第12讲直线与圆的位置关系

第12讲：直线与圆的位置关系【考点归纳】考点一：判断直线与圆的位置关系考点二：由直线与圆的位置关系求参数考点三：圆的弦长问题考点四：圆的弦长求参数或者切线方程考点五：直线与圆的应用考点六：圆的切线方程考点七：直线与圆的位置求距离的最值问题考点八：直线与圆的位置定点定值问题综合应用【知识梳理】知识点直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判断方法几何法：设圆心到直线的距离为d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d<rd＝rd>r代数法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))消元得到一元二次方程，可得方程的判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0【例题详解】题型一：判断直线与圆的位置关系1．（2324高二上·陕西渭南·期末）已知直线和圆，则直线l与圆C（

）A．相切 B．相离C．相交 D．相交且过圆心【答案】A【分析】计算圆心到直线的距离，将这个距离和半径比较即可.【详解】由圆，可得圆心，半径，则圆心到直线的距离为，即，所以直线与圆相切.故选：A.2．（2324高二下·安徽宿州·期中）已知圆C：，直线：，则直线与圆C的位置关系为（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【答案】A【分析】求出直线过的定点坐标，然后判断定点与圆的位置关系，进而可得直线与圆的位置关系.【详解】由直线，可得，所以直线过定点，又，所以点在圆内部，所以直线与圆相交.故选：A.3．（2324高二下·浙江·期中）已知直线，圆.则直线与圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．与a有关【答案】A【分析】利用圆心到直线的距离与半径的比较即可判断位置关系.【详解】因为圆的圆心为，半径为，则圆心到直线的距离为，所以直线与圆的位置关系是相交.故选：A题型二：由直线与圆的位置关系求参数4．（2324高二下·四川达州·期中）“”是直线和圆相交的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先求出直线与圆相交时的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】圆的圆心，半径为，若直线和圆相交，则，解得，所以“”是直线和圆相交的必要不充分条件.故选：B.5．（2324高二上·福建福州·期末）已知椭圆与直线相切，则的值不可能是（

）A． B．2 C．3 D．3.9【答案】A【分析】由椭圆与直线相切，得，解不等式组对比选项即可得解.【详解】联立椭圆方程与直线方程得，化简并整理得，依题意，，整理得，因为，所以，解得，对比选项可知的值不可能是.故选：A.6．（2324高二上·福建三明·期末）已知，，若直线上存在点P使得，则实数k的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意分析可得直线与圆有公共点（公共点不能是、），结合直线与圆的位置关系分析运算即可.【详解】因为直线上存在点使得，所以点在以，为直径的圆上，但点不能是、，由，为直径的圆，可得圆心为,半径为，即圆,要使得，只需直线与圆有公共点，但公共点不能是,，因为圆心到直线的距离为，所以，解得，当直线与圆有公共点为,时，则直线为轴，即.综上所述：实数k的取值范围为.故选:B.题型三：圆的弦长问题7．（2324高二上·江西上饶·期末）直线被圆所截得的弦长为（

）A．2 B． C． D．10【答案】C【分析】判断出圆心在直线上即可求解.【详解】圆即，故圆心为，显然圆心在直线上，故直线被圆所截得的弦即为圆的直径，长为.故选：C．8．（2324高三上·山东青岛·期末）圆与圆相交于A、B两点，则（

）A．2 B． C． D．6【答案】D【分析】两圆方程相减得直线的方程，由点到直线的距离求得C到直线的距离，由圆的弦长公式求出，再由三角形的面积公式计算即可求得.【详解】两圆方程相减得直线的方程为，圆化为标准方程，所以圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离为，弦长，所以.故选：D9．（2324高二上·天津·期末）已知圆：（）截直线所得线段的长度是，则圆与圆：的位置关系为（

）A．内切 B．外切 C．相交 D．外离【答案】A【分析】根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式可得，即可根据圆心距与半径的关系求解.【详解】圆：（）的圆心为，半径为，则圆心到直线的距离为，所以，解得，故圆的圆心为，半径为，，故两圆内切，故选：A题型四：圆的弦长求参数或者切线方程10．（2324高二上·重庆·期末）已知直线被圆截得的弦长为4，则（

）A．或3 B． C．3 D．或1【答案】A【分析】先求出圆心和半径，根据直线截圆所得弦长求出弦心距，结合点到直线距离得到方程，，即可解得【详解】根据化为，圆心为，半径，设圆心到直线的距离为，又因为直线截圆的弦长为，所以有，即，解得；又圆心到直线的距离为：，所以，即，解得或.故选：A11．（2324高三上·北京海淀·期末）已知圆，直线与圆交于，两点.若为直角三角形，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由直线与圆相交的弦长公式进行求解即可.【详解】因为圆，圆心为，半径为，即因为为直角三角形，所以,设圆心到直线的距离为，由弦长公式得，所以，化简得.故选：A.12．（2324高二上·山东淄博·期中）已知圆C的方程为，直线m过点，且与圆C交于A，B两点，若，则直线m的斜率为（

）A．或0 B．或0 C．或0 D．或0【答案】B【分析】根据题意，设直线方程为，结合点到直线的距离公式代入计算，即可得到结果.【详解】显然，当直线的斜率不存在时，直线与圆相切，不满足要求；设直线的斜率为，则直线方程为，即，因为，则圆心到直线的距离，又，解得或.故选：B题型五：直线与圆的应用13．（2324高二上·安徽芜湖·期末）“陶辛水韵”于1999年被评为芜湖市新十景之一，每年入夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷．圆拱的水面跨度20米，拱高约5米．现有一船，水面以上高3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为（

）A．12米 B．13米 C．14米 D．15米【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，根据已知条件求出圆的方程为.代入，得出，即可得出答案.【详解】如图，拱形桥，以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，如图建立平面直角坐标系，则，，，圆心在轴上，设为，则有，即，整理可得，解得，所以，圆心为，半径为，所以，圆的方程为.设，则有，解得.所以，要使小船通过圆拱桥，船宽最长为.因为，所以.故选：B.14．（2324高二上·北京顺义·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为.这艘轮船能被海监船监测到的时长为（

）

A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时【答案】C【分析】以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和半径比较，可知这艘外籍轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长．【详解】如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系,

则，，圆方程，直线方程：，即，设到距离为，则，所以外籍轮船能被海监船检测到，设监测时间为，则（小时），外籍轮船能被海监船检测到的时间是0.5小时.故选：C.15．（2324高二上·江苏扬州·开学考试）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立平面直角坐标系，写出轮船沿直线返港时直线的方程及暗礁分布的圆形区域的边界的方程，由轮船沿直线返港不会有触礁危险可得直线与相离，进而可求得结果.【详解】以小岛中心为原点O，东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系，则设轮船所在位置为点B，港口所在位置为点A，如图所示，

则，（），暗礁分布的圆形区域的边界的方程为，所以轮船沿直线返港时直线的方程为，即，又因为轮船沿直线返港不会有触礁危险，所以直线与相离，即圆心O到直线的距离（），解得.故选：A.题型六：圆的切线方程16．（2324高二上·安徽马鞍山·期末）由点向圆引的切线长是（

）A．3 B． C． D．5【答案】A【分析】将圆的方程化为标准形式，求出点到圆心的距离，结合勾股定理即可得解.【详解】圆即圆的圆心半径分别为，点到圆心的距离为，所以点向圆引的切线长是.故选：A.17．（2324高二上·天津·期末）过点且与圆相切的直线方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】由题意分直线斜率是否存在再结合直线与圆相切的条件进行分类讨论即可求解.【详解】圆，即圆的圆心坐标，半径分别为，显然过点且斜率不存在的直线为，与圆相切，满足题意；设然过点且斜率存在的直线为，与圆相切，所以，所以解得，所以满足题意的直线方程为或.故选：D.18．（2324高二上·江苏镇江·期末）过直线上一点P作⊙M：的两条切线，切点分别为A，B，若使得的点P有两个，则实数m的取值范围为（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【分析】易得，根据题意可得圆心到直线的距离，进而可得出答案.【详解】⊙M：的圆心，半径，由，得，由题意可得圆心到直线的距离，即，解得.故选：B.题型七：直线与圆的位置求距离的最值问题19．（2324高二上·北京海淀·期末）已知直线恒过定点A，直线恒过定点B，且直线与交于点P，则点P到点的距离的最大值为（

）A．4 B． C．3 D．2【答案】A【分析】首先求点的坐标，并判断两条直线的位置关系，则点P到点的距离的最大值等于点P到圆心的距离与半径之和即点P到线段AB中点距离与半径之和【详解】设由直线，可得由直线，可得，因为直线与直线满足，所以，所以点P在以AB为直径的圆上，所以点P到点的距离的最大值等于点P到圆心的距离与半径之和即点P到线段AB中点距离与半径之和，由，，得AB中点为，半径为1，所以点P到点的距离的最大值为，故选：A

20．（2324高二上·四川成都·期末）已知圆，点为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出圆心和半径，根据四边形面积得到，要想最小，只需最小，求出最小值，进而得到答案.【详解】的圆心为，半径为2，圆心到直线的距离为，故直线与圆相离，由题意得⊥，⊥，且与全等，则四边形的面积为，可得⊥，四边形的面积为，故，其中，故，要想最小，只需最小，显然当⊥直线时，最小，最小值为，此时.故选：C21．（2324高二上·天津·期末）直线：与圆：交于、两点，点为中点，直线：与两坐标轴分别交于、两点，则面积的最大值为（

）A． B．9 C．10 D．【答案】D【分析】，过定点，，，由垂径定理易知，所以点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，计算出点到的最大距离为，据此即可求出面积的最大值.【详解】因为圆：，所以，因为：，即，所以过定点，直线：，令，则；令，则，则，，，作出图象如图所示：因为为中点，所以，所以点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，所以点到的最大距离为，所以面积的最大值为.故选：D.【点睛】关键点睛：本题的关键是得到点的轨迹，再求出该圆上的点到定直线距离的最大值，从而得到面积最大值.题型八：直线与圆的位置定点定值问题综合应用22．（2324高二上·广东广州·期末）已知圆心在直线上，并且经过点，与直线相切的圆.(1)求圆的标准方程；(2)对于圆上的任意一点，是否存在定点（不同于原点）使得恒为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用点在圆上以及相切，根据点到直线的距离公式以及点点距离公式，求出圆的半径和圆心，即可求圆的标准方程；（2）设，定点，不同时为，根据为常数），可得，进而整理可得，即可得的坐标．【详解】（1）圆心在直线，故设圆心为，半径为，则，解得，所以圆的方程为（2）设，且，即，设定点，,不同时为，为常数）．则,两边平方，整理得代入后得恒成立化简得所以，解得或(舍去）即．【点睛】方法点睛：解析几何中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.23．（2324高二上·甘肃·期末）已知直线：和圆：.(1)判断直线和圆的位置关系，并求圆上任意一点到直线的最大距离；(2)过直线上的点作圆的切线，切点为，求证：经过，，三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出该定点的坐标.【答案】(1)相离；(2)【分析】（1）利用圆心到直线的距离与半径进行比较可判断直线与圆的位置关系，圆上任意一点到直线的最大距离为圆心到直线的距离与半径的和；（2）由题意可知过，，三点的圆，即为以为直径的圆，设点坐标，表示圆心和半径，得出圆的方程，将其与圆的方程相减，可得公共弦所在直线方程，整理得出定点坐标即可.【详解】（1）圆:的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离，所以直线和圆相离；因为直线和圆相离，如图：

过圆心作直线的垂线，垂足为，要使圆上任意一点到直线的距离最大，则是线段的延长线与圆的交点，点到直线的最大距离为；（2）因为点在直线上，可设，

过，，三点的圆即以为直径的圆，圆心为，半径为，所以圆的方程为，整理得，所以过，，三点的圆方程为：，将方程与方程相减得两圆的公共弦方程：，即，由得，所以该定点的坐标为.24．（2324高二上·河北石家庄·期中）已知点A，B是圆上的动点，且，直线PA，PB为圆的切线，当点A，B变动时，点P的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)过点，斜率为k的直线与曲线交于点M，N，点Q为曲线上纵坐标最大的点，求证：直线MQ，NQ的斜率之和为定值．【答案】(1)(2)证明见详解【分析】（1）设，根据题意得出，再根据两点间距离公式即得.（2）联立，利用韦达定理，代入斜率公式整理即得.【详解】（1）设，在中，PB为圆的切线，所以，，所以，得，即，所以曲线的方程：（2）由点Q为曲线上纵坐标最大的点，所以，设，，斜率为k的直线方程为：，由，得，得，，所以，

而，，所以，即直线MQ，NQ的斜率之和为定值为【点睛】直线与圆锥曲线弦的问题包括求弦的方程、弦长、弦中点坐标轨迹等问题，解决这些问题的总体思路是设相关量，找等量关系，利用几何性质列方程(组)，不等式(组)或利用一元二次方程根与系数的关系，使问题解决.【专项训练】一、单选题25．（2024·安徽·三模）直线：与圆：的公共点的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．1或2【答案】C【分析】根据已知直线与圆的方程，得到直线过定点，结合点与圆的位置关系，即可判定.【详解】由直线，可得直线过定点，又由圆：，可得点在圆C上，因为直线的斜率显然存在，所以公共点的个数为2.故选：C.26．（2324高二下·广东湛江·开学考试）直线被圆截得的弦长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求圆心到直线的距离，结合垂径定理求弦长.【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离为，所以直线被圆截得的弦长为．故选：C．27．（2324高二下·河南·阶段练习）若直线与圆相切，则圆的半径为（

）A．2 B．4 C． D．8【答案】C【分析】由圆心到直线的距离等于半径列方程即可得解.【详解】依题意，，解得（负值舍），所以圆的半径为.故选:C.28．（2024·全国·模拟预测）已知直线，圆上恰有3个点到直线的距离都等于1，则（

）A．1或 B．－1或 C．或－1 D．1或－1【答案】D【分析】结合题意，利用点到直线的距离公式列式求解，再进行验证即可.【详解】如图所示，圆的半径为2.设点在圆上运动.圆心到直线的距离，令，则.①当时，与直线平行且距离等于1的直线是，，与圆的三个交点是，，，满足题意.②当时，与直线平行且距离等于1的直线是，，与圆的三个交点是，，，满足题意.综上，.故选：D.29．（2024·全国·模拟预测）已知圆：，直线：，则直线与圆有公共点的必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据直线与圆的位置关系，借助点到直线的距离公式，求出的取值范围，即直线与圆有公共点的充要条件，再确定那个是必要不充分条件.【详解】由题意可知圆的圆心坐标为，半径为1.因为直线与圆有公共点，所以直线与圆相切或相交，所以圆心到直线的距离，解得.其必要不充分条件是把的取值范围扩大，所以选项中只有是的必要不充分条件.故选：A30．（2324高二下·重庆·阶段练习）直线与曲线有两个交点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意确定直线过定点，曲线是以为圆心，半径为1的半圆，借助数形结合确定直线与曲线有两个交点的临界状态，列出表达式求解即可.【详解】由题意得，直线过定点，曲线是以为圆心，半径为1的半圆（如图所示），曲线的下端点为.要使直线与曲线有两个交点，则直线应位于直线和切线之间（可以与重合），此时直线的斜率存在，且，即且圆心到直线的距离小于半径.由得，由得，所以.故选：B.

31．（2024·广东·一模）已知直线与直线相交于点M，若恰有3个不同的点M到直线的距离为1，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直线垂直确定轨迹为圆，再由圆上存在三点到直线距离相等转化为圆心到直线距离为1求解.【详解】由可得，即过定点，由可得，即过定点，又，所以的轨迹是以为直径的圆（不含点），其中圆心为，半径为，所以圆上恰有3个不同的点M到直线的距离为1，只需圆心到直线的距离等于1，即，解得，此时到直线的距离不为1，故符合.故选：B32．（2324高二上·福建福州·期末）直线过定点Q，若为圆上任意一点，则的最大值为（

）A．1 B．3 C．4 D．2【答案】B【分析】求出直线定点坐标、圆心坐标、半径，再由点与圆的圆心之间的距离加半径求解【详解】由，得，所以直线过定点，由，知圆心坐标，半径为2，所以到圆心的距离为，则在圆内，则的最大值为，故选：B33．（2324高二上·浙江·期末）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】推导出垂直平分，分析可知，当取最小值时，取最小值，此时，，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，解之即可.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示：由圆的几何性质可知，，因为，，，所以，，所以，，则，设，则为的中点，由勾股定理可得，由等面积法可得，所以，当取最小值时，取最小值，由，可得，所以，的最小值为，当与直线垂直时，取最小值，则，因为，解得.故选：D.【点睛】方法点睛：本题考查圆的切点弦长的计算，一般方法有如下两种：（1）求出切点弦所在直线的方程，然后利用勾股定理求解；（2）利用等面积法转化为直角三角形斜边上的高，作为切点弦长的一般求解.二、多选题34．（2324高二上·山东青岛·期末）已知点为圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（

）A．圆的圆心坐标为，半径为B．切线C．直线的方程为D．【答案】AC【分析】将圆的方程配方易得A项正确；利用圆的切线的性质和勾股定理易求得；设出切线方程，由圆心到切线的距离等于半径求出值，回代入直线方程与圆的方程联立，求出点的坐标，再利用斜率关系即可求得直线的方程；先判断，求出的正余弦，再求即得.【详解】对于A项，由可得：，知圆心为,半径为，故A项正确；

如图，点为圆的两条切线,切点分别为.对于B项，分别连接,在中，,则,故B项错误；对于C项，设过点的圆的切线方程为：，即：，由圆心到直线的距离，解得：，取，则切线方程为代入整理得：，解得：，代入可得：，即得：，因,直线的斜率为1，则直线的斜率为，故直线的方程为：，即：，故C项正确；对于D项，由对称性可知,由上分析知，,则，于是，.故D项错误.故选：AC.【点睛】思路点睛：本题主要考查直线与圆相切产生的切线长，直线方程和夹角问题，属于较难题.解决此类题目的思路即是，作出图形，利用图形的几何性质，借助于直线与圆的方程联立，求出相关点坐标和相关角的三角函数值即可依次求得.35．（2324高二上·山东青岛·期末）下列有关直线与圆的结论正确的是（

）A．方程表示的直线必过点B．过点且在，轴上的截距相等的直线方程为C．圆和圆的公共弦所在的直线方程为D．若圆上恰有个点到直线的距离等于，则【答案】ACD【分析】对于，将直线方程化为即可判断；对于B，当截距为时即可判断；对于C，由圆的方程可得圆与圆相交，再将两圆的方程作差即可判断；对于D，由题意可得圆心到直线的距离等于，根据点到直线的距离公式即可判断．【详解】对于，方程可化为，直线过定点，故A正确；对于B，当截距为时，直线方程为，故B错误；对于C，圆的一般方程化为标准方程得，圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，因为，所以圆与圆相交．圆的标准方程化为一般方程得，与圆的一般方程作差，可得，即，所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为，故C正确；对于D，若圆上恰有个点到直线的距离等于，则圆心到直线的距离等于，即，解得，故D正确．故选：ACD36．（2324高二上·福建龙岩·期末）已知经过点且斜率为k的直线l与圆交于不同的两点M，N，线段的中点为P，则（）A． B．当时，直线l平分圆CC．当时， D．点P的轨迹方程为【答案】AB【分析】A选项，求出圆心和半径，由点到直线距离公式得到不等式，求出答案；B选项，当时，，故在直线上，得到B正确；C选项，由垂径定理得到弦长；D选项，联立与，根据得到，设，由得到轨迹方程，注意取值范围.【详解】A选项，变形为，即圆心为，半径为2，设直线，则圆心到直线的距离，即，解得，A正确；B选项，当时，，由于，故在直线上，故当时，直线l平分圆C，B正确；C选项，当时，，故圆心到直线的距离，故，C错误；D选项，由A选项知，，联立与得，，由得，且，故，令，则，由于，故在上单调递增，故，则,由几何关系知，设，故，变形得到，故点P的轨迹方程为，且，D错误.故选：AB37．（2324高二上·江苏盐城·期末）已知圆，直线与圆M交于C，D两点，则下列结论正确的是（

）．A．的取值范围是B．若直线l经过圆M的圆心，则的值为C．当直线l过原点O时，圆M上的动点到直线l的最大距离为D．若，则【答案】AB【分析】结合点到直线的距离公式依次判断即可.【详解】对于A项，圆的标准方程为：，圆心为，半径，因为直线与圆M交于C，D两点，所以圆心M到直线l的距离，即，解得，所以的取值范围是，故A项正确；对于B项，若直线l经过圆M的圆心，则，解得，故B项正确；对于C项，当直线l过原点O时，则，得直线，则圆心M到直线l的距离，得圆M上的动点到直线l的最大距离为：，故C项错误；对于D项，因为，所以为等边三角形，则圆心M到直线CD的距离为：，所以，得或，故D项错误，故选：AB三、填空题38．（2324高二下·上海静安·期末）圆在点处的切线方程为．【答案】【分析】根据题意可知点在圆上，根据垂直关系可得切线方程的斜率，即可得切线方程.【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，因为，可知点在圆上，又因为，可知切线方程的斜率，所以切线方程为，即.故答案为：.39．（2324高二下·上海·阶段练习）已如直线和曲线只有一个公共点，则实数的取值范围.【答案】或【分析】先对曲线进行变形，结合的取值范围，可得其图象为以为圆心，为半径的圆的下半部分，画出曲线及直线的图象，采用数形结合，列出等式即可求得结果.【详解】因为曲线，所以，解得，曲线可化为，两边同时平方有，，即，所以曲线是以为圆心，为半径的圆的一部分，而直线，所以直线的斜率为1，画图象如下：由于直线与曲线只有一个公共点，当直线过时，即，解得，当直线过时，即，解得，由图象可知，当直线与圆相切时：，解得或，而即为在轴上的截距，由图象可知，综上：或.故答案为：或.40．（2324高二下·上海松江·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，且，则实数.【答案】【分析】利用垂径定理列方程求解即可.【详解】根据题意，圆，即，其圆心为，半径，若，则圆心到直线即的距离，又由圆心到直线的距离，则有，解可得：；故答案为：.41．（2324高二上·山东青岛·期末）已知是圆上任意一点，则的取值范围为．【答案】【分析】设，变形可得，利用的几何意义转化为直线与圆的位置关系即可求解．【详解】设，变形可得，则的几何意义为直线的斜率，是圆上任意一点，圆心，半径为，则，解得，即的取值范围为.故答案为：.四、解答题42．（2324高二上·贵州六盘水·期末）已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上．(1)求圆的标准方程；(2)求过点且与圆相切的直线方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）设圆心坐标为，根据点在圆上列方程可得，可得方程；（2）分斜率存在和不存在求解，当斜率存在时，设切线的方程为，根据圆心到直线的距离等于半径列方程求解可得.【详解】（1）由圆C的圆心在直线上，可设圆心C的坐标为，又圆的半径为2，点在圆上，有，解得（舍去）或，故圆的标准方程为；（2）①当切线的斜率不存在时，直线与圆相切；②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，整理为，由题知，解得，可得切线方程为，整理为，由①②知，过点且与圆相切的直线方程为或.

43．（2324高二下·四川·阶段练习）已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点．(1)求圆C的标准方程；(2)过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程．【答案】(1)(2)或.【分析】（1）根据题意联立直线和的直线方程，求得交点，进而求得半径，即可得解；（2）根据题意，结合垂径定理求得圆心到直线的距离，讨论直线l的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，即可得解.【详解】（1）首先由可得，所以直线和相交于点，所以圆C的半径，所以圆C的标准方程为.（2）当直线l的斜率不存在时，方程为，代入圆C方程为可得，此时，符合题意，当直线l的斜率存在时，设直线方程为，根据题意圆心到直线的距离为，所以，解得，此时直线方程为，所以直线l的方程为或.44．（2324高二上·河北邢台·期末）已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴的非负半轴上.(1)求圆的方程；(2)设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）设圆心的坐标为，根据直线与圆相切，可得出关于的等式，解出实数的值，即可得出圆的方程；（2）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式