沪科版初三数学知识点总结

初三数学知识点总结

一、二次函数概念：

1.二次函数的概念:一般地，形如>=依2+法+<?（4,b,C是常数，。/0）的函数，叫做二次函数。这

里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数。片0,而6,c可以为零.二次函数的定义域是全体实

数.

2.二次函数>=依2+法+C的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，尤的最高次数是2.

⑵a,6,c是常数，。是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.

二、二次函数的基本形式

1.二次函数基本形式：y=aY的性质:

a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随

a>0向上(0,0)y轴

x的增大而减小；x=0时，y有最小值0.

%>0时，y随尤的增大而减小；x<0时，y随

a<0向下(0,0)y轴

x的增大而增大；尤=0时，y有最大值0.

2.）=幺2+。的性质:

上加下减。

。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随

a>0向上（0,C）y轴

x的增大而减小；x=0时，y有最小值c.

x>0时，y随x的增大而减小；》<0时，y随

a<0向下(O,c)y轴

x的增大而增大；龙=0时，y有最大值c.

3.y=a（x-h）2的性质:

左加右减。

。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

x>/z时，y随X的增大而增大；x</z时，y随

a>0向上（〃，0）X二h

尤的增大而减小；x=/z时，y有最小值0.

%>为时，y随工的增大而减小；xv/z时，y随

a<0向下（〃，0）X=h

x的增大而增大；x=九时，y有最大值0.

4.y=+4的性质:

a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

x＞"时，y随X的增大而增大；x＜/7.时，y随

a>0向上(h,k)X=h

x的增大而减小；x=/z时，y有最小值上.

时，y随x的增大而减小；xv/z时，y随

a<0向下(肌k)X=h

x的增大而增大；x=%时，y有最大值左.

三、二次函数图象的平移

1.平移步骤：

方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式y=a（x-〃）?+%,确定其顶点坐标（〃，左）;

⑵保持抛物线、=依2的形状不变，将其顶点平移到他，大）处，具体平移方法如下：

向上（左＞0）【或向下（尢＜0）】平移肉个单位------

y=aj^-----------------------------------------------------Ay=ax2+k

向右（八＞0）【或左①＜0）】

向右①【或左供＜】

向右（/»0）【或左他＜0）】平移阳个单位＞0）0）

平移同个单位平移阳个单位

向上（k＞0）【或下伏＜0）】

平移同个单位

y=a(x-h)^向上（Q0）【或下依＜0）】平移肉个单位Hy=a（x"）2+左

2.平移规律

在原有函数的基础上“人值正右移，负左移；左值正上移，负下移”.

概括成八个字“左加右减，上加下减”.

方法二：

⑴y=ax?+人九十。沿丁轴平移:向上（下）平移加个单位，j;=ax2+bx+c

y=ax1+bx+c+m(或y=ax2+bx+c-m^

(2)y=+b%沿轴平移：向左(右)平移机个单位，y=。%2+Zzx+c变成

y=a(x+m)2+b(x+m)+c(或y=a(x-m)2+b(x-m)+c)

四、二次函数y=〃（%-力）2+上与y=以2+力x+c的比较

从解析式上看，y=a（%—切2+左与y=依2+乐+。是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前

b\4tzc-b2.a...b,4ac—b2

者，即y=ax-\---+--------,其中/z=——，k=---------

2a4。la4。

五、二次函数y=ax2+bx+c图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数y=o%2+6x+c化为顶点式y=°（尤-7/）2+左，确定其开口方向、

对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴

的交点（0,c）、以及（0,c）关于对称轴对称的点（2寸c）、与x轴的交点a,0）,（尤2,0）（若与无轴

没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

六、二次函数片/+云+°的性质

1.当°＞0时，抛物线开口向上，对称轴为无=-2,顶点坐标为1-幺，4改-」］.

2a（2〃4a）

当尤＜__L时，y随x的增大而减小；当彳＞_2时，y随X的增大而增大；当犬=_2时，y有最小

2a2a2a

2.当a＜0时，抛物线开口向下，对称轴为尤=-2,顶点坐标为（一2,4",一、］.当彳＜-2时，y随

2a（2a4aJ2a

尤的增大而增大；当x＞-2时，y随尤的增大而减小；当无=-2时，y有最大值细二久.

2a2a4a

七、二次函数解析式的表示方法

1.一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，awO）；

2.顶点式：=a（x-h）2+k（a,h,左为常数，awO）；

3.两根式：y=々（%-%）（%-%2）（QW0，%，马是抛物线与不轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只

有抛物线与x轴有交点，即〃—4QCN0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式

的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1.二次项系数。

二次函数＞=依2+厩+。中，。作为二次项系数，显然0大0.

（1）当。＞0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之。的值越小，开口越大；

⑵当。＜0时，抛物线开口向下，。的值越小，开口越小，反之。的值越大，开口越大.

总结起来，。决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，问的大小决定开口的大小.

2.一次项系数6

在二次项系数。确定的前提下，6决定了抛物线的对称轴.

⑴在。＞0的前提下，

h

当6＞0时，-一＜0,即抛物线的对称轴在y轴左侧；

h

当6=0时，=0,即抛物线的对称轴就是y轴；

2a

h

当6<0时，——>0,即抛物线对称轴在y轴的右侧.

2a

⑵在。<0的前提下，结论刚好与上述相反，即

A

当6>0时，-一>0,即抛物线的对称轴在y轴右侧；

2a

h

当b=0时，=即抛物线的对称轴就是y轴；

2a

A

当6<0时，-2<0,即抛物线对称轴在y轴的左侧.

2a

总结起来，在。确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置.

b

出?的符号的判定：对称轴x=——在y轴左边则ab>0,在y轴的右侧则aZ?<0,概括的说就是

2a

“左同右异”

总结：

3.常数项c

⑴当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；

⑵当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；

⑶当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.

总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.

总之，只要。，6,。都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根

据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：

1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2.已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式；

3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1.关于x轴对称

y=ax2+灰+(;关于天轴对称后，得到的解析式是y=-依2-fcv-c；

y=a(x-h)2+左关于无轴对称后，得至！J的解析式是y=-k-

2.关于y轴对称

y=ax2+bx+c关于y轴对称后，得至!］的解析式是y=依?—法+c；

y=a(x-h)2+k关于y轴对称后，得到的解析式是y=a(x+h)2+k；

3.关于原点对称

y=4+b%+c关于原点对称后，得至|J的解析式是y=一加+灰一。；

y+上关于原点对称后，得至IJ的解析式是y=—a（x+〃）2一左；

4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180。）

力2

y=依2+版+。关于顶点对称后，得到的解析式是y=_加2x+c---；

2a

y=a（x—M+左关于顶点对称后，得至U的解析式是y=-〃（％-//）2+%.

5.关于点（m,九）对称

y=a[x-Jif+k关于点（m,〃）对称后，得至U的解析式是y=—〃（工+力一2"?）2+2〃一左

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此同永远不变.求

抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原

抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，

然后再写出其对称抛物线的表达式.

十、二次函数与一元二次方程：

1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与无轴交点情况）：

一元二次方程依2+法+c=o是二次函数y=aY+"+c当函数值y=0时的特殊情况.

图象与x轴的交点个数：

①当△=/??-4ac>0时，图象与无轴交于两点A（X],0）,8（无2，。）（占#/），其中的不，%是一元二次

J/一4。。

方程办2+bx+c=0（a片0）的两根.这两点间的距离48=博-占卜

1«1

②当△=（）时，图象与x轴只有一个交点；

③当A<0时，图象与x轴没有交点.

r当a>0时，图象落在X轴的上方，无论X为任何实数，都有y>0；

2'当a<0时，图象落在尤轴的下方，无论尤为任何实数，都有y<0.

2.抛物线y=o?+bx+c的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0,c）；

3.二次函数常用解题方法总结：

（1）求二次函数的图象与无轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶根据图象的位置判断二次函数丁=依2+灰+。中°,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号

判断图象的位置，要数形结合；

⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一

个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式“/+法+c(awO)本身就是所含字母尤的二次函数;

下面以。＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

A>0抛物线与无轴有二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根

两个交点可零、可负

A=0抛物线与X轴只二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根

有一个交点

A<0抛物线与无轴无二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.

交点

二次函数图像参考：

Iy=3(x+4)2々2

y=2x2+2

\/y=2x2

...1...

11

''；=-2X2'y=-2(x-3)2

y=-2x2

、函数的应用

'刹车距离

二次函数应用,何时获得最大利润

最大面积是多少

二次函数考查重点与常见题型

1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：

已知以X为自变量的二次函数丁=（相-2）/+根2-根-2的图像经过原点，则加的值是

2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查

两个函数的图像，试题类型为选择题，如：

如图，如果函数,=履+》的图像在第一、二、三象限内，那么函数y=+法—1的图像大致是（）

3.考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选

拔性的综合题，如：

已知一条抛物线经过（0,3）,（4,6）两点，对称轴为x=3,求这条抛物线的解析式。

3

4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：

3

已知抛物线y=以2+力火+。（aWO）与x轴的两个交点的横坐标是一1、3,与y轴交点的纵坐标是一万

（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

5.考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。

【例题经典】

由抛物线的位置确定系数的符号

例1⑴二次函数＞=加+法+。的图像如图1,则点〃（瓦£）在（）

a

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（aWO）的图象如图2所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=l

和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（）

A.1个B.2个

【点评】弄清抛物线的位置与系数a,b,c之间的关系，是解决问题的关键.

例2.已知二次函数y=ax?+bx+c的图象与x轴交于点(-2,0)、(xi,0),且l〈x《2,与y轴的正半轴的交

点在点(0,2)的下方.下列结论：①a〈b〈0；②2a+c>0；③4a+c<0；®2a-b+l>0,其中正确结论的个数为()

A1个B.2个C.3个D.4个

答案：D

会用待定系数法求二次函数解析式

例3.已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2,且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线

x=2,则抛物线的顶点坐标为()

A(2,-3)B.(2,1)C(2,3)D.(3,2)

答案：C

例4、如图(单位：m),等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合.设

x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ynR

(1)写出y与x的关系式；

(2)当x=2,3.5时，y分别是多少？AD

(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，|\

三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、\

对称轴.\

例5、已知抛物线y=°*x2+x-』.

22

(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.

(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长.

【点评】本题(1)是对二次函数的“基本方法”的考查，第(2)问主要考查二次函数与一元二次方程的

关系.

例6、”己知函数y=gx?+bx+c的图象经过点A(c,—2),

求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。

(1)根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，

并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。

(2)请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。

点评：对于第(1)小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结

论”函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A(c,—2)”，就可以列出两个

方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第(2)小题，只要给

出的条件能够使求出的二次函数解析式是第(1)小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添

加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点

的坐标等。

1,

［解答］(1)根据y=］厂+bx+c的图象经过点A(c,-2),图象的对称轴是x=3,

(3,-金)

1,c

—c2+bc+c=-2,

2

得《-1=3

2.1，

2

b=-3,

解得4

[c=2.

所以所求二次函数解析式为丁二^--3x+2.图象如图所示。

=

（2）在解析式中令y=0,得/x?—3x+2=0,解得X]=3+J5,x23—V5.

所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+右,0）”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是

（3-V5,O）.

令x=3代入解析式，得y=—』，

2

所以抛物线丁=3——3x+2的顶点坐标为（3,—g）,

所以也可以填抛物线的顶点坐标为（3,-g）等等。

函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；

将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。

用二次函数解决最值问题

例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2,BF=1.试在AB上求一点

P,使矩形PNDM有最大面积.

【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学

生的综合应用能力.同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间.

例2某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系

如下表：

X（元）152030・・・

y（件）252010・・・

若日销售量y是销售价x的一次函数.

（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？

[15k+b=25,

【解析】（1）设此一次函数表达式为丫=1«+也贝必解得k=-l,b=40,即一次函数表达

2k+b=20

式为y=-x+40.

（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元

w=（x-10）（40-x）=-X2+50X-400=-（X-25）2+225.

产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元.

【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当

某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）

问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程.

二次函数对应练习试题

一、选择题

1.二次函数y=4x—7的顶点坐标是（）

A.（2,-11）B.（-2,7）C.（2,11）D.（2,-3）

2.把抛物线y=-2V向上平移1个单位，得到的抛物线是（）

A.y=-2(x+l)2B.y=—2（x—I）2C.y=—2x2+1D.y=—2x2—1

k

3.函数y=kx2一人和)=—（左wO）在同一直角坐标系中图象可能是图中的（）

X

斗土

A

4.已知二次函数y=ax2+Z?x+c（awO）的图象如图所示,则下列结论：①a,b同号;②ly

攵值相等;③4〃+Z?=0④当v=-2时，x的值只能取0.其中正-A-7-A

当x=l和4=3时，函娄一...............——■（；U/

确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.已知二次函数_y=奴？+bx+c（aw0）的顶点坐标（-1,32）及部分图象（如图），“

由图象可知关于x的一元二次方程ax2+云+。=0的两个根分别是石=1.3和々=；J彳

（）

A.—1.3B.-2.3C.-0.3D.-3.3

6.已知二次函数丁=以2+法+。的图象如图所示，则点（呢,"。）在（y

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2

7.方程2x—d=—的正根的个数为()

x

A.0个B.1个C.2个.3个

8.已知抛物线过点A⑵0),B(-1,0),与y轴交于点C,且0C=2.则这条抛物线的解析式为

A.y—x~~x—2B.y=—x~+x+2

C.y-x2-x-2^y--x2+x+2D.y--x2-x-2^y=x2+x+2

二、填空题

9.二次函数y=x2+6x+3的对称轴是龙=2,则Z?=o

10.已知抛物线y=-2(x+3)2+5,如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是.

11.一个函数具有下列性质：①图象过点(一1,2),②当大<0时，函数值y随自变量x的增大而增大；

满足上述两条性质的函数的解析式是(只写一个即可)。

12.抛物线y=2(x-2)2-6的顶点为C,已知直线y=—日+3过点C,则这条直线与两坐标轴所围成的

三角形面积为o

13.二次函数y=2必一4犬-1的图象是由y=2x2+6x+c的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位

得到的，则b=,c=«

14.如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地

方，桥的高度是(口取3.14).

三、解答题：

15.已知二次函数图象的对称轴是x+3=0,图象经过(1,-6),且与y轴的交点为(0,-g).

(1)求这个二次函数的解析式；0

⑵当x为何值时,这个函数的函数值为o?

(3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值y随x的增大而增大？AZ-------丁-------’8

第15题图

16.某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t（秒）符合关系式=（0<t<2）,其中重

力加速度g以10米/秒2计算.这种爆竹点燃后以v0=20米/秒的初速度上升，

（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？

（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.

17.如图，抛物线+bx-c经过直线y=x-3与坐标轴的两个交

点A、B,此抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线顶点为D.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S^pc：5AA⑺=5：4的点P

的坐标。

18.红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行

结算，未售出的由厂家负责处理）.当每吨售价为260元时，月销售量为45吨.该建材店为提高经营利润，

准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5

吨.综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.设每吨材料售价为x（元）,

该经销店的月利润为y（元）.

（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；

（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

（3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？

（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗？请说明理由.

相似三角形基本知识

知识点一：放缩与相似形

1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。

2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形,或者就说是相似性。

注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。

⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的.

⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例一一全等形.

3.相似多边形的性质:如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边

的长度成比例。

注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.

知识点二：比例线段有关概念及性质

（1）有关概念

1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比是a：b=m：

a_m

n（或。”）

2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。a叫做比的前项，b叫做比的后项。

说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

ac

3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如Z=Z

a_c

4、比例外项：在比例6d（或a：b=c：d）中a、d叫做比例外项。

a_c

5、比例内项：在比例石一万（或a：b=c：d）中b、c叫做比例内项。

a_c

6、第四比例项：在比例了一不（或a：b=c：d）中，d叫a、b、c的第四比例项。

a_b

7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为厂£（或a:b=b:c时,我们把b叫做a和d的比

例中项。

8.比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即

-=-（或a：b=c：d）,那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单

bd

位要统一,单位不统一应先化成同一单位）

（2）比例性质

ac77

————<^>ad—be

1.基本性质：bd（两外项的积等于两内项积）

2.合比性质：y=-=>—=（分子加（减）分母，分母不变）

baba

注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间

b-ad-c

发生同样和差变化比例仍成立.如：一ci二—ca"c

bda-bc-d

^a+bc+d

3.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）

acem,.八、a+c+e-\-----1-ma

如果一=一=一=•••=一(z7b+d+fH-----i-awO),那么---------------------=—

bdfnb+d+f-----\-nb

注意：⑴此性质的证明运用了“设左法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法.

（2）应用等比性质时，要考虑到分母是否为零.

（3）可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立.

知识点三：黄金分割

1）定义:在线段AB上，点C把线段分成两条线段AC和BC64c>BC）,如果丝=—,即AC2=ABxBC,

ABAC

那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，AC与的比叫做黄金比。

J5-1

其中AC=-------AB心0.618ABo

2

2）黄金分割的几何作图：已知：线段AB.求作：点C使C是线段AB的黄金分割点.

BD=-AB

作法：①过点B作BDLAB,使2；

②连结AD,在DA上截取DE=DB；

③在AB上截取AC=AE,则点C就是所求作的线段AB的黄金分割点.黄金分割的比值为:

AC_BC

―一厂.（只要求记住）

3）矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形。

知识点四：平行线分线段成比例定理

（一）平行线分线段成比例定理

1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比.

例.已知

ABDE7

可得一=——或

BCEF

2.推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例.

AF）AZ7RDprAF）AZ7

由DE〃BC可得：巴=2士或叱=f*或任=仝.此推论较原定理应用更加广泛，条件是平

DBECADEAABAC

行.

3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例.那么这

条直线平行于三角形的第三边.（即利用比例式证平行线）

4.定理：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线，所截的三角形的三边与原三角形三边对

应成比例.

5.平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线，如果在一条直线上截得的线段相等，难么在另

一条直线上截得的线段也相等。

★★★三角形一边的平行线性质定理

定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例。

几何语言VAABE中BD〃CE

AB_AD上=上

.•.比=正简记：

ABADBCDE±_±工—1

归纳：ACAE和ACAE推广：类似地还可以得到全全和全全

★★★三角形一边的平行线性质定理推论

平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.

★★★三角形一边的平行线的判定定理

三角形一边平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线

平行于三角形的第三边.

三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三

边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

★★★平行线分线段成比例定理

1.平行线分线段成比例定理：

两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.

DEBC_EFABDE

用符号语言表示：AD〃BE〃CF,—

BC

2.平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所

截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等.

_AD\BECF

用符号语言表示：\^AB=BC.

DE=DF

重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.

重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.

知识点三：相似三角形

1、相似三角形

1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。

几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。

两个等腰直角三角形一定相似。

两个等边三角形一定相似。

两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。

补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）；

2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。

3）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。

如△ABC与△DEF相似，记作凡相似比为k。

4）判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

三角形相似的判定定理：

判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两

个三角形相似.简述为：两角对应相等，两三角形相似.（此定理用的最多）

判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹

角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.

判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这

两个三角形相似.简述为：三边对应成比例，两三角形相似.

直角三角形相似判定定理：

①.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

②.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三

角形也相似。

相似三角形的性质

①相似三角形对应角相等、对应边成比例.

②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比（对应边的比）.

③相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.

2、相似的应用：位似

1）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图

形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不

一定是位似图形。

②两个位似图形的位似中心只有一个。

③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。

④位似比就是相似比。

2）性质：①位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。

②位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似

中心的距离等于位似比（相似比）。

③每对位似对应点与位似中心共线，不经过位似中心的对应线段平行。

直角三角形的性质

1、直角三角形的两个锐角互余

可表示如下：ZC=90°=>NA+NB=90°

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

ZA=30°

可表示如下：[=>BC=，AB

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