(中职)工程数学基础课件全套教学教程

第一章函数、极限与连续性1.1函数1.2极限1.3极限运算法则1.4两个重要极限1.5无穷小与无穷大1.6函数的连续性1.1函数1.1.1函数的概念1．函数的定义定义1设D是一非空实数集,如果存在一个对应法则f，使得对D内的每一个值x，按法则f，都有y与之对应，则这个对应法则f称为定义在集合D上的一个函数，记作其中x称为自变量,y称为因变量或函数值,D称为定义域，集合称为值域.2．几个特殊的函数(1)分段函数在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数。注意：分段函数的定义域是各段定义区间的并集。例如：(2)隐函数变量之间的关系是由一个方程来确定的函数。例如：由方程确定的函数.(3)参数方程所确定的函数

例如：由确定的y与x之间的函数关系.（t为参数）

3．函数的定义域

常见解析式的定义域求法有：(1)分母不能为零；(2)偶次根号下非负；(3)对数式中的真数恒为正；(4)分段函数的定义域应取各分段区间定义域的并集.

例1求下列函数的定义域

（1）（2）（3）解题过程解题过程

解(1)要使函数有意义,必须,且，解不等式得.所以函数的定义域为且(2)要使函数有意义,必须，即.所以函数的定义域为(3)函数的定义域为

1.1.2初等函数与点的邻域1．基本初等函数常数函数：（C为常数）幂函数：指数函数：对数函数：三角函数：反三角函数：以上六类函数统称为基本初等函数.为了方便，我们通常把多项式也看作基本初等函数。2．复合函数引例：考查具有同样高度h的圆柱体的体积V，显然其体积的不同取决于它的底面积S的大小，即由公式V=Sh（h为常数）确定。而底面积S的大小又由其半径r确定，即公式。V是S的函数，S是r的函数，V与r之间通过S建立了函数关系式。它是由函数与复合而成的，简单地说V是r的复合函数。复合函数定义复合函数定义定义：设y是u的函数，而u又是x的函数，且的值域与的定义域交非空，那么y通过中间变量u的联系成为x的函数，我们把这个函数称为是由函数与复合而成的复合函数.记做：其中u称为中间变量.

注意：并不是任意两个函数都能复合成一个复合函数的.如，就不能复合成一个函数.同时，学习复合函数有两方面要求：一方面，会把有限个作为中间变量的函数复合成一个函数；另一方面，会把一个复合函数分解为有限个较简单的函数.例2将，复合成一个函数.例3指出下列函数的复合过程.解题过程（1）（2）解题过程解题过程例2解：例3解：(1)是由和复合而成的.(2)是由，和复合而成的.如何定义平面上一点的邻域？3．初等函数定义由基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的复合运算所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.否则称为非初等函数.

4．点的邻域定义设，，集合，即数轴上到点的距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为.点，分别称为该邻域的中心和半径。集合称为点的空心邻域记.思考：返回1.2极限1．数列的定义定义按一定规律排列得到的一串数

就称为数列

记为

其中第n项称为数列的一般项或通项.1.2.1数列极限观察以下三个数列：（可以写出一部分数值）讨论结论（1）（2）（3）讨论结论观察上面三个数列：(1)当n无限增大时，也无限增大；(2)当n无限增大时，无限地趋近于0；(3)当n无限增大时，总在1，-1两个数值之间跳跃。

2．数列极限的定义定义对于数列

如果当项数n无限增大时

数列的一般项无限地趋近于某一确定的常数A

那么称常数A是数列的极限

记为，或者记为（读作：当n趋向于无穷大时，的极限等于A）.若数列存在极限，称数列是收敛的；若数列没有极限，则称数列是发散的

1.2.2函数极限1．当，函数的极限定义如果当无限增大（即）时，函数无限地趋近于某一确定的常数A，那么称常数A是函数当时的极限，记为或解题过程解题过程结论结论由例2我们可以得出下面的结论：例题与注意点例题注意点分别作函数图像讨论下列极限例6的结论结论思考题返回1.3极限运算法则说明：法则（1）（2）可推广到有限个函数的情况。推论例题例题解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程说明：以上两个均为“”型极限，可通过因式分解、根式有理化消去分母上的零因子

解题过程说明：这是“”型极限，通过通分转化

思考题（1）（2）解题过程解题过程解思考题（1）解思考题（2）其他结论注：以下结论在极限的反问题中常用

返回1.4两个重要极限首先介绍一个极限存在准则：1.4.1极限：x(弧度)±0.50±0.10±0.05±0.04±0.03±0.02…0.95850.99830.99960.99970.99980.9999…从上表可以看出：例题例1求

例2求例4求例3求解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解例1解例2解例3解例4设返回例题1.4.2极限：

210100010000100000…2.252.5942.7172.71812.7182…-10-100-1000-10000-100000…2.882.7322.7202.71832.71828…从上表可以得出：说明说明例5求例6求例7求例8求例题解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解例5解例6解例7解例8返回返回例题1.5无穷小与无穷大1.5.1无穷小1．无穷小的定义注意2．无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下性质：性质1有限个无穷小的代数和仍为无穷小；性质2有限个无穷小的乘积仍为无穷小；性质3有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小；推论常数与无穷小的乘积仍为无穷小。

例1求思考题3．无穷小与函数极限的关系

证明略1.5.2无穷大注意点注意：1.5.3无穷大与无穷小的关系说明说明例3求例4求例5求解题过程解题过程解题过程解题过程解例3解例4解例5因为所以结论返回结论分析例3～例5的特点和结果，我们可得当自变量趋向于无穷大时有理分式的极限的法则：1.5.4无穷小的比较已知两个无穷小的和与积仍为无穷小，但两个无穷小的商却会出现不同的结果。

例子例子例子例子例10求例11求例12求思考题解题过程解题过程解题过程如何求返回解题过程解题过程返回解题过程返回例题1.6函数的连续性1.6.1函数在一点处连续1．变量的增量2．连续的定义

所谓“函数连续变化”，在直观上来看，就是它的图象是连续不断的.一点处连续的定义例子例子另有函数在一点处连续的等价形式和左右连续的定义例子例子1.6.2连续函数及其运算

1．连续函数2．连续函数的运算注意和、差、积的情况可以推广到有限个函数的情形。3．复合函数的连续性例如求4．初等函数的连续性

根据初等函数的定义

由基本初等函数的连续性以及本节有关定理可得下列重要结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。所谓定义区间

就是包含在定义域内的区间。例子例子1.6.3函数的间断点1．间断点的概念2．间断点的分类在第一类间断点中，如果左、右极限存在但不相等，这种间断点称为跳跃间断点；如果左、右极限存在且相等(即极限存在)，这类间断点称为可去间断点.例子解题过程解题过程解题过程返回例题解题过程返回例题1.6.4闭区间上连续函数的性质

注意如果函数在开区间内连续

或函数在闭区间上有间断点

那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值。

返回第二章导数和微分

2.1

导数的概念2.2导数的基本公式和四则运算法则2.3复合函数的导数2.4隐函数和参数式函数的导数2.5高阶导数和导数的物理含义2.6微分目录上页下页返回结束2.1导数的概念

2.1.1两个实例2.1.2导数的定义2.1.3导数的几何意义2.1.4可导和连续的关系目录上页下页返回结束1.变速直线运动的瞬时速度2.1.1两个实例考察质点的自由落体运动，其运动规律为自由落体运动目录上页下页返回结束9.8000490.000098000490.000019.800490.0009800490.00019.80490.00980490.0019.8490.098490.0110.291.0290.1分别计算从1s到1.1s、1.01s、1.001s、1.0001s、1.00001s各段时间内的平均速度如下表：目录上页下页返回结束观察得到：当越来越接近于0时，越来越接近于1s时的速度.目录上页下页返回结束一般地，设描述质点运动规律的位移与时间的函数关系为则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为目录上页下页返回结束2.曲线的切线斜率割线的斜率割线

的极限位置T曲线在点处的切线(当时)切线的斜率目录上页下页返回结束两个问题的共性:所求量均为函数增量与自变量增量之比的极限.瞬时速度切线斜率2.1.2导数的定义1.函数在一点处可导的概念目录上页下页返回结束定义2.1

设函数在的某个领域内有定义。对应于自变量在处有改变量（仍在上述邻域内），函数相应的有改变量若存在，则称函数在处可导，并把这一极限称为函数在处的导数，记作

目录上页下页返回结束即目录上页下页返回结束对导数的定义以下几点说明：（1）若不存在，则称函数在处不可导或导数不存在；（2）设；

（3）在点的某个右(左)

邻域内若极限设函数有定义,目录上页下页返回结束则称此极限值为在处的右导数，记作(左)存在,即函数在点且可导的充分必要条件是目录上页下页返回结束2.导函数的概念若函数在开区间

内每点都可导,内可导，此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:就称函数在

注意:目录上页下页返回结束根据导数的定义，求函数导数的步骤如下：第一步：求函数增量第二步：求比值第三步：求极限例2.1.求函数(C为常数)的导数.解目录上页下页返回结束例2.2求函数解:一般地，目录上页下页返回结束例如，目录上页下页返回结束例2.3

求函数的导数.解:即类似可证得目录上页下页返回结束例2.4求函数的导数.解:

即一般地，目录上页下页返回结束2.1.3导数的几何意义若曲线在点存在切线，其切线斜率为切线方程为：当切线与x轴不垂直.当切线与x轴垂直切线方程为：目录上页下页返回结束过切点与切线垂直的直线称为在曲线的法线目录上页下页返回结束例2.5求曲线在点处的切线和法线方程。解：切线方程为：法线方程为：目录上页下页返回结束例2.6求曲线上平行于直线的切线方程。解：切线方程为：目录上页下页返回结束2.1.4可导和连续的关系结论：证:设在点x

处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点x连续.即逆否命题：目录上页下页返回结束注意:函数在点x连续未必可导.反例:在x=0处连续,但不可导.由上图可知在x=0处连续目录上页下页返回结束所以在x=0处不可导.目录上页下页返回结束4.可导必连续,但连续不一定可导;2.导数的定义：1.导数的实质:函数增量与自变量增量比值的极限;3.导数的几何意义:切线的斜率;内容小结目录上页下页返回结束作业

P41习题2.1（B）1，2,5,6目录上页下页返回结束2.2导数的基本公式和四则运算法则2.2.1导数的基本公式2.2.2导数的四则运算法则目录上页下页返回结束2.2.1导数的基本公式目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束2.2.2导数的四则运算法则，则(C为常数)目录上页下页返回结束注：（1）、（2）可推广到任意有限项的情形.目录上页下页返回结束证:

设,则目录上页下页返回结束(2)设则有目录上页下页返回结束例2.7解:目录上页下页返回结束例2.8

求证证:目录上页下页返回结束类似可证:目录上页下页返回结束例2.9解:目录上页下页返回结束例2.10解:目录上页下页返回结束例2.11求曲线上垂直于直线

的切线方程.解:由题意，当时，切线方程为当时，切线方程为目录上页下页返回结束内容小结1.求导基本公式及求导的四则运算法则2.

目录上页下页返回结束作业

P45习题2.2（B）1，3目录上页下页返回结束2.3复合函数的导数复合函数的求导法则法则2.1在点x有导数,在点复合函数且在点x可导,有导数，则或或目录上页下页返回结束简证:在点处可导,在点处连续,目录上页下页返回结束例如,复合函数求导步骤：（1）.分解符合函数；（2）运用求导法则；（3）回代推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.目录上页下页返回结束例2.12求下列函数的导数解:目录上页下页返回结束熟练之后，可以省去分解过程，如下：对中间变量求导分解法则再中间变量对最终变量求导同理中间变量目录上页下页返回结束例2.13求下列函数的导数解:中间变量目录上页下页返回结束第一中间变量第二中间变量目录上页下页返回结束第一中间变量第二中间变量目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束例2.13解:特别地，目录上页下页返回结束例2.14解:记号说明：目录上页下页返回结束例2.15.求解:注：必要时可先对函数进行变形，使其形式便于求导目录上页下页返回结束例2.16求下列函数的导数解:目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束内容小结1.复合函数求导法则(链式法则)2.复合函数求导步骤：（1）分解（2）法则（3）回代省略函数结构图：目录上页下页返回结束作业

P49习题2.3（B）1（奇数项），3目录上页下页返回结束2.4隐函数和参数式函数的导数2.4.1隐函数的导数2.4.2参数式函数的导数目录上页下页返回结束2.4.1隐函数的导数显函数：直接表示成的解析式.如,隐函数：由方程可确定y关于x的函数，但不可显化.如,再如,可确定y是x的函数,可确定y是x的函数,并可显化为目录上页下页返回结束隐函数求导方法:方程两边对x求导(含导数的方程)注意：方程两边对x求导时，把看作的函数，的函数看作是以为中间变量的的复合函数.目录上页下页返回结束例2.17求由方程所确定的隐函数的导数.解:方程两边对x求导解出得目录上页下页返回结束例2.18求由方程所确定的隐函数的导数。解:方程两边对x求导解得目录上页下页返回结束例2.19

求由椭圆方程在点处的切线方程.解:椭圆方程两边对x求导故切线方程为目录上页下页返回结束对数求导法:例2.20

设函数，证明证明函数是由方程所确定的隐函数。两边对求导，得所以即得：目录上页下页返回结束例2.21

设函数，证明，证明

函数是由方程所确定的隐函数。两边对求导，得1=因为所以故，目录上页下页返回结束例2.22

求的导数.解:两边取对数,得两边对x求导目录上页下页返回结束例2.23求的导数.解:两边取对数,得两边对x求导目录上页下页返回结束1)对幂指函数，其中可用对数求导法求导:说明:目录上页下页返回结束2)有些显函数(多项式子的积或商)用对数求导法求导很方便.例2.24

设函数，求解:两边取对数,得两边对x求导所以目录上页下页返回结束2.4.2参数式函数的导数若参数方程可确定一个y与x之间的函数关系,称是由参数方程所确定的函数.

当都存在，且时目录上页下页返回结束(此时看成x是y的函数)当都存在，且时目录上页下页返回结束例2.25求由方程

所确定的函数的导数解目录上页下页返回结束例2.26求摆线（为常数）上对应于的点M0处的切线方程.的点M0的坐标为又即摆线在M0处的切线斜率为1，故所求的切线方程为：

解

摆线上对应于目录上页下页返回结束例2.27

以初速度、发射角发射炮弹，已知炮弹的运动规律是

为重力加速度）的运动方向；的速率（图2-4）（1）求炮弹在任一时刻（2）求炮弹在任一时刻目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束解（1）炮弹任一时刻的运动方向，的切线方向，就是指炮弹运动轨迹在时刻而切线方向可由切线的斜率反映.目录上页下页返回结束（2）炮弹的运动速度是一个向量，设时的速率为，则目录上页下页返回结束内容小结1.隐函数求导方法：2.对数求导法：方程两边对x求导(含导数的方程)适用于幂指函数及多个式子连乘,连除表示的函数.目录上页下页返回结束参数方程3.参数式函数的求导方法：目录上页下页返回结束作业

P55习题2.4（B）1，2，5目录上页下页返回结束2.5高阶导数和导数的物理含义2.5.1

高阶导数2.5.2导数的物理含义目录上页下页返回结束速度即加速度即引例：变速直线运动2.5.1高阶导数目录上页下页返回结束定义2.2设函数的导数可导,或即或的二阶导数,记作的导数为则称目录上页下页返回结束类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n阶导数,或依次类推,分别记作函数的二阶及二阶以上的导数称为函数的高阶导数.目录上页下页返回结束例2.28

求函数的四阶导数解

目录上页下页返回结束例2.29

求函数的阶导数.

解依次类推最后可得目录上页下页返回结束例2.30若存在二阶导数，求函数的二阶导数.

解目录上页下页返回结束例2.31

求函数的n阶导数.解

目录上页下页返回结束依次类推最后可得目录上页下页返回结束例2.32

设隐函数由方程确定，求解

方程两边对求导，

解得（１）（２）目录上页下页返回结束再将（1）式两端对求导，解得（３）将（2）代入（3），得目录上页下页返回结束例2.33设函数的参数式为求的二阶导数.解目录上页下页返回结束因为，所以求二阶导数相当于确定的函数的导数，继续应用参数式函数的求导法则，求由参数方程得到

目录上页下页返回结束2.5.2导数的物理含义导数的本质:函数增量与自变量增量比值的极限.类似问题在物理学中有:1、加速度2、线密度3、功率4、电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题是做功增量与时间增量之比的极限目录上页下页返回结束1.速度与加速度设物体作直线运动，位移函数，速度函数和加速度函数分别为目录上页下页返回结束如设位移函数为（g为重力加速度，取g=9.8m/s2），求时的速度和加速度.则目录上页下页返回结束2.线密度设非均匀的线材质量与线材长度有关系，则在处的线密度（即单位长度的质量）从小端开始计长，求中点处的线密度.因为长为处的截面积的直径如图形状的柱形铁棒，铁的密度为7.8g/cm3，d=2cm，D=10cm，目录上页下页返回结束所以长为的柱形体体积质量函数：密度函数：中点处的线密度为：目录上页下页返回结束3.功率单位时间内做的功称为功率，若做功函数为，则时的功率.

如：质量为的汽车，能在时间内把汽车从静止状态加速到若汽车启动后作匀加速直线运动，求发动机的最大输出功率.加速度目录上页下页返回结束汽车的位移函数为：据第二运动定律，汽车受推力为所以推力作功函数为功率函数时达到最大输出功率为马力目录上页下页返回结束4.电流电流是单位时间内通过导体界面的电量，即电量关于时间的变化率，记为通过截面的电量，为截面上的电流，则

现设通过截面的电量则通过该截面的电流为：目录上页下页返回结束1.高阶导数的求法内容小结2.导数的物理含义作业

P60习题2.5（B）3，6，7，8，9目录上页下页返回结束2.6微分2.6.1微分的概念2.6.2微分的基本公式与运算法则2.6.3微分在数值计算上的应用2.6.4绝对误差与相对误差目录上页下页返回结束2.6.1微分的概念引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?变到边长由其设薄片边长为x,面积为A,则面积的增量为当x

在得增量时,1.微分的定义目录上页下页返回结束关于△x

的线性主部高阶无穷小时为故目录上页下页返回结束定义2.3:

若函数在点的增量可表示为(A为不依赖于△x

的常数)的微分,则称函数而称为记作即在点可微,目录上页下页返回结束结论:函数在点可微的充要条件是即故证:“必要性”已知在点可微,则在点的可导,且目录上页下页返回结束“充分性”已知即在点的可导,则目录上页下页返回结束说明(1)当很小时,有近似公式与是等价无穷小,故当时（2）如果函数在某区间内每一点处都可微，处的微分为函数在区间内则称函数在该区间内是可微函数，一点任（3）表明导数是函数的微分与自变量的的商，故导数也称为微商.微分目录上页下页返回结束例2.34

求函数在处，对应于分别为0.1和0.01时的改变量及微分自变量的改变量解

在处，当时当时，目录上页下页返回结束例2.35求函数微分.，.解目录上页下页返回结束2.微分的几何意义切线纵坐标的增量设函数的图像如图2-7所示，点，

在图像上，过分别作

轴，轴的平行，线相交于点

，则有向线段过点再作图像曲线的切线，设其倾斜角为交于点则有向线段目录上页下页返回结束函数在点处的微分在几何上表示函数图像在点处切线的纵坐标的相应改变量.微分的几何意义目录上页下页返回结束2.6.2微分的基本公式与运算法则1.微分的基本公式目录上页下页返回结束(C

为常数)2.微分的四则运算法则目录上页下页返回结束分别可微,的微分为一阶微分形式的不变性3.复合函数的微分法则则复合函数故目录上页下页返回结束例2.36求解

目录上页下页返回结束例2.37已知函数，求

=

解:目录上页下页返回结束例2.38证明参数式函数的求导公式。的参数方程形式为，其中可导，则：证明设函数当时，目录上页下页返回结束例2.39用求微分的方法，求由方程所确定的隐函数的微分与导数。解

对方程两端分别求微分，有即当时，可得即目录上页下页返回结束2.6.3

微分在数值计算上的应用当很小时,使用原则:得近似等式:目录上页下页返回结束特别当很小时,常用近似公式:很小)目录上页下页返回结束证明:(1)记，则；，则代入,即得目录上页下页返回结束例2.40求的近似值(精确到第4位小数)..解由知目录上页下页返回结束的近似值.解:例2.41

计算算式属于常用工程公式（1）的类型，必须把写成的形式，其中易求且较小。因为，所以目录上页下页返回结束2.6.4绝对误差与相对误差某量的精确值为A,其近似值为a,绝对误差：若称为测量

A

的绝对误差限称为测量

A

的相对误差限相对误差：目录上页下页返回结束误差传递公式:已知测量误差限为按公式计算y值时的误差故y的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得x,目录上页下页返回结束例2.42

设测得圆钢截面的直径

测量D的

解:计算A

的绝对误差限约为

A

的相对误差限约为圆钢截面积,试估计面积的误差.绝对误差限欲利用公式计算(mm)目录上页下页返回结束1.微分概念微分的定义及几何意义可导可微2.微分运算法则一阶微分形式不变性:3.微分的应用近似计算绝对误差与相对误差内容小结目录上页下页返回结束作业P68习题2.6（B）2，3，4，5，8目录上页下页返回结束第四章积分及其应用4.1积分概述4.2直接积分法4.3换元积分法4.4分部积分法4.5广义积分法4.6积分在几何上的应用4.7积分在物理上的应用4.1积分概述4.1.1积分的定义单曲边梯形的面积所谓单曲边梯形是指将直角梯形的斜腰换成连续曲线段后的图形.如图4-1：图4-1如何计算上述图形的面积呢？适当选取直角坐标系，将曲边梯形的一直腰放在x轴上，两底边为

x=a,x=b,设曲不妨设如图边的方程为y=f(x).，且上连续。4-2：图4-2具体做法如下：（1）化整为微

任取一组分点将区间分成n个小区间：第i个小区间的长度为第i个小曲边梯形的面积为。，过各个分点作x轴的垂线，将原来的曲边梯形分成n个小曲边梯形，（2）微量近似在每一个小区间上任取一点，（3）积微为整将n个小矩形面积相加，作为原曲边梯形面积的近似值

，当时，（4）极限求精设原曲边梯形的面积为。

２.积分的定义

注意下面的讨论：以表示以为底边的曲边梯形的面积则所求面积

，因为由连续函数的介值定理，存在，使

当因为连续，所以，所以

。虽然，以上所讨论的只是一个求曲边梯形面积的数学模型，但这种局部以直代曲（以小矩形面积代替小曲边梯形面积），然后相加并求极限的思想，正是微积分的精华所在。为此，可以有如下定义：定义4.1设函数在区间上连续，且，则

表示在牛顿—莱布尼茨公式或微积分基本公式.其中，称为被积函数，a和b分别称为积分下限和积分上限，称为积分表达式，为积分变量，称为积分区间.上的积分.这个式子就是有名的例１求.解因为，所以

.原式=例２求解因为

.，所以，原式=图4-34.1.2积分的几何意义如果在上连续且非负，则恰好表示由曲线，直线以及轴所围图形的面积.如图4-3：图4-4如果在上连续且非正，则恰好表示由曲线，直线以及轴所围图形面积的负值.如图4-4：图4-5一般的情况下，如果在上连续，则表示由曲线，直线以及轴所围图形面积的代数值.如图4-5：4.1.3积分的性质由积分的定义，可以推出积分具有以下一些性质（假设被积函数在积分区间上连续）：性质１（常数性质）

.性质２（反积分区间性质）

.性质３（线性性质）

性质４（积分区间的可加性）

性质５（有序性）如果在区间上有则

.性质６（积分估值性质）设函数，则

性质７（积分中值定理）在内至少存在一个（中值），使

图4-6这个性质的几何解释是明显的（如图4-6）：若在上连续且非负，在内至少存在一点，使得以为底，高为的矩形面积等于以为底边，曲线为曲边的曲边梯形的面积.返回4.2直接积分法4.2.1原函数的定义如果在上连续，则必存在，使得.我们称为在上的一个原函数.例如：，所以就是的一个原函数，又比如（C为常数），所以的原函数不止一个，而是为的一个原函数，则的全部原函数为（C为常数），我们可以记为

日微分中值定理的推论知道，若无穷多个.由拉格朗图4-7上述表达式也可称为的不定积分，其几何意义是很明显的：表示一个曲线族.如图4-7：平行于轴的直线与族中每一条曲线的，因此，曲线族交点处的切线斜率都等于可以由一条曲线通过平移得到.由导数或微分的基本公式可直接得到如下原函数的计算公式：直接积分法的定义4.2.2另外，若和都存在原函数和，因为所以由上述13个基本公式结合§4-1中的积分性质3或上面这个公式，同时对被积函数进行恒等变换而进行的积分运算称为直接积分法.例1计算.解因为

所以，原式=

，例2计算.解因为所以，原式=

例3计算

解

原式=

例4计算

解原式=

例5计算

解原式=

例6计算

解原式=

返回4.3换元积分法

4.3.1第一换元积分法定理１设.则例１计算下列积分：（１）；（２）（３）；（４）.；上述题目都有一个共同的特征：将写成我们也称此种方法为凑微分法.凑微分法可以进行换元也进行换元，不换元则不必换积分上下限，而换元则必换限..可以不常用的微分式子有以下一些（c为常数）：在应用凑微分法熟练之后，可以省略直接写出结果

这一步，例2计算

解

例3计算解

例4计算解

例5计算解注意：

例6计算解

4.3.2第二换元积分法定理２

.则

例7计算

解令所以

例8计算解令所以思考一下，例8中t的积分区间可以取成怎么样？例9计算

解令所以

例10计算解令所以返回4.4分部积分法设函数在上均具有连续导数，则由或两边积分得：

称这个公式为分部积分公式.例1求.

解令则注意：如果令则

此时，右式反而比左式更复杂，这真是弄巧成拙了.因此，这样选取是不合适的.由此可见，应用分部积分法是否有效，是十分关键的.一般可根据以下两个原则选取

选择（1）由求比较容易；例2求.

解令（例1中，.）例3求.解令，则例4求.解

例5求.解令则例6求

解令则例7求

解令则对于等式右端仍令得即所以

一般地

返回4.5广义积分法4.5.1无穷区间上的广义积分图4-8例1如图4-8，若求以为曲顶、[1，A]为底的单曲边梯形的面积S（A），则为现在若要求出由轴所“界定”的“区域”的面积S，，它已经不是通常意义的积分了来获取面积，即则因为区域是（累积范围是无限的）.不过，我们可以这样处理：通过S（A），令定义1设函数在内有定义，对任意（即存在），称无穷区间广义积分，即（简称无穷积分），记做若等式右边的极限存在，则称无穷积分收敛，

否则就称为发散.同样可以定义（极限号下的积分存在）；

（两个极限号下的积分都存在）.

它们也称为无穷积分.如果等式右边的极限都存在，则称无穷积分收敛，否则就是发散.图4-94.5.2无界函数的广义积分若求以为曲顶、为底的单），则为例4如图4-9，曲边梯形的面积S（现在若要求出由

轴和y轴所“界定”的“区域”的面积S，

则因为函数

在处没有意义，且在（0，2]无界，

与例1类似，

它已经不是通常意义的积分了（函数是无界的）.

不过，

我们

可以这样处理：通过S（），令

来获取面积，即定义2设函数

在

上有定义，

对任意，在上可积，即

存在，则称为无界函数

在上的广义积分，记作若等式右边的极限存在，则称无界函数广义积分

收敛，

否则就称为发散.无界函数广义积分也称为暇积分，其中a称为暇点.暇点也可以是区间的右端点b或区间中的内部点，类似地，可以有如下定义：（b为暇点）为暇点）

若等式右端的极限都存在，则暇积分收敛，否则就是发散.返回4.6积分在几何上的应用4.6.2平面图形的面积

1．直角坐标系下平面图形的面积x图4-11(a)yOy=f2(x)bay=f1(x)x图4-11(b)yOx=g1(y)x=g2(y)dc通常把由上下两条曲线与及左右两条直线x

a与x

b与及上下两条直线y

c与y

d所围成的平面图形称为X-型图形；而由左右两条曲线所围成的平面图形称为Y-型图形.注意构成图形的两条直线，有时也可能蜕化为点4.6.1积分的微分法X-型图形的面积.Y-型图形的面积.

例1计算曲线所围成的图形的面积A.

解解方程组

得交点为（0，0）、（1，1）.由公式，所求图形的面积为例2计算抛物线y2

2x与直线y

x-4所围成的图形的面积A.

解解方程组得交点为（2，-2）、（8，4）.由公式，所求图形的面积为例3求由曲线和直线

及y轴所围成图形的面积A.解在之间，两条曲线有两个交点：

由图易知，

所求面积为x图4-14yO

y=sinx2

1y=cosx－1

CB2．曲边以参数方程给出的平面图形的面积

例4求摆线一拱与x轴所围图形的面积A.解所围图形为X-图形，曲边方程为

由公式得换元

而所以3.极坐标情形x图4-16r=r(

)O

d

对极坐标系中的图形,将从极角的变化特点来考虑求面积问题

所围成的图形称为曲边扇形.下面利用微元法求它的面积公式.在极坐标系中，称由曲线r

r(

)及射线.在上任取一微段面积微元dA表示这个角内的小曲边扇形的面积，（等式右边表示以）为半径、中心角为的，扇形面积），所以曲边扇形的面积为.

例5计算双纽线

(a>0)所围成的图形的面积.

解双纽线即因为图形关于极点对称，所以所求面积A是部分面积的两倍.xya

4.6.3空间立体的体积这里我们主要介绍旋转体的体积.把X-型单曲边梯形绕x轴旋转一周得到旋转体，其体积为

x图4-18(a)OyxA(x)f(x)bay=f(x)类似可得把Y-型单曲边梯形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积的计算公式，xOyx=g(y)dc图4-18(b)例6连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线x

h

及x轴围成一个直角三角形.将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体.计算这圆锥体的体积.

解直角三角形斜边的直线方程为

所求圆锥体的体积为

例7计算椭圆绕x轴及y轴旋转而成的椭球体的体积.

解（1）绕x轴旋转所得的椭球体，

可以看作是由上半个椭圆

及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体，

由公式得xyab－a－bO图4-20(a)（2）绕y轴旋转所得的椭球体，可以看作是由右半个椭圆及y轴围成的图形绕y轴旋转而成的立体，由公式得

xOyab－a－b图4--20（b)4.6.4平面曲线的弧长1．直角坐标情形设光滑曲线由直角坐标方程y

f(x)(a

x

b)给出,曲线长度微元ds的计算公式xOyabxx+dxABPdyy=f(x)图4-22据微元法，得所求的弧长为例9计算曲线

()

的弧长.

解因为,所以由公式得所求弧长为

2．参数方程情形

设曲线由参数方程给出,

其中在[

,

]上连续且不同时为0，

代入弧微分公式得对应于参数微段

[t,t+dt]的弧长微元为

由微元法得，所求弧长为

例10计算星形线

的长度.解由对称性，星形线的长度是第一象限部分长度的4倍.弧长微元为所求弧长为

6a.

3．极坐标情形设曲线由极坐标方程

r

r(

)(

)给出,其中在[

,

]上具有连续导数.

由直角坐标与极坐标的关系，曲线相当于以参数式给出.于是得对应于参数微段弧长微元为由微元法，得所求弧长为返回4.7积分在物理上的应用

4.7.1变力做功取物体运动路径为x轴，位移量为x，则，力为F=F(x).现物体从点

x=a移动到点x=b，

求力F对物体所做功W的做法如下：

在区间[a,b]上任取一微段[x,x+dx]，力F在此微段上做功微元为dW.假设在微段[x,x+dx]上F(x)看成不变，则，功的微元为dW=F(x)dx.由微元法得到例1半径为1米的半球形水池（如图），池中充满了水，把池内水全部抽完需做多少功？

解把水看作是一层一层地抽出来的.任取一个与池面距离为x的小薄层，厚度为dx，功的微元（把这层水抽到地面）为

所以，抽干水所做的功为图4-26

例2、弹簧在弹性限度之内，外力拉长或压缩弹簧需要克服弹力做功.已知弹簧每拉长0.1m需用9.8N的力，求把弹簧拉长0.5m时，

外力所做的功W.

解据虎克定律，

其中k为弹性系数，

由题设知9.8=0.1k,即k=98，所以功的微元为，

所以，外力克服弹力做的功为4.7.2液体的压力平行于液体表面，深度为h，

上表面的面积为S的物体，其上表面所承受的压力为，

其中为液体的密度，为重力加速度.

我们只就承压面与液体表面垂直的情况，但在实际问题中，

往往会遇到物体表面

不是平行而是呈现一定的角度的现象，

讨论液体对承压面的压力.承压面沿深度为x的水平线上压强相同，为，现在在深x

处取一高为dx的微条，设其面积为

dS,

微条上受液体的压力微元为dP，

近似认为在微条上压强相同，则

若承压面的深度从a到b(a<b),则承压面上受液体的总压力为例3设有一竖直的水闸门，形状是等腰梯形，上底与水

长为8m，下底长4m，高为10m.求闸门所受水

的压力。

面平齐，解如图：容易推出，水深为xm处水闸面的宽度为水的密度为，

闸门入水深度从0m到10m，

所以闸门受水的总压力为第5章常微分方程与拉普拉斯变换

5.1微分方程的基本概念5.2一阶微分方程

5.3可降阶的高阶微分方程5.4

二阶常系数线性微分方程

5.5微分方程的应用5.6

拉普拉斯变换的基本概念5.7拉普拉斯变换的性质

5.8拉普拉斯变换的逆变换5.9拉普拉斯变换的简单应用

5.1微分方程的基本概念

例1已知曲线通过点（2，6），且该曲线任意点M(x,y)处的切线的斜率等于，求此曲线方程

例2一质量为m的质点，从高h处，只受重力作用从静止状态自由下落，试求其运动方程.先看两个引例相关概念:

常微分方程微分方程的阶通解、特解积分曲线族例3验证

函数x

C1coskt

C2sinkt是微分方程的通解

并求满足初始条件的特解

返回5.2一阶微分方程

解法——分离变量法：

第一步：分离变量第二步：两端积分5.2.1可分离变量的微分方程

例1求微分方程满足条件的特解

例2求方程的通解

5.2.2齐次方程解法——变量代换法：

第一步：方程变形第二步：分离变量第三步：两端积分第四步：回代求解例3求微分方程满足的特解.

例4求微分方程的通解.5.2.3一阶线性微分方程分类：

一阶线性非齐次微分方程——

一阶线性齐次微分方程———

（一）一阶线性齐次微分方程的解法——分离变量法其通解为（二）一阶线性非齐次微分方程的解法——常数变易法非齐次方程（1-4）的通解为

或

例5求方程

的通解例6求微分方程满足条件的特解.返回5.3可降阶的高阶微分方程

二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.把高阶方程降阶为阶数较低的方程求解，是求解高阶微分方程的常用技巧之一.5.3.1y(n)

f(x)型的微分方程

解法——直接降阶法例1求微分方程y

e2x-cosx的通解

5.3.2缺项型二阶微分方程

型的微分方程型的微分方程解法——变量代换法第一步：变量代换第二步：方程变形第三步：回代求解设

,

例2求微分方程满足初始条件的特解

例3求微分方程的通解

例4求微分方程满足初始条件的特解

返回5.4

二阶常系数线性微分方程

分类：

二阶常系数线性非齐次微分方程——

二阶常系数线性齐次微分方程———

5.4.1二阶常系数线性齐次微分方程的解法——特征根法一对共轭复数根两个相等的实特征根两个不等的实特征根齐次方程的通解形式特征根的情况例1求微分方程的满足初始条件的特解.

例2求微分方程的通解.

例3求微分方程的通解.

5.4.2二阶常系数线性非齐次微分方程的解法——

特解公式法或待定公式法二阶常系数线性非齐次微分方程的通解结构为其中y是通解，Y是对应齐次微分方程的通解，y*是该方程的特解（一）特解公式法（二）待定系数法1.型其中为n次待定多项式，即而k的取法如下：

特解为2.型此时方程为其中A,B为待定系数，而k的取法如下：

其中均为常数特解为例5求微分方程的通解.例4求微分方程的一个特解.

例6求微分方程的一个特解.例7求微分方程满足的特解.返回应用微分方程解决实际问题通常按照下列步骤进行：（1）建立模型：分析实际问题，建立微分方程，确定初始条件；（2）求解方程：求出所列微分方程的通解，并根据初始条件确定出符合实际情况的特解；（3）解释问题：从微分方程的解，解释、分析实际问题，预测变化趋势.例1设RC电路如图5-3所示，其中电阻R和电容C均为正常数，电源电压为E.如果开关K闭合（t=0）时，电容两端的电压求开关合上后电压随时间t的变化规律.例2离地面10m高度的钉子上悬挂着一链条，链条开始滑落时一端距离钉子4m，另一端距离钉子5m，若不计钉子与链条间的摩擦力，试求整条链子滑下钉子所用的时间.例3质量为m的重物挂在弹簧下端，使弹簧有一定的伸长而达到平衡.现再把重物拉下x0个长度单位后放手，如果不计重物与滑道之间的摩擦力，求在弹簧弹力作用下重物在滑道内的位移规律.5.5微分方程的应用返回5.6

拉普拉斯变换的基本概念定义2设函数的定义域为，若广义积分

在p的某一范围内收敛，则此积分就确定了一个参数为p的函数，记作，即

函数叫做的拉普拉斯（Laplace）变换，简称拉氏变换（或叫做的像函数），用记号表示，即

如果是的拉氏变换，那么把叫做的拉氏逆变换（或的像原函数），记作即

.例1求指数函数的拉氏变换.例2求一次函数，a是常数）的拉氏变换.例3求单位阶梯函数u(t)的拉氏变换.例4求狄拉克函数的拉氏变换.例5求下列函数的拉氏变换返回5.7拉普拉斯变换的性质

性质1（线性性质）如果是任意常数，且设则.性质2（平移性质）如果，那么.性质3（延滞性质）如果，那么.

性质4（微分性质）如果上连续可微，那么性质5（积分性质）如果是连续函数且可积，那么

性质6（相似性质）如果那么当a>0时，有性质7如果，那么.

且性质8如果存在，那么

例1求函数的拉氏变换.例2求例3求：（a>0）;例4*求.

例5利用微分性质求.

例6利用积分性质求

例7求

例8求例9求返回5.8拉普拉斯变换的逆变换5.8.1直接公式法1.利用拉氏变换表求拉氏变换的逆变换性质3（延滞性质）

性质1（线性性质) 性质2（平移性质） 2.利用拉氏变换的性质求拉氏变换的逆变换.例1求下列函数的拉氏逆变换：例2求下列函数的拉氏逆变换：5.8.2部分分式法有理函数R(x)是指两个多项式的商，即一般可拆分为整式和真分式之和．例3将分解为部分分式.例4将(1)分解为部分分式.

例５求下列函数的拉氏逆变换：

返回5.9拉普拉斯变换的简单应用5.9.1利用拉氏变换解线性微分方程方法及步骤如下：(1)对微分方程两边取拉氏变换，得像函数的代数方程；(2)解像函数的代数方程求出像函数；(3)对像函数取拉氏逆变换，求出像原函数，即为微分方程的解.例1求微分方程，满足初始条件的解.例2求方程，满足初始条件的解.

5.9.2利用拉氏变换解线性微分方程组例3求微分方程组满足初始条件的特解.第6章空间解析几何与多元函数微积分以前我们讨论的函数只依赖于一个自变量，但在自然科学和工程技术上常常会遇到依赖于两个或更多个自变量的函数，这种函数称为多元函数．本章先介绍空间解析几何的初步知识，然后在一元函数的基础上，讨论多元函数的基本概念、多元函数的微积分法及其应用．学习本章时，在方法上要注意二维向量与三维向量及一元函数与二元函数之间的异同点，以便更好地掌握多元函数微积分法的基本概念和方法．6.1空间解析几何初步6.2多元函数6.3偏导数与全微分6.4多元函数的极值和最值6.5二重积分6.6二重积分的计算与应用6.1空间解析几何初步6.1.1空间直角坐标系1.空间直角坐标系的概念2.空间点的直角坐标xyzOMxyz6.1.2向量及其运算1.向量的概念在研究力学、物理学及其他一些实际问题时,我们经常遇到这样一类量,它既有大小又有方向,我们把这一类量叫做向量,如力、速度、位移等.向量的表示：a,b,c向量的模：单位向量：模等于1的向量。零向量：模为0的向量。向量平行：a∥b向径：xyzrOM如图，称为向径，通常记作r.记a＝（x,y,z）.向量，向径，坐标之间有一一对应的关系。a2.向量的线性运算（1）向量的加法：c=a+b加法运算定律：①交换律：a+b=b+a;②结合律：(a+b)+c=a+(b+c).(2)向量的减法：a-b=a+(-b)ABCa+babab－ba－ba－b（3）向量的数乘：λa实数向量数乘运算定律：①结合律：(λμ)a=λ(μa)=μ(λa);②分配律：λ(a+b)=λa+λb,(λ+μ)a=λa+μa定理1：设向量a≠0，则向量b平行于a的充分必要条件是存在唯一的实数λ,使b=λa.(4)坐标基本向量及向量关于基本向量的分解坐标基本向量：i=(1,0,0);j=(0,1,0);k=(0,0,1)a=(x,y,z)=xi+yj+zkxyzOMaijkxiyjzk向量的坐标运算：a＝b＝a+b＝例1：设a=(0,-1,2),b=(-1,3,4),求a+b,2a-b.解：a+b=(0+(-1),-1+3,2+4)=(-1,2,6);2a-b=(2×0,2×

(-1),2×2)-(-1,3,4)=(0-(-1),-2-3,4-4)=(1,-5,0).例2：已知两点A(0,1,-4),B(2,3,0),试用坐标表示向量解：3.向量的数量积向量的夹角:(a,b)或(b,a)向量垂直：a⊥b定义1设a,b是两个向量，它们的模及夹角的余弦的乘积，称为向量a与b的数量积，记为a·b，即

a·b＝︱a︱︱b︱cos(a,b).

坐标基本向量的数量积：i·i=j·j=k·k=1;i·j=j·i=i·k=k·i=j·k=k·j=0.数量积的性质：①a·a=;②a·0=0,其中0是零向量;③a·b=b·a;④(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b),其中是任意实数;⑤(a+b)·c=a·c+b·c向量的数量积不满足结合律例3已知(a,b)=,︱a︱=3,︱b︱=4,求向量c=3a+2b的模。解：把代入,即得所以,

向量数量积的坐标运算：a·b

.·例4

已知三点求向量与的夹角.解：

所以4.向量的向量积定义2

a,b两个向量的向量积是一个向量,记作,它的模为,它的方向与a,b所在的平面垂直,成右手系.且使a,b,ab向量的向量积的运算性质：①a×a=0;②a×0=0;③a×b＝－

b×a;④(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b),⑤(a+b)×c=a×c+b×c,(a+b)×c=a×c+b×c.坐标基本向量的向量积：i×j=k,j×k=i,k×i=j,

j×i=-k,k×j=-i,i×k=-j,

向量的向量积不满足交换律，结合律向量积的坐标运算：例5

已知,求。

.解：例6已知三点,求解：由向量积的定义及几何意义知.的面积.5.向