2024年七年级数学寒假提升学与练（沪教版）专题01整式全章复习攻略与难点强化训练（原卷版）

专题01整式全章复习攻略与难点强化训练目录考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升学以致用：真题感知+提升专练，全面突破一、整式的有关概念1、单项式（1）由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．（2）一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．2、多项式（1）由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．在多项式中的每个单项式叫做这个多项式的项，不含字母的项叫做常数项．次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．3、整式：单项式和多项式统称整式．4、同类项（1）所含的字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项．几个常数项也是同类项．（2）合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式．（3）合并同类项的法则：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．5、代数式的值用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值．注意： （1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入．（2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入．二、整式的运算整式的运算规则：1、整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项．2、整式的乘法：（1）同底数幂相乘：．(、都是正整数)；（2）幂的乘方：．(、都是正整数)；（3）积的乘方：．(为正整数)；（4）单项式乘以单项式；（5）单项式乘以多项式；（6）多项式乘以多项式；（7）平方差公式：；（8）完全平方公式：，．3、因式分解：提公因式法；公式法；分组分解法；十字交叉法．4、整式的除法：（1）同底数幂相除：（、是正整数，且，）；（2）单项式除以单项式；（3）多项式除以单项式．题型一：化简求值计算技巧1.（1）如果A是三次多项式，B是四次多项式，那么和各是几次多项式？（2）如果A是m次多项式，B是n次多项式，且，那么和各是几次多项式？（3）如果A是m次多项式，B是n次多项式，m，n为正整数，那么和各是几次多项式？2.已知：，，求．3.已知：满足：（1）；（2）与是同类项．求代数式：的值．4.试说明不论取何值时，代数式：的值是不会改变的．5.化简：．6.已知和是同类项，且，，求的值．7.有这样一道题：“已知，，当，，时，求的值”．有一个学生指出，题目中给出的， 是多余的．他的说法有没有道理？为什么？8.已知代数式，当时它的值为；当时它的值为，求时，代数式的值．9.已知、、满足：（1）；（2）是7次单项式；求多项式的值． 10.对任意实数，试比较下列每组多项式的值的大小：与．11.比较大小：与．12.有这样一道题“当时，求多项式的值”，马小虎做题时把错抄成时，王小明没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由．题型二：乘法公式应用技巧1.计算：．2.已知，，求代数式的值．3.不论取任何整数值，代数式的值总是整数的平方，求的值．4.试说明不论取何值，代数式的值总是正数．5.已知，、都是有理数，求的值．6.已知是完全平方式，求的值．7.甲、乙两家商店在9月份的销售额均为万元，在10月和11月这两个月中，甲商店的销售额平均每月增长，乙商店的销售额平均每月减少，11月份甲商店的销售额比乙商店的销售额多多少万元？8.已知，求：（1）；（2）．9.计算：（1）已知，求代数式的值．（2）已知，求代数式的值．10.求值：（1）已知：，，求代数式的值：（1）；（2）．（2）已知：，，求的值．11.求值：（1）已知：，，求的值；（2）已知：，求的值．12.已知：，求的值．13.我们把如下左图的一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪成四个小长方形，再按如下右图围成较大的正方形．（1）大正方形的边长是多少？（2）中间正方形（阴影部分）的边长是多少？（3）用两种不同的方法求阴影部分的面积；（4）比较两种方法，你能得到怎样的等量关系？14.已知三个数满足方程，求．15.已知，，为有理数且：求：的值．16.如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中阴影部分的面积为______________________________；（2）观察图2，请你写出三个代数式、、之间的等量关系式：______________________________；（3）根据（2）中的结论，若，则_______________．（4）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图3，它表示了：．试画出一个几何图形，使它的面积能表示．题型三：因式分解应用技巧若多项式能分解成，那么=（ ）A、2 B、4 C、6 D、8如图①，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图②），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）A、 B、C、 D、已知为任意整数，且的值总可以被（为自然数，）整除，则的值为__________．因式分解：=___________________．若是完全平方式，求与b的值．根据上述算式所反应出的规律，猜想“任意四个连续正整数的积与1的和一定是一个完全平方数”，你认为这个猜想正确吗？说说你的理由．一．代数式（共1小题）1．（2023秋•奉贤区期中）下列各式中，符合代数式规范书写要求的是（）A．5a÷3 B． C． D．abc3二．列代数式（共3小题）2．（2023秋•奉贤区期中）用代数式表示“x与y的平方的差的一半”，下列正确的是（）A．（x2﹣y2） B．x﹣y2 C．（x﹣y）2 D．（x﹣y2）3．（2023秋•闵行区校级月考）一个长方形的长为a，周长是b，则这个长方形的宽是．4．（2023秋•奉贤区期中）如图，点P是线段AB的中点，Q为线段PB上一点，分别以AQ、AP、PQ、QB为一边作正方形，其面积对应地记作SACDQ，SAEEP，SPGHQ，SQIGB，设AP＝m，QB＝n．（1）用含有m，n的代数式表示正方形ACDQ的面积SACDQ．（2）SACDQ+SQIGB与SAEFP+SPGHQ具有怎样的数量关系？并说明理由．（3）用含有m，n的代数式表示多边形CDHGFE的面积S多边形CDHGFE．三．代数式求值（共3小题）5．（2023秋•浦东新区期中）当时，代数式3x（x+1）的值是．6．（2023秋•青浦区校级期中）已知代数式x﹣2y＝5，那么代数式9﹣2x+4y＝．7．（2023秋•浦东新区校级期中）定义：对于一个数x，我们把[x]称作x的相伴数；若x≥0，则[x]＝x﹣1；若x＜0，则[x]＝x+1．例＝，[﹣2]＝﹣1；已知当a＞0，b＜0时有[a]＝[b]+1，则代数式（b﹣a）3﹣3a+3b的值为．四．同类项（共2小题）8．（2023秋•奉贤区期中）下列各组式中，不是同类项的是（）A．和﹣7x2y3 B．5和﹣π C．3ab和﹣5ba D．3x2y和2x2y9．（2023秋•闵行区校级期中）若单项式﹣2amb3与是同类项，则m﹣n＝．五．合并同类项（共2小题）10．（2023秋•静安区校级月考）2xkyk+2与3x2yn的和是5x2yn，则k+n＝．11．（2022秋•浦东新区校级期末）如果2xmy3与的和是单项式，那么m+n的值等于．六．去括号与添括号（共2小题）12．（2023秋•静安区校级月考）下列去括号中，正确的是（）A．a2﹣（2a﹣1）＝a2﹣2a﹣1 B．a2+（﹣2a﹣3）＝a2﹣2a+3 C．3a﹣[5b﹣（2c﹣1）]＝3a﹣5b+2c﹣1 D．﹣（a+b）+（c﹣d）＝﹣a﹣b﹣c+d13．（2023秋•闵行区校级期中）计算：．七．整式（共1小题）14．（2023秋•浦东新区校级期中）代数式，2x+y，，，，中整式的个数（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个八．单项式（共2小题）15．（2023秋•闵行区期中）代数式0，3﹣a，，（a﹣b）7，±4，2a中，单项式个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．（2023秋•浦东新区校级期中）单项式72x2y3的次数是（）A．4 B．5 C．6 D．7．九．多项式（共3小题）17．（2023秋•闵行区期中）下列说法错误的是（）A．2x2﹣3xy﹣1是二次三项式 B．﹣x+1是多项式 C．﹣a的系数是﹣1，次数是1 D．是单项式18．（2023秋•普陀区校级期中）在多项式2x3﹣4x5+6y3﹣8中，最高次项的系数和常数项分别为（）A．2和﹣8 B．﹣4和﹣8 C．6和﹣8 D．﹣4和819．（2023秋•青浦区校级期中）将多项式2xy﹣4x4y2﹣3x2y+7x3y﹣5按字母x降幂排列是．一十．整式的加减（共2小题）20．（2023秋•闵行区期中）计算：．21．（2023秋•闵行区校级月考）已知A＝﹣a2+3b﹣2，B＝2a2﹣b，求多项式C，使2A+2C＝B．一十一．整式的加减—化简求值（共1小题）22．（2023秋•闵行区校级期中）已知：A＝3x2+2xy+3y﹣1，B＝x2﹣xy．（1）计算：A﹣3B；（2）当x＝2，y＝﹣1时，求A﹣3B的值．一十二．同底数幂的乘法（共2小题）23．（2023秋•浦东新区校级期中）计算：（x﹣y）3•（y﹣x）2＝．（结果用幂的形式表示）24．（2023秋•闵行区校级期中）若am＝2，an＝8，则am+n＝．一十三．幂的乘方与积的乘方（共2小题）25．（2023秋•普陀区校级期中）的计算结果是（）A．﹣1 B． C．1 D．26．（2023秋•闵行区期中）计算：＝．一十四．同底数幂的除法（共2小题）27．（2023秋•浦东新区校级期中）若3x＝2，3y＝5，则32x﹣y＝．28．（2023秋•闵行区校级期中）已知2x＝4y+1，27y＝3x﹣1，求x﹣y的值．一十五．单项式乘单项式（共4小题）29．（2023秋•闵行区期中）计算：．30．（2023秋•奉贤区期中）计算：（﹣a）4•（﹣a2）﹣（3a3）2﹣2a2•a3•a．31．（2023秋•浦东新区校级期中）计算：2a2b•（﹣3ab2）+（2ab）3．32．（2023秋•宝山区校级月考）．一十六．单项式乘多项式（共3小题）33．（2023秋•青浦区校级期中）计算：．34．（2023秋•浦东新区期中）计算：3x﹣[2x（x+2y）﹣2y（2x﹣y）]+2x2．35．（2023秋•浦东新区校级期中）计算：一十七．多项式乘多项式（共4小题）36．（2023秋•青浦区校级期中）已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+2）的展开式中不含x3和x2项．（1）求m与n的值；（2）在（1）的条件下，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．37．（2023秋•浦东新区校级期中）计算：（x﹣2y+z）•（x+2y﹣z）．38．（2023秋•宝山区校级月考）【知识回顾】七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．【理解应用】（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值；（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值；【能力提升】（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．39．（2023秋•静安区校级月考）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：（2x+a）（3x+b）．甲由于把第一个多项式中的“+a”看成了“﹣a”，得到的结果为6x2﹣5x﹣6；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2+7x+6．（1）求正确的a、b的值．（2）计算这道乘法题的正确结果．一十八．完全平方公式（共3小题）40．（2023秋•奉贤区期中）已知（a﹣2016）2+（2018﹣a）2＝24，则（a﹣2017）2的值是．41．（2023秋•奉贤区期中）已知（a+b）2＝50，（a﹣b）2＝60，求a2+b2及ab的值．42．（2023秋•浦东新区期中）计算：（x+3y）2﹣2（x+3y）（x﹣3y）+（x﹣3y）2．一十九．完全平方公式的几何背景（共2小题）43．（2023秋•青浦区校级期中）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（）A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b244．（2023秋•闵行区校级月考）如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b．如图1，小正方形摆放在边长为的内部右上角，其未叠合部分（阴影）的面积为S1；如图2，若再在图1中大正方形的右下角摆放小正方形，两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2；如图3，在大正方形的外部左下角摆放小正方形，形成阴影部分的面积为S3．（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；（3）当S1+S2＝30时，求S3的值．二十．平方差公式（共2小题）45．（2023秋•闵行区期中）用乘法公式计算：（a﹣2b+3c）（a+2b﹣3c）46．（2023秋•闵行区期中）简便计算：20112﹣2007×2015．二十一．平方差公式的几何背景（共1小题）47．（2023秋•松江区月考）在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图（1）），把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（如图（2）），分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是．（用字母表示）二十二．整式的除法（共1小题）48．（2023秋•普陀区校级期中）计算：（2x2y﹣4xy2）÷2xy＝．二十三．整式的混合运算（共1小题）49．（2023秋•普陀区校级期中）计算：．二十四．整式的混合运算—化简求值（共2小题）50．（2023秋•闵行区期中）先化简，再求值：，其中x＝2．51．（2023秋•青浦区校级期中）若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．请仿照上面的方法求解下面