高中三年级上学期数学《排列组合中的分组、分配问题》教学设计

6.2.4排列组合的应用（分组分配问题）教学设计教学目标：（1）结合实例，学会解决计数中的一类特殊问题：不同元素的分组、分配问题；（2）体会分组、分配问题在实际生活中的应用，提高数据分析能力.教学重点：掌握分组、分配问题；教学难点：平均分组与非平均分组的区别.教学过程：一、分组、分配问题的定义定义1：将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。分组问题分为平均分组、非平均分组、部分平均分组共三种情况。定义2：将n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象，称为分配问题，分配问题分为定向分配和不定向分配共两种情况。分组问题和分配问题是两类不同的问题，前者组与组之间只考虑元素个数的不同，而元素之间是不加区分的；而后者因分配的对象不同，即使两组元素个数相同，仍然是不同的分配。处理分配问题的方法一般是：先分组后分配。二、举例说明例题1：六本不同的书，分为三组。按下列要求，各有多少种不同的分组方法？(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本.(3)一组四本，另外两组各一本.解：(1)每组两本.这是“平均分组”问题.根据分步乘法计数原理可得,每组两本有(种)分法，但这里出现重复计数的现象，不妨记六本书分别为A，B，C，D，E，F。若第一步取A，B，第二步取C，D，第三步取E，F，该分法记为(AB，CD，EF)，这中还包括(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)这5种分法，故AB，CD，EF的分组重复计数次，故应有种分法．(2)一组一本，一组二本，一组三本.这是“非平均分组”问题，仅仅分组，与顺序无关，组合问题。先从六本书中任选一本，作为一份，有种选法，再从余下的五本书中任选两本，作为另一份，有种选法，最后余下三本书作为一份，有种选法，共有=60(种)分法.(3)一组四本，另外两组各一本.这是“部分平均分组”问题。先从六本书中任选4本，作为一份，有种选法，再从余下的2本书中任选1本，作为另一份，有种选法，最后余下1本书作为一份，有种选法，但这后面两组是平均分组，所以有重复，重复次。故共有=15(种)分法.例题2：六本不同的书，分给甲、乙、丙三人。按下列要求，各有多少种不同的分配方法？(1)每人两本；(2)甲得一本，乙得两本，丙得三本；(3)甲得四本，乙、丙各得一本；(4)一人得四本，另外两个人每个人得一本。解：(1)每人两本；这是分配问题中的不定向分配问题----------不定向平均分配。分配问题一般解决方法是：先分组，再分配。第一步：先平均分为三组，这是“平均分组”问题，应有种分法．第二步：再将这三组分配给甲、乙、丙三人，应有种分法．故共有种分法．(2)甲得一本，乙得两本，丙得三本；解：这是分配问题中的定向分配问题--------定向非平均分配。第一步：先分为三组，一组一本，一组二本，一组三本，应有种分法．第二步：再将这三组指定分配给甲、乙、丙三人，没有顺序，只有1种分法．故共有种分法．(3)甲得四本，乙、丙各得一本.解：这是分配问题中的定向分配问题--------定向部分平均分配第一步：先分为三组，一组四本，另外两组各一本，应有种分法．第二步：再将这三组分配给甲、乙、丙三人，注意甲指定（定向），乙、丙无顺序，有种分法．故共有种分法．(4)一人得四本，另外两个人每个人得一本。解：这是分配问题中的不定向分配问题--------不定向部分平均分配解决方法仍然是：先分组，再分配。第一步：先分为三组，一组四本，另外两组各一本，应有种分法．第二步：再将这三组不定向分配给甲、乙、丙三人，注意甲、乙、丙无顺序)，有种分法．故共有种分法．三、总结不同元素的分组与分配问题解题思想：先分组、后分配(1)分组时，组与组之间只有元素个数的区别，相同元素个数的组是一样的，计数时要注意避免重复。(2)分配是将元素具体分给不同的对象，对象不同，分配方法就不同，即使是分到的元素个数相同。(3)平均分组时，需要除以