与性质等，有一定的综合性，难度不大，掌握基本几何性质及尺规作图是解决问题的关键．22．（2023·湖南郴州·统考二模）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表：x…0123…y…121012…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．

(1)如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；(2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点在函数图象上，则，；（填“＞”，“＝”或“＜”）②当函数值时，求自变量x的值；③若直线与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围．【答案】(1)见解析(2)①，；②或；③【分析】（1）根据题意直接运用表格数据进行描点连线即可；（2）①分别根据反比例函数的性质和图象进行解答即可；②由图象的性质可知当时，分别代入两段函数，求解即可；③根据题意利用图象的性质进行分析即可得出．【详解】（1）解：如图所示：

（2）解：①∵在上，y随x的增大而增大，∴，∵在上，∴观察图象可得，故答案为：；②当时，，∴（不符合）；当时，，∴或；③由图象可知，直线与函数图象有三个不同的交点时，．【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；能够通过描点准确的画出函数图象是解题的关键．23．（2022春·河北保定·九年级保定市第十七中学校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，，反比例函数图象的一支经过的中点，且与交于点．

(1)求点的坐标；(2)求反比例函数的解析式：(3)四边形的面积为________．【答案】(1)(2)(3)75【分析】（1）先利用