苏教版2019版高考数学复习：选择性必修第一册+第二册知识点清单汇编

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第1章:i线与方程知识点清单

目录

第一章直线与方程

1.1直线的斜率与倾斜角

1.2直线的方程

1.3两条直线的平行与垂直

1.4两条直线的交点

1.5平面上的距离

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第一章直线与方程

1.1直线的斜率与倾斜角

一、直线的斜率

1.对于直线I上的任意两点P(Xi,yO,Q(X,y),如果X1#X2,那么直线I的斜率k二汉

22X2-Xl

(X1NX2).如果X1=X2,那么直线I的斜率不存在.

二、直线的倾斜角

1.在平面直角坐标系中，对于一条与X轴相交的直线，把X轴绕着交点按逆时针方向

旋转到与直线重合时，所转过的最小正角a称为这条直线的倾斜角.

2.规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0.因此，直线的倾斜角a的取值范围

是{ot|0Wa<n}.

三、直线的斜率与倾斜角的对应关系

1.当直线与x轴不垂直时,该直线的斜率k与倾斜角a之间的关系为k二tana(aW»

四、倾斜角和斜率的关系及其应用

1.当直线I的倾斜角a£[o,习时，也0,且a越大，斜率k越大；「，

当直线I的倾斜角n)时，k<0,且a越大，斜率k越大；」

当直线I的倾斜角a三时，它的斜率不存在.7Ta

k=tana(0<a<it,aw])的图象如图所示.”

2.由斜率k的范围截取函数图象，可得到倾斜角a的范围；反过来，由倾斜角a的

范围截取函数图象，可得到斜率k的范围.

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五、直线斜率的应用

1.求解三点共线问题

若点A,B,C都在某条斜率存在的直线上，则kAB=kAC（或kAB=kBC或kAC二kBc）；反

之,若之二kAc（或kABnkBc或kAc=kBc）,则直线AB与AC（或AB与BC或AC与BC）的斜率

相同，又过同一点A（或B或C）,所以点A,B,C在同一条直线上.

2.求形如三的代数式的范围（最值）问题

形如壮的范围（最值）问题，可以利用T的几何意义：过定点（a,b）与动点（x,y）的

x—ax—a

直线的斜率，并借助图形解决.

1.2直线的方程

一、截距

我们把直线I与y轴的交点（0,b）的纵坐标b称为直线I在y轴上的截距；直线I

与x轴的交点（a,0）的横坐标a称为直线I在x轴上的截距,（不是距离，可正、可负、

可为0）

二、直线的方程

名称方程形式已知条件适用范围

点斜式方程y-yi=k(x-xi)直线上一定点区,y）斜率k不垂直于X轴的直线

斜截式方程y=kx+b斜率k,直线在y轴上的截距b不垂直于X轴的直线

y-yi_x-x!

不垂直于x轴和y轴

两点式方程yz-yi乂2-XT直线上两点%,yi),(x,y)

(Xi0X2,yi7^y2)22的直线

直线在x轴、y轴上的非零截不垂直于x轴和y轴，

截距式方程ab

(aXO,b声0)距a,b且不过原点的直线

Ax+By+C=O

一般式方程系数A,B,C任何位置的直线

(A,B不全为0)

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注：几种特殊的直线：

(1)X轴：y=0；

(2)y轴：x=0；

⑶平行于x轴的直线：y=b(b#O)；

(4)平行于y轴的直线:x=a(a#O)；

⑸过原点的直线：y=kx或x=0.

三、直线方程的合理选择和求解

1.直线方程的合理选择

⑴已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定

直线的斜率.注意斜率不存在的情况.

⑵已知直线的斜率，一般选用斜截式方程，再由其他条件确定直线的截距.

⑶已知两点坐标，一般选用两点式方程或点斜式方程，若两点是直线与坐标轴的交点，

则选用截距式方程.

2.求直线方程的两种方法

⑴直接法：根据已知条件选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时应注

意各种形式方程的适用范围，必要时进行分类讨论.

⑵待定系数法：先设含有参数的直线方程，然后根据条件列出方程(组)，求出参数，

最后将其代入得到直线方程.

注意：

①在求直线方程时，通常将结果化为一般式方程.

②一般式方程的写法要求：

(i)x的系数为非负数；

(ii)x,y的系数都为整数；

(iii)各项系数没有公约数.

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四、利用直线方程中系数的几何意义解决相关问题

1.对于含参数的直线方程，一般将方程整理成点斜式或斜截式，然后利用系数的几何

意义，结合图形探求和证明过定点问题.

2.根据斜截式方程中k,b的几何意义，可确定函数图象的位置分布.

1.3两条直线的平行与垂直

一、两条直线（不重合）平行的判定

类型斜率都存在斜率都不存在

叶片尸蚌+“

RL

4.

图示0\^)rx

\\\

11〃120kl=1<2

对应关系两直线斜率都不存在=11〃12

二、两条直线垂直的判定

类型斜率都存在一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0

2

l-y=kx+b

图示]ll

一0X

0X

僮斜率不存在，）11|2

对应关系1」I2=kil<2=-1

12的斜率为0

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三、两条直线平行

1.利用直线方程判定直线平行

⑴已知直线11:y=kix+bi,12：y=k2x+b2,则Ii〃l2=ki=k2,且bi^b2.

⑵已知直线h：Aix+Biy+Ck0（A］，B］不全为0）,l2：A2x+B2y+C2=0（A2,B2不全为0）,

或［AIB?-A?Bi=0,

财〃叱仁晨。tB1C2-B2clW0.

当A2B2C2KO时，二白六詈.

氏2t*2。2

2.与已知直线平行的直线方程的设法

⑴与直线y=kx+b平行的直线的方程可设为y=kx+m（mWb）；

⑵与直线Ax+By+C=0（A,B不全为0）平行的直线的方程可设为Ax+By+m=0（mWC）.

四、两条直线垂直

1.利用直线方程判定直线垂直

（1）已知直线1:y=kiX+bi,I2:y=kzX+bz,则li~Ll2Qkrk2=-l.

⑵已知直线li：A1x+B1y+Ci=0（A1,B］不全为0）,12：A2x+B2y+C2=0（A2,B2不全为0）,

则II_LI2=AA+BIB2=0.当B1B2六0时，I1U2Q*•警:-L

2.与已知直线垂直的直线方程的设法

1

⑴与直线尸kx+b（kX0）垂直的直线的方程可设为y=-K-x+m；

⑵与直线Ax+By+C=0（A,B不全为0）垂直的直线的方程可设为Bx-Ay+m=0.

五、平行、垂直关系的应用

1.利用平行、垂直关系求参数

已知两条直线平行、垂直关系求参数时，根据定点L定点2中平行、垂直的判

定条件建立方程（组）求解.用点的坐标表示斜率，通过斜率列关系式时，要注意对参数

的讨论.

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2.利用平行、垂直判断图形形状的步骤

⑴描点：在坐标系中描出给定的点.

⑵猜测：根据描出的点猜测图形的形状.

⑶求斜率：若斜率不存在，则直接说明；若斜率存在，则根据给定点的坐标求出直线

的斜率.

⑷结论：由斜率之间的关系判断图形形状.

注意在求解过程中既要考虑斜率是否存在，又要考虑图形可能出现的各种情形.

1.4两条直线的交点

一、两条直线的交点

1.设两条直线h：AiX+Biy+Ci=O,。：AzX+Bzy+CzR,将两条直线的方程联立,得到方

程组：收x+?+?=0。若方程组有唯一解，则两条直线相交，以此解为坐标的

IA2x+B2y+C2=0.

点就是两直线的交点.

二、两条直线的位置关系与方程组解的联系

已知直线h:AiX+Biy+Ci=0,直线I2:A2x+B2y+C2=0.

AiX+Biy+Ci=0,的解

方程组•一组无数组无解

1A2x+B2y+C2=0

直线k,b的公共点一个无数个零个

直线L.12的位置关系相交重合平行

三、求过两条直线交点的直线方程的方法

1.直接法：求出两直线的交点，作为待求直线上的已知点，再根据已知条件求出待求

直线的方程.

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2.待定系数法：设经过两直线li：AiX+B1y+Ci=O（Ai,B］不全为0）,12：A2x+B2y+C2=0

（A2,B2不全为0）的直线方程为AiX+B1y+Ci+NA2X+B2y+C2）=0（人为任意实数），然后根

据条件求入.

注意该设法中直线的方程可表示除卜外所有过两直线交点的直线.

四、求解直线过定点问题的常用方法

1.将直线方程转化为y-y产k（x-x。）的形式，则直线必过定点（x。，y。）.

2.应用分离参数的方法，将直线方程转化为aiX+biy+Ci+X（a2x4-b2y+C2）=0,由

［a】x*y+c1=0,求出定点坐标.

3.应用特殊值法，给方程中的参数赋两个特殊值，可得关于x,y的两个方程，将其

联立并求解，则解出的x,y的值分别为所求定点的横、纵坐标.

1.5平面上的距离

一、两点间的距离

平面上P1（X1,,），P2（x2,y2）两点间的距离公式为P1P2=J（X2-X］）2+（丫2-%）2.

二、中点坐标公式

对于平面上的两点Pi（xi,yi）,P2（X2,y2）,线段PR的中点是M（x0,y0）,则xO二

、，_yi+y2

三、点到直线的距离

L点Po（x。，y。）到直线I：Ax+By+C=0（A,B不全为0）的距离d二号舞件.

2.两条平行直线h：Ax+By+C产。与I?：Ax+By+C2=0（A,B不全为0,C/C#间的距

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3.注意：应用两条平行直线间的距离公式时，两条平行直线的方程需为一般式，且x,

y的系数对应相等.

四、常见的对称问题

1.点关于点的对称

求点Pi%,y】)关于点P2%,丫2)的对称点P(x,y)时,可由中点坐标公式得

X-i+x

x2-，­X=2X2-X],

y扃则有

y=2丫2

(y2--)

2.点关于直线的对称“5)1/急+%+。=。

Q)如图，已知点P(x,y),直线I:Ax+By+C=O,

求点P关于直线I的对称点P'X，y)的步骤如下：/J。

第一步，由直线PP'和I垂直，得kpik-l①

第二步,由线段PP’的中点在直线I上，得(等，等)满足直线方程Ax+By+C=0,

艮UA.詈+B.等+C=0②.

第三步，联立①②两式可以解出内/.

⑵点关于直线对称的常用结论：

①点(xo,y°)关于直线y=0(即x轴)的对称点为%,-y0)；

②点(xo,y°)关于直线x=0(即y轴)的对称点为(-Xo,y0)；

③点(xo,yo)关于直线y=x的对称点为%,x0)；

4点%,y0)关于直线尸-x的对称点为(-y0,-X。)；

⑤点(xo,y°)关于直线x=m(m卉0)的对称点为(2m-Xo,y0)；

⑥点%,y°)关于直线y=n(nWO)的对称点为(xo,2n-y0).

3.直线关于点的对称：直线关于点的对称实际上可以转化为点关于点的对称.

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4.直线关于直线的对称

已知直线I】：Aix+B»+C尸0,b:A2x+B2y+C2=0,求直线I1关于直线b的对称直线

的方程：

⑴如果li〃b,则设所求直线的方程为AiX+Biy+m=0(m#Ci,m0C2),然后在k上找

一点P(x,y),求出点P关于直线I的对称点P1(x',y'),再将(x',y')代入A1x+B1y+m=0,

即可解出m；

⑵如果11与。相交，则先求出h与12的交点N,然后在I】上确定一点M(不同于交点N),

找出点M关于卜的对称点由点N,即可确定所求直线的方程.

五、对称在求最值中的应用

1.在直线I上求一点P,使P到两个定点的距离之和最小的求法

⑴当两定点A,B在直线I的异侧时，如图①，连接AB,线段AB交直线I于点P,此

时AB与I的交点P到两定点的距离之和最小，最小值为线段AB的长.在直线I上任

取一点P1,贝IJP'A+P'B2AB.

⑵当两定点A,B在直线I的同侧时，如图②，作点A关于直线I的对称点A1,连接

A'B交直线I于点P,此时点P到两定点的距离之和最小.

%

%_____

~OX

A'

图①图②

2.在直线I上求一点P,使P到两定点的距离之差的绝对值最大的求法

⑴当两定点A,B在直线I的同侧时(A,B连线与I不平行)，连接BA并延长，交直线

I于点P.此时点P到两定点的距离之差的绝对值最大，最大值为线段AB的长.如图

①，在I上任意取一点P’,则有|PB-P冏WAB.

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⑵当两定点A,B在直线I的异侧时，作点A关于直线I的对称点A"连接BA，（BA，所

在直线与I不平行）并延长，交I于点P.此时点P到两定点距离之差的绝对值最大，

最大值为线段AB的长,即|PB-PAF|PB-PA'|二A'B.如图②，在I上任取一点P’,则有

|P'B-P冏=|P'B-P'A'|WA'B.

yf

0x

图①图②

六、平面上两点间的距离

平面上两点P1（X1,yi）,p2（x2,y2）之间的距离公式为PR=Y（X2-X1）2+（y2-yQ2.

注：两点间的距离公式与两点的先后顺序无关，即公式既可以写成PF2二

22X-x22

7（X2-Xi）+（y2-yO,也可以写成PiP2=7（12）+（Y1-Y2）.利用此公式可

以实现几何问题与代数问题的相互转化.

七、点到直线的距离

1.应用点到直线的距离公式时的注意事项

⑴当点在直线上时，点到该直线的距离为0,点到直线的距离公式仍然适用.

⑵点到直线的距离公式对于直线的一般式方程中A=0或B=0的情况仍然适用.

⑶在应用点到直线的距离公式时，若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为

一般式，

八、两条平行线之间的距离

将两条直线的方程化为久，y的

1.当直线的方程为一般式时，整理系数对应相等的一般式，即

可利用两平行线间的距离公式，其步骤如下：4：4欠+8y+C]=0,4以+力+。2=°

将4,8,代入公式

代'人

IC2-C,I

JA2+B2

计算得到d的值

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解题时必须注意两直线方程中X,y的系数要对应相等，若不相等，则先将系数化

为相等，再代入公式求解.

2.当直线的方程为斜截式，即I1：尸kx+bi,12：尸kx+b2,且b/b2时,d二号著.

VK।JL

3.利用化归思想将求两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一

条直线的距离.

九、在利用直线系方程证明平面几何问题的过程中培养学生数学抽象的核心素养

直线系是指具有某种共同性质的直线的集合，在解析几何中，常见的直线系有平

行直线系、垂直直线系、在两坐标轴截距满足一定关系的直线系、过定点的直线系等，

利用直线系方程解决有关问题，可以把握研究对象的数学特征，将直线的几何性质与

方程的代数特征结合起来，进一步理解数学结论的一般性，感悟通性通法的数学原理

及其中蕴含的数学思想，有助于培养学生数学抽象的核心素养.

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第2章圆与方程知识点清单

目录

第二章圆与方程

2.1圆的方程

2.2直线与圆的位置关系

2.3圆与圆的位置关系

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第二章圆与方程

2.1圆的方程

一、圆的定义

平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点就是圆心，定长就是半径.

二、圆的方程

1.圆的标准方程

方程(x-a)2+(y-b)2=/(r>o)叫作以点⑶b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.特别

地，当a=b=O时，方程为x2+y2=/(r>0),表示以原点为圆心，r为半径的圆.

2.圆的一般方程

方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D'+E2-4F>0)叫作圆的一般方程，化为标准形式为

(x+^+(y+黑四衿，表示以点。，3)为圆心，逆尸为半径的圆.

①当D2+E2-4F=O时，方程表示一个点(一微，一字)；

②当D2+E2-4F<0时，方程不表示任何图形；

③二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆时，B=0,A=CWO.

三、点与圆的位置关系

已知圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=/(r>0)或一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=O

22

(D+E-4F>0),设所给点为M(X。，y0),则点与圆的位置关系如下表：

判断方法

位置关系

几何法代数法

222

点在圆上MC=r(Xo-a)+(yo-b)=r(°5cxJ+yJ+Dxo+Eyo+F=O)

222

点在圆内MC<r(Xo-a)+(yo-b)<r(^xJ+y^+Dxo+Ey0+F<0)

2

点在圆外MOr(x0-a)+(y0-bp〉/(或/+yo+Dx0+Ey0+F>0)

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四、圆的方程的求解

1.直接代入法

确定圆心坐标和半径，直接代入圆的标准方程即可，确定圆心坐标和半径的方法：

⑴利用条件确定圆心C(a,b)及半径r.

(2)利用几何性质确定圆心C(a,b)及半径r,常用的几何性质如下：

①圆心与切点的连线垂直于圆的切线；

②圆心到切线的距离等于圆的半径r；

③圆的半径r,弦长的一半h与弦心距d满足r2=h2+d2；

④圆的弦的垂直平分线过圆心；

⑤已知圆心所在的直线I及圆上两点，则此两点连线(圆的弦)的垂直平分线m(m与I

不重合)与直线I的交点为圆心.

2.待定系数法

⑴根据题意，设出所求圆的标准方程或一般方程；

(2)根据已知条件，建立关于参数的方程组；

⑶解方程组，求出参数的值；

⑷将参数代入所设的方程中，即可得到所求圆的方程.

五、与圆有关的轨迹问题

1.求与圆有关的轨迹问题的方法

⑴直接法：根据已知条件，先抽象出动点间的几何关系，再利用解析几何的有关公式

(两点间的距离公式、点到直线的距离公式等)进行整理、化简，即把这种关系“翻译”

成含x,y的等式.

(2)定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，则可先设方程，再确定其中的基本量，

进而求出动点的轨迹方程.

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⑶相关点法：有些问题中，动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点

(称之为相关点)的运动而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，

这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点坐标所满足的条件即可求得动

点的轨迹方程.

六、求与圆的方程有关的实际问题

1.建立平面直角坐标系的一般原则

⑴原点取在某一定点处，坐标轴为某定直线或定线段所在直线或图形的对称轴；

⑵尽量充分利用图形的对称性；

⑶设出各点的坐标，使未知参数尽量少.

2.用坐标法解决与圆的方程有关的实际问题的步骤

(1)审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确题中已知和待求的数据

(2)建系：建立适当的平面直角坐标系，通过点的左边及已知条件，求出几何模型的方程

(3)求解：利用直线、圆的性质等有关知识求解

(4)还原：将运算结果还原为对实际问题的解释

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2.2直线与圆的位置关系

一、直线与圆的位置关系

1.设直线I和圆M的方程分别为Ax+By+C=O,x2+y2+Dx+Ey+F=O,如果直线I与圆M

有公共点，那么公共点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个方程有

公共解，那么以公共解为坐标的点必是直线I与圆M的公共点.

Ax+By+C=0,

2.直线I与圆M的方程联立‘得方程组x2+y2+Dx+Ey+F=0)有

如下结论：

方程组解的情况无解仅有一组解有两组不同的解

直线与圆公共点的情况没有公共点有且只有一个公共点有两个公共点

直线与圆的位置关系相离相切相交

二、直线与圆的位置关系的判断

L代数法：通过联立直线与圆的方程组成方程组，根据方程组解的组数来判断，若有

两组不同的实数解，即△>（）,则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即则

直线与圆相切；若无实数解，即△<（）,则直线与圆相离.

2.几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断，当d<r时，直线与圆

相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离.

3.定点法：若直线恒过定点且定点在圆内，则直线与圆相交.该法有一定的局限性,

若定点在圆上或在圆外，则需利用代数法或几何法进行讨论.

三、倾过点P（x。，y。）的圆的切线方程的求法

1.过圆上一点P（x。，y°）的圆的切线方程的求法

⑴直接法：先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线的斜率为］（kWO）,

由直线的点斜式方程可得切线方程为y-yo=4（x-xo）.如果切点与圆心连线的斜率为

零或不存在，则由图形可直接得切线方程为x=x。或尸y。.

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⑵待定系数法：设切线方程为y-y。=k(x-x。)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程,

可求得k,即得切线方程.注意此时切点与圆心的纵坐标不相等.

注：过圆上一点的切线仅有一条，可熟记下列结论：

2222

①若点P(xo,y。)在圆x+y=r(r>0)±,则过点P的切线方程为x0x+y0y=r；

②若点P(x0,y。)在圆(x-a)2+(y-b)2=/(r>0)上，则过点P的切线方程为

2

(x0-a)-(x-a)+(y0-b)(y-b)=r；

③若点P(x。，y。)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)±,则过点P的切线方程为

x0x+y0y+D昔+E・罗+F=0.

2.过圆外一点P(x°,y°)的圆的切线方程的求法

通常用待定系数法，其求法同1中的待定系数法.当用此法只求出一个方程时，另一

个方程应为x=x。，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线

有两条.一般不用联立方程的方法求解k.

四、切线长的求法

过圆外一点P,可作圆的两条切线，我们把点P与切点所连线段的长称为切线长.

切线长可由勾股定理来计算.如图，从圆外一点P(x。，y。)作圆(x-ay+8-byluo)的切

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五、弦长与中点弦问题

1.直线与圆相交时弦长的两种求法

⑴几何法：如图L直线I与圆C交于A,B两点，设弦心距为d,圆的半径为r,弦

2

长为AB的长,则有（第+cf=匕则AB=2.

图1图2

⑵代数法：如图2所示，设直线I与圆的两个交点分别是A%,VB（X,y）,将直线

。22

与圆的方程联立，消元，结合根与系数的关系，

得AB=J（X1—X2）2+（%—丫2）2="+记|X1-X2|=J+百yiM

（直线I的斜率k存在且不为0）.

2.中点弦问题

若线段AB是圆C（a,b）的弦，D是弦AB的中点，贝IJ

①ABJ_CD,若斜率kAB,"D都存在,则kAB-kcD=-l；

②点差法：设））（）则二也券，丫。二"产，将坐标分

A%,yB%,y2,Dx0,y0,x0A,B

别代入圆C的方程，利用作差法得到纣办二-华羡二-守羡，利用D点坐标求出直

X2-X1yi+y2-2b2y0-2b

线AB的斜率.

六、与圆有关的最值问题

利用圆的方程解决最大（小）值问题的方法

⑴由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的

有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题，常涉及的有：

第19页共111页

①关于X,y的一次分式形式常转化为直线的斜率；

②关于x,y的一次式常转化为直线的截距；

③关于x,y的二次式常转化为两点间的距离等.

⑵将待求式转化成函数解析式，利用函数的性质解决.

⑶利用三角代换，若点P（x,y）在圆—（y-grmo）上，则设卜二a：rcos。

（y=b+rsin9

（e为参数），代入目标函数，利用三角函数知识求最大（小）值.

2.3圆与圆的位置关系

一、圆与圆的位置关系及其判断

22

1.代数法:设两圆的方程分别为Ci：x+y+D1x+E1y+F1=0(D2+EJ-4F1>0),

22

C2：x+y+D2x+E2y+F2=0(Di+E^-4F2>0),联立得方程组

x2+y2+DM4-Ej+F1=0,

消元后得到一元二次方程（若得到

2

x+y?+D2X+E2y+F2=0,

的是一元一次方程，则要求出方程组的解进行判断），计算判别式△的值，按下列表中

的标准进行判断.

2.几何法：设两圆的半径分别为匕以圆心距为d,按下列表中的标准进行判断.

位置关系外离外切相交内切内含

图示一

公共点个数01210

△的值△<0△二0△>0△二0△<0

与的关系

dr1,r2d>ri+r2d=ri+r2|ri-r2|<d<ri+r2d=|ri-r2|d<|ri-r2|

公切线条数43210

第20页共111页

二、两圆位置关系的判断

1.几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而

判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中常用的方法.

2.代数法：将两圆的方程联立，得到方程组，解方程组，根据方程组解的组数判断两

圆的位置关系.

三、两圆相切问题

1.两圆相切包括内切和外切，若只知道相切，则需分内切、外切两种情况讨论，再根

据两圆的圆心距与半径的关系列方程解决问题.

2.求两圆外公切线问题的关键

⑴判断两圆的位置关系；

⑵设公切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径得参数所满足的方程，求出参数值

得切线方程.

⑶可通过作图解决，画图要标准，做到“草图不草”.

四、两圆的公共弦问题

1.两圆的公共弦所在直线方程的求法

2222

设圆CiX+y+D1x+E1y+F1=0(D?+E?-4F1>0),EIC2X+y+D2x+E2y+F2=0(D^+E^-4F2>0).

x2_|_y2_|_0x_|_Ey+Fl=0,①

由22,①-②，得(D「D2)x+(E「E2)y+FLF2=0.③

22

(x+y+D2x+E2y+F2=0,②

设两圆交点分别为A%,y)B(X2,y2),则A,B的坐标适合方程①②，也适合方程③，

因此方程③就是经过两圆交点的直线方程.

故当两圆相交时，。92伙+(匕电»+^*2=0是经过两圆交点的直线方程，即公共弦所

在直线的方程.

当两圆外离时，(Di-D2)x+(Ei-E2)y+Fi-F2=0是垂直于两圆圆心连线的一条直线的方程.

当两圆相切时，(Di-D2)x+(Ei-E2)y+Fi-F2=0是两圆的一条公切线的方程.

第21页共111页

若两圆是等圆，贝IJ(Di-D2)x+(Ei-E2)y+Fi-F2=0是以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线

的方程.

2.两圆公共弦长的求法

⑴代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.

⑵几何法：用几何法解两圆的公共弦问题的步骤

①将两圆的方程作差，求出公共弦所在直线的方程；

②求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离；

③利用勾股定理求出公共弦长.

3.求经过两圆交点的圆的方程的方法

22

一般地，过圆G/+y2+DiX+Eiy+F尸0(D什ER4FI〉0)与圆C2：x+y+D2x+E2y+F2=0

(Dg+EZ-4F2>0)交点的圆的方程可设为x2+y2+DiX+Eiy+Fi+A(x2+y2+D2X+E2y+F2)=0

(XER,入W-1),再由其他条件求出入即得圆的方程.

五、解决直线与圆的实际应用题的步骤

⑴审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知.

⑵建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素.

⑶求解：利用直线与圆的有关知识求出未知.

⑷还原：将运算结果还原到实际问题中去.

第22页共111页

第3章圆锥曲线与方程知识点清单

目录

第三章圆锥曲线与方程

3.1椭圆

3.2双曲线

3.3抛物线

第23页共111页

第三章圆锥曲线与方程

3.1椭圆

3.1.1椭圆的标准方程

一、椭圆的定义

平面内到两个定点匕，F2的距离之和等于常数（大于FE）的点的轨迹叫作椭圆，两

个定点FF2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距.

二、椭圆的标准方程

焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上

V

y1

MA

「、、

ML，

」一.\,1\、

图形J友、

、、0X

%。\\!

y2x2

标准方程-+^=l(a>b>0)^+--l(a>b>0)

占

F】(-c,0),F2(C,0)Fi(0,-c),F2(0,C)

a,b,c的关系a2=b2+c2

三、点与椭圆的位置关系

22

点P（x。，y。）与椭圆次£=l（a>b>0）的位置关系：

aD

22

⑴点P在椭圆上;

22

⑵点P在椭圆内部=.+需<1;

22

⑶点P在椭圆外部O次碧>1.

第24页共1"页

四、直线与椭圆的位置关系

1.直线与椭圆位置关系的判断

22

一般地，联立直线Ax+By+C=O(A,B不全为0)与椭圆号+言=l(a>b>0)的方程,

aD

Ax+By+C=0,

得卜2y2整理，得到一个关于x(或y)的一元二次方程.

=+二=1,

位置关系A的取值交点的个数

相交△>02

相切△=01

相离△<00

2.弦长公式

设直线I：y=kx+b与椭圆交于两点Pi(xi,yi),P2(x2,y2),

222

贝PiP2=Vl+k|xi-x2|=V1+k7(Xi+x2)-4XiX2

或PR二Jl+3yLy2卜小+9Y(%+商.4yly2(kW0).

五、椭圆标准方程的求解

1.定义法求椭圆的标准方程

根据椭圆的定义，确定a?,b?的值，结合焦点位置写出椭圆的标准方程.

2.待定系数法求椭圆的标准方程

⑴求椭圆的标准方程，一般是先“定性"，即判断焦点所在的坐标轴，再“定量”，

即确定a,b的值.

⑵求a,b的值，一方面可利用条件直接求出，另一方面可用待定系数法设出相应的

标准方程，然后计算.

22

如果明确椭圆的焦点在X轴上，那么设所求的椭圆方程为a+M=l(a〉b〉0).

22

如果明确椭圆的焦点在y轴上，那么设所求的椭圆方程为£+a=1似>心0).

第25页共111页

如果中心在原点，但焦点的位置不能明确是在X轴上，还是在y轴上，那么方程可以

设为mx2+ny2=l(m>0,n>0,mWn).

六、椭圆中焦点三角形问题

1.椭圆上一点P与椭圆的两个焦点匕F2构成的aPFR称为焦点三角形.关于椭圆的

焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，并结合勾股定理、正弦定理、余弦定理

等知识求解.

2.焦点三角形的常用结论：

①焦点三角形的周长L=2a+2c.

②在△PFR中，由余弦定理可知=PF?+PF2-2PFrPF2COSZFIPF2.

③设P(xP1yP),则焦点三角形F1PF2的面积为c-lyp^lPRPFa-sinZRPF^b^an^^.

七、直线与椭圆的相交弦问题

1,求相交弦的长的两种方法

⑴求出直线与椭圆的两交点的坐标，用两点间的距离公式求弦长.

⑵联立直线与椭圆的方程，消元，得到一个关于x(或y)的一元二次方程，设两个交点

分别为A%,y)B(X2,y2),根据弦长公式AB=VFT项刈供|

(或AB=(l+.M—y2l(kwo)),结合根与系数的关系求弦长.

2.与椭圆中点弦有关的三种题型及解法

⑴利用根与系数的关系求中点坐标：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去x(或

y)得到一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.

⑵利用点差法求直线斜率或方程：利用弦的端点在椭圆上，端点坐标满足椭圆方程,

将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，得到中点坐标和直线斜率的关系，即若椭

2

圆方程为w+£=l(a>b>0),直线与椭圆相交于点A(xi,yi),B(x2,y2),Xi#x2,且弦AB

3D

第26页共111页

(五+注=1①

的中点为M(x,y),贝1」卜：b：1①一②，整理得a2(y&y到+b2(x^x为=0,所以

9+*1②，

yi-y_b2x+x_b2x

----2~一.x一2二—•—

22

X1-X2ayi+y2ay'

这样就建立了中点坐标与直线斜率之间的关系，从而使问题得以解决.

22

⑶利用共线法求直线方程：设椭圆靠+£=l(a〉b〉0)与直线AB的一个交点为A(x,y),

另一个交点为B,如果弦AB的中点为P(x01y0),那么利用中点坐标公式可得B(2xo-x,

2y0-y),则有,+*1,生守+经膏八，两式作差即可得所求直线的方程.

其中点差法是解决中点弦问题最常用的方法，点差法中体现的设而不求思想还可

以用于解决对称问题.

3.1.2椭圆的几何性质

一、椭圆的几何性质

焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上

4,y

瓦

12

图形

B.0BX

4t£2

4

A

标准方程5+§=l(a>b>0)》声l(a>b〉O)

范围-aWxWa,-bwywb-bWxWb,-aWyWa

对称性对称轴为x轴、y轴，对称中心为原点

Ai(-a,0),A2(a,0),Ai(0,-a),A2(0,a),

顶点

Bi(0,-b),B2(0,b)Bi(-b,0),B乂b,0)

轴长长轴长为2a,短轴长为2b

离心率(0<e<l)

第27页共111页

1.椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫作椭圆的通径，通径长为二.

a

2.焦半径：椭圆上的任一点P(x。，y。)与焦点Fi或Fz之间的线段的长度叫作椭圆的焦

半径.记ri=PFi,r2=PF2,贝

①当焦点在x轴上时，ri=a+exo,r2=a-ex0；

②当焦点在y轴上时，r尸a+eyO,上二a-ey0.

3.焦点弦：过焦点的直线与椭圆相交形成的弦.焦点弦中通径最短.

二、椭圆的几何性质及其应用

1.已知椭圆方程，确定椭圆的几何性质的步骤

⑴将所给方程化成标准形式；

⑵判断焦点所在的坐标轴；

⑶确定a,b,由a?=b?+c2求出c,从而确定相关性质.

2.利用椭圆的性质确定椭圆的标准方程

利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程，通常用待定系数法：

2222

⑴与椭圆3+£=l(a>b>0)有相同离心率的椭圆的方程为\+£=ki(k>0,a>b>0)或

aDaD

22

—ka(k2>0,a>b>0).

2222

⑵与椭圆京+21(a>b>0)有相同焦点的椭圆的方程为京至+亡亡1(1<击4).

三、椭圆离心率的求解

1.求椭圆离心率的两种方法

(1)若已知a,c,则可直接利用e==£求解；若已知a,b(或b,c),可由a?=b'+c?求出

a

C(或a),再代入e=；求解；

⑵若a,c的值不可求，则可根据条件建立a,b,c的关系式，由a?=b?+c2转化为关

于a,c的齐次方程或不等式，然后两边同时除以a的最高次鬲，得到关于e的方程

或不等式，解得e的值或范围，最后结合0<e<l得出结果.

第28页共111页

四、与椭圆有关的最值问题

1.与椭圆有关的最值问题的常用解法

⑴利用定义将其转化为几何问题，解题时可结合椭圆的几何性质、平面几何中的定理、

性质等进行求解.特别地，椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点，距

离的最大值为a+c,最小值为a-c.

⑵利用换元法将其转化为函数的最值问题来处理，此时，应注意椭圆中x,y的取值

范围.

五、与椭圆有关的定点、定值问题

1.解决定点问题，需要注意两个方面

⑴抓“特值”，涉及的定点多在两条坐标轴上，所以可以从斜率不存在或斜率为0的

特殊情况入手找出定点，为解题指明方向.

⑵抓“参数之间的关系”，定点问题多是直线过定点，其实质就是求解直线方程中参

数之间的关系，所以要熟悉直线方程的特殊形式，若直线方程为y=kx+b,则直线恒

过点(0,b),若直线方程为y=k(x-a),则直线恒过点(a,0).

2.定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，解决定值问题的常用方法：

⑴从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.

⑵直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

第29页共111页

3.2双曲线

3.2.1双曲线的标准方程

一、双曲线的定义

平面内到两个定点匕F2的距离之差的绝对值等于常数（小于FR的正数）的点的

轨迹叫作双曲线，两个定点Fi,F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线

的焦距.

二、双曲线的标准方程

焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上

i7l

/J

/

、/\

图形、、、/1\

---------------p**--------------------------►\—

£%\0X

yo\

/

x?y2y2x2

标准方程7-京=1（@>。，b>0）Q-"l（a>。，b>0）

焦点F4c,0）,F2（C,0）F:（0,-C）,F2（0,C）

a,b,c的关系c2=a2+b2

三、双曲线标准方程的求解

1.求双曲线标准方程的步骤

⑴定位：