2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第03练 不等式及其性质（精练：基础+重难点）（含解析）

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）第03练不等式及其性质（精练）1．结合集合，考查不等式的概念、性质以及作差法比较大小．2．结合函数的图象，考查不等式的解法．【A级

基础巩固练】一、单选题1．（2023高三·全国·专题练习）若，，则m与n的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】应用作差法比较大小即可.【详解】由题设，所以．故选：D2．（2024·河南·模拟预测）“，是“”的（

）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据不等性质直接判断.【详解】由于，的正负性不确定，由“，”不能推出“”，故充分性不成立；同时当“”时也不能推出“，”，故必要性也不成立.故选：D.3．（2023·上海闵行·一模）已知a，，，则下列不等式中不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据不等式性质可判断A，B；举反例可判断C；根据指数函数的单调性判断D.【详解】对于A，B，a，，，则,一定成立；对于C，取，满足，则，当时，，故C中不等式不一定成立；对于D，由，由于在R上单调递增，则成立，故选：C4．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）若，则以下结论错误的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】举反例可判断选项A；利用不等式的性质可判断选项B；利用对数函数的单调性可判断选项C；作差法可判断选项D.【详解】对于选项A：当时，若，则，与矛盾，故选项A错误；对于选项B：因为所以由不等式性质可得，故选项B成立；对于选项C：因为，函数在上单调递增所以，故选项C成立；对于选项D：因为，，所以，故选项D成立.故选：A5．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期中）已知，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据不等式性质结合反例逐一判断即可.【详解】对于A，当时，虽说，但是，错误；对于B，成立时，不一定成立，比如时，，此时，错误；对于C，举反例，当时，满足，此时，，则有，错误；对于D，因为，所以，所以，所以，正确.故选：D6．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据不等式的性质判断即可.【详解】对于A，若，则不等式不成立，故A错误；对于B，若，则不等式不成立，故B错误；对于C，若，则不等式不成立，故C错误；对于D，因为，所以，即，故D正确.故选：D7．（23-24高三上·陕西汉中·期中）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】运用不等式的性质和幂函数单调性比较大小即可.【详解】因为，所以，即，又因为，，所以，所以，即，综述：.故选：B.8．（23-24高三上·四川·阶段练习）若实数a，b满足，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】举反例判断ABC，利用不等式性质判断D.【详解】由于，不妨令，，可得，，所以，故A错误；由于，不妨令，，可得，，所以，故B错误；由于，不妨令，，可得，，所以，故C错误；因为，所以，所以，故D正确.故选：D9．（23-24高三上·浙江杭州·期中）若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】举反例即可求解ABC,分类讨论，结合不等式的性质即可求解D.【详解】若，满足，但不成立，故A错误，若，满足，但，不成立，故B错误，当时，不成立，故C错误，当时，，显然成立，当时，则，又，故成立，当时，，显然成立，故时都有，故D正确，故选：D二、多选题10．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知，，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】举例说明判断AC；利用不等式性质推理判断BD.【详解】对于A，取，满足，取，有，A错误；对于B，由，得，而，因此，B正确；对于C，取，，C错误；对于D，由，得，因此，D正确.故选：BD11．（2023·广东广州·模拟预测）下列是（，，）的必要条件的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】AB选项，可举出反例；CD选项，利用指数函数单调性可进行判断.【详解】A选项，若，则A错误，B选项，等价为，当时不成立，故B错误，C选项，因为在R上单调递增，而，所以，C正确；D选项，因为在R上单调递增，而，所以，D正确.故选：CD12．（2024·辽宁·模拟预测）已知，下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】对于A：根据不等式的性质分析判断；对于BD：举反例说明即可；对于C：结合指数函数单调性分析判断.【详解】对于选项A：因为，可得，故A正确；对于选项B：例如满足，但，故B错误；对于选项C：因为在上单调递增，且，所以，故C正确；对于选项D：例如满足，但，即，故D错误；故选：AC.13．（2024·全国·模拟预测）已知，则下列式子正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【详解】根据不等式的性质可得A、B的正误；根据基本不等式可得C的正误；利用作差法可得D的正误.【分析】由，得，所以，A正确．因为，所以，所以0，所以，B正确．因为，所以，当且仅当时取等号，所以，C正确．因为，所以，D错误．故选：ABC．三、填空题14．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）若，，则a、b的大小关系是．【答案】【分析】将，式子分子有理化，利用分式的性质比较分母即可得答案.【详解】，，因为，所以，.故答案为：.15．（23-24高三上·河南·开学考试）已知：，则大小关系是．【答案】【分析】根据给定条件，利用作差法结合不等式性判断作答.【详解】由，得，因此，显然，则，所以大小关系是.故答案为：16．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知，则的范围是．【答案】【分析】根据不等式的性质即可求解.【详解】由可得，而，则，故答案为：17．（2023·黑龙江大庆·模拟预测）已知有三个条件：①；②；③，中能成为的充分条件的是填序号【答案】①【分析】根据充分条件的判定一一分析即可.【详解】①由可知，即，故“”是“”的充分条件；②当时，；③当，时，满足，有；故②、③不是的充分条件.所以能成为“”的充分条件的只有①，故答案为：①.18．（23-24高一上·重庆铜梁·阶段练习）实数满足，，则的取值范围是【答案】．【分析】根据题意，得到，结合不等式的基本性质，即可求解.【详解】设，则，解得，所以，因为，，所以，，可得，即的取值范围为．故答案为：．【B级

能力提升练】一、单选题1．（23-24高三上·山东德州·期中）已知实数，，，则下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则【答案】B【分析】根据不等式的性质，结合特例法进行判断即可.【详解】因为，则,A选项错误;若，,,B选项正确;若，取，,C选项错误;若，，取,则,D选项错误.故选:B.2．（23-24高三上·北京顺义·阶段练习）已知，则下列各式中一定成立（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】结合指数函数，基本不等式的性质逐项判断即可.【详解】选项A：令不满足，选项错误；选项B：只有当时，，令，不满足，选项错误；选项C：是定义域R内的减函数，，故有，选项错误；选项D：是定义域R内的增函数，又因为当时等号成立，故选项正确；故选：D.3．（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）已知，则下列结论不正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】根据不等式的性质对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，若，则，则，故A正确；对于B，若，不等式两边同时乘以，则，故B正确；对于C，，因为，所以，所以，即，故C错误；对于D，因为，因为，所以，，，故D正确.故选：C.4．（23-24高三上·江苏连云港·期中）若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指对函数的单调性与放缩估值法比较大小.【详解】由，，，故最小，又，因为，所以，则有，∴，故选：C.5．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知，则下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】A作差法比较大小；B特殊值法，令即可判断正误；C令，利用对数函数的性质判断即可；D根据指数函数的单调性判断大小关系.【详解】A：，又，则，，故，即，错误；B：当时，不成立，错误；C：由，即，当时有，错误；D：由，则，正确.故选：D.6．（22-23高二下·广西·阶段练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先证明当，时，有.进而根据对数的运算性质以及换底公式，即可得出答案.【详解】当，时，有，则，所以.所以，所以，即．故选：B.7．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）若，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用基本不等式求得，然后利用不等式的性质求解最值即可.【详解】因为，，，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以，即的最小值为.故选：A.8．（22-23高二下·辽宁抚顺·期末）已知，则必有（

）A． B．且C． D．且【答案】D【分析】由，得，，再根据作差法变形两两判断即可.【详解】因为，所以，所以，所以，，所以，符号不能确定，所以的大小不能确定所以且.故选：D.9．（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】应用对数运算及运算律,再应用不等式的性质分别判断各个选项即可.【详解】由题意可得，，则，且，即.因为，所以，则A错误.因为，所以，即，则B错误..因为，所以，即，则C正确.因为，所以，即，则D错误.故选:C.二、多选题10．（2024·全国·模拟预测）已知，且，则（

）A． B．C． D．若，则【答案】ACD【分析】设，由对数运算及单调性判断ACD，特值法判断B.【详解】因为，设对A，知，易知.选项A正确.对C，因为，，，所以，，，于是，选项C正确.对D，若，则，即，则.由知.选项D正确.对B，取，则，而，此时，选项B错误.故选：ACD.11．（23-24高三上·湖南常德·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根据不等式的性质和基本不等式判断AB，利用特值法判断CD．【详解】∵，∴即，∴，A正确；由基本不等式知：，当且仅当时等号成立又，∴∴即,当且仅当时等号成立；已知,故，B正确;令，，C错误；令，，分母为零无意义，D错误．故选：AB．12．（2024·全国·模拟预测）已知，且，则下列结论成立的是（

）A． B．C．存在使得 D．若且，则【答案】ABD【分析】由不等式的性质即可判断A，可以得出且，结合基本不等式即可判断B，由不等式性质得，由此即可判断C，由基本不等式得，进一步注意到，由此即可判断D.【详解】对于A，由及，得，所以，A正确．对于B，由及，得，所以．同理可得．又，所以，所以，B正确．对于C，由及，得，所以，得，所以，得，C错误．对于D，由，得．由，得．因为，所以，所以，D正确．故选：ABD．三、填空题13．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知实数满足，，则的取值范围为．【答案】【分析】根据不等式的性质求解.【详解】设，解得：因为所以，因为，所以所以故答案为：.14．（22-23高一上·吉林·阶段练习）若实数，满足，则的取值范围为．【答案】【分析】将表示成关于和的表达式进行求解即可.【详解】由不等式的性质求解即可．解：，因为实数，满足，所以，即的取值范围为．故答案为：．15．（2024·上海静安·二模）在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是．（请填入全部正确的序号）①；②；③；④．【答案】②③④【分析】取特值可判断①；作差法可判断②④；要证即证可判断③.【详解】对于①，取，故①错误；对于②，，故②正确；对于③，当，要证，即证，即，即证，而恒成立，当时，，所以，故③正确.对于④，，所以，故④正确.故答案为：②③④.16．（22-23高三上·上海普陀·期中）已知三个实数a、b、c，当时，且，则的取值范围是．【答案】【分析】当时满足：且，可得，进而得，解得或．于是，令，可得，利用二次函数的单调性即可求解最值.【详解】当时满足：且，，即，进而，解得．所以或，，令，，由于所以在单调递增，在单调递减，当时，，当时，，所以故答案为：．【C级

拓广探索练】一、单选题1．（22-23高三上·广西南宁·阶段练习）设，，，则a，b、c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用基本不等式可得，，然后利用换底公式及作差法即得.【详解】∵，，，又，，所以，即，，即，∴.故选：A.2．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知等差数列满足，且，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，设，再由，转化为，结合正切函数的性质，即可求解.【详解】由，且，可设，因为等差数列，所以，所以，又因为，可得，所以，所以的取值范围为．故选：A.3．（2024·云南大理·模拟预测）若为函数（其中）的极小值点，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】时为单调函数，无极值点不符合题意；令有两根为或，分、讨论，根据为极小值点需满足的条件，结合不等式性质可得答案.【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.由于，且，故有两根为或①当时，若为极小值点，则需满足：，故有，可得；②当时，若为极小值点，则需满足：，故有