2025版一轮高考总复习数学第二章　函数的概念与性质第三节　函数的奇偶性、周期性与对称性

第三节函数的奇偶性、周期性与对称性1.结合具体函数，了解函数奇偶性、周期性的概念和几何意义.2.能够通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式及推论.3.会依据函数的性质进行简单的应用.1.函数的奇偶性偶函数奇函数定义一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D且f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数且f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数图象特征关于y轴对称关于原点对称提醒函数存在奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称.2.函数的周期性（1）周期函数：设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且f（x＋T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期；（2）最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期.3.函数的对称性（1）函数y＝f（x）与y＝－f（x）关于x轴对称；（2）函数y＝f（x）与y＝f（－x）关于y轴对称；（3）函数y＝f（x）与y＝－f（－x）关于原点对称.（4）若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝f（b－x），则y＝f（x）的图象关于直线x＝a＋b2（5）若函数y＝f（x）满足f（a－x）＝－f（a＋x），则函数的图象关于点（a，0）对称.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）函数y＝x2在x∈（0，＋∞）上是偶函数.（×）（2）若函数f（x）为奇函数，则一定有f（0）＝0.（×）（3）若T是函数的一个周期，则nT（n∈Z，n≠0）也是函数的周期.（√）（4）若函数f（x）满足f（x－1）＋f（x＋1）＝0，则f（x）的图象关于y轴对称.（×）2.（2024·南京六校联考）下列函数中为奇函数的是（）A.y＝x2sinx B.y＝x2cosxC.y＝ln｜x｜ D.y＝2－x解析：A根据奇函数的定义知奇函数满足f（－x）＝－f（x），且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项为偶函数；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.3.（2024·咸阳一模）定义在R上的函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x∈[0，1）时，f（x）＝x，则f（32）＝（A.22 B.C.－22 D.－解析：A由f（x）的图象关于直线x＝1对称，则f（32）＝f（12），又因为当x∈[0，1）时f（x）＝x，所以f（32）＝f（12）＝4.（2024·张家界一模）已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，则a＋b＝13解析：∵f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝13.又f（－x）＝f（x），∴b＝0，∴a＋b＝15.已知函数f（x）满足f（x＋3）＝f（x），当x∈[0，2]时，f（x）＝x2＋4，则f（2024）＝8.解析：因为f（x＋3）＝f（x），所以f（x）是以3为周期的周期函数，所以f（2024）＝f（674×3＋2）＝f（2）＝22＋4＝8.1.函数奇偶性常用结论（1）如果函数f（x）是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f（0）＝0；如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（｜x｜）；（2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.2.函数周期性常用结论对f（x）定义域内任一自变量x：（1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a＞0）；（2）若f（x＋a）＝1f（x），则T＝2a（（3）若f（x＋a）＝－1f（x），则T＝2a（a3.函数图象的对称性（1）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称；（2）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则函数y＝f（x）的图象关于点（b，0）中心对称.1.已知函数f（x＋1）是偶函数，当1＜x1＜x2时，[f（x1）－f（x2）]（x1－x2）＞0恒成立，设a＝f（－12），b＝f（2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（A.b＜a＜c B.c＜b＜aC.b＜c＜a D.a＜b＜c解析：A由结论3知，函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当1＜x1＜x2时，[f（x1）－f（x2）]（x1－x2）＞0，则f（x2）＞f（x1），∴函数f（x）在（1，＋∞）上单调递增，∴a＝f－12＝f（1－32）＝f1+32＝f52，∵3＞52＞2＞1，∴b2.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x＋2）＝－1f（x），当x∈（0，2]时，f（x）＝2x－1，则f（9）＝解析：由结论2知T＝4，f（9）＝f（1）＝1.3.已知f（x）为定义在R上的奇函