5.2.2　同角三角函数的基本关系

5.2.2同角三角函数的基本关系第五章

§5.2三角函数的概念1.理解并掌握同角三角函数的基本关系.2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和

证明.学习目标“一支竹篙啊，难渡汪洋海，众人划桨哟，开动大帆船，一棵小树呀，弱不禁风雨，百里森林哟，并肩耐岁寒，耐岁寒，一加十，十加百，百加千千万，你加我，我加你，大家心相连，同舟共济海让路，号子嘛一喊浪靠边，百舸嘛争流千帆进，波涛在后岸在前……”伴随着一首经典老歌，让我们感触很深，歌词中每一句都流露出了“团结就是力量，团结就是胜利”，就像是我们数学中的每一个知识点一样，彼此紧密联系，比如我们刚学过的正弦、余弦和正切函数，它们之间到底有什么样的联系呢，让我们一起去发现.导语随堂演练课时对点练一、利用同角三角函数的关系求值二、利用同角三角函数的关系化简三、一般恒等式的证明内容索引一、利用同角三角函数的关系求值问题1观察下表，你能发现什么？提示对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cosα≠0)，正弦与余弦的平方和等于1.问题2

若P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，则角α的三个三角函数值之间有什么联系？提示若余弦不为0，则正切等于正弦比余弦；因为点P在单位圆上，则由勾股定理得x2＋y2＝1.知识梳理同角三角函数的基本关系平方关系：sin2α＋cos2α＝

；1tan

α这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.当α是第二象限角时，sinα>0，tanα<0，当α是第三象限角时，sinα<0，tanα>0，反思感悟

已知一个三角函数值求其它三角函数值的方法(4)注意要根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号.跟踪训练1

已知sinα＋3cosα＝0，求sinα，cosα的值.解∵sinα＋3cosα＝0，∴sinα＝－3cosα.又sin2α＋cos2α＝1，∴(－3cosα)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，又由sinα＝－3cosα，可知sinα与cosα异号，∴角α的终边在第二或第四象限.二、利用同角三角函数的关系化简问题3你能发现同角三角函数的哪些变形形式？利用上述变换我们可以对三角函数式进行化简，也就是代数式的恒等变换，要使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数种类尽可能的少，式子中尽量不含根号，能求值的尽量求值.例2化简：反思感悟

三角函数式的化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.三、一般恒等式的证明所以原等式成立.所以原等式成立.反思感悟

证明三角恒等式常用的方法(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简.(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子.(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异.注意点：(1)证明三角恒等式的实质：清楚等式两端的差异，有目的的化简；(2)基本原则：由繁到简；(3)常用方法：从左向右证，从右向左证，左右同时证.所以原等式成立.所以左边＝右边，原等式成立.1.知识清单：(1)同角三角函数的基本关系.(2)利用同角三角函数的基本关系求值、化简与证明.2.方法归纳：由部分到整体、整体代换法.3.常见误区：求值时注意α的范围，如果无法确定，一定要对α所在的象限进行分类讨论.课堂小结随堂演练1234√√123412343.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sinα，3)，则cosα等于√1234课时对点练基础巩固123456789101112131415√16解析由条件知α是第四象限角，所以sinα<0，123456789101112131415√16123456789101112131415√16解析原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1.123456789101112131415√16因为α为第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，解析由sin2α＋cos2α＝1，得1－cos2α＝sin2α，√12345678910111213141516解析由商数关系可知A，D均不正确；当α为第二象限角时，cosα<0，sinα>0，故B正确，则C不正确.6.(多选)如果α是第二象限角，下列各式中不成立的是√√√12345678910111213141516123456789101112131415167.化简(1＋tan215°)·cos215°＝

.1解析(1＋tan215°)·cos215°1234567891011121314158.设a>0且a≠1，若loga(sinx－cosx)＝0，则sin8x＋cos8x＝

.1解析因为a>0且a≠1，若loga(sinx－cosx)＝0,则sinx－cosx＝a0＝1，所以(sinx－cosx)2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx＝1，又sin2x＋cos2x＝1，所以sinxcosx＝0，又由(sin2x＋cos2x)2＝sin4x＋cos4x＋2sin2xcos2x＝1，得sin4x＋cos4x＝1，所以sin8x＋cos8x＝(sin4x＋cos4x)2－2sin4xcos4x＝(sin4x＋cos4x)2＝1.161234567891011121314151612345678910111213141516解因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0.12345678910111213141516综合运用11.若tanα＝m，α是第二象限角，则cosα等于√解析∵α是第二象限角，且tanα＝m，∴m<0，sinα>0，cosα<0，mcosα＝sinα，代入平方关系得到m2cos2α＋cos2α＝1，12345678910111213141516√12345678910111213141516A.16 B.17 C.18 D.19√12345678910111213141516解析∵sin2α＋cos2α＝1，123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516拓广探究12345678910111213141516812345678910111213141516解得m＝8.1234567891011121314151612345678910111213141516则有sin4α－cos4α＝1；sin2α－cos2α＝1.(2)任取一个α的值，分别计算sin4α－cos4α，sin2α－cos2α，你又有什么发现？1