高二期末仿真模拟试卷05（考试范围集合复数不等式平面向量函数导数及其应用及2019选择性）（新高考九省联考题型）

20232024学年高二数学下学期期末仿真模拟试卷05数学（新高考九省联考题型）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，解得，故，故.故选：D2.已知随机变量，，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8【答案】C【解析】随机变量，，则，故，故选：C.3．若函数是偶函数，则（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】函数的定义域为，由是偶函数，得，即，整理得，所以.故选：A4．某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料（吨）的相关性，在生产过程中收集了组对应数据如下表所示：根据表中数据，得出关于的回归直线方程为.据此计算出在样处的残差为，则表中的值为（）（注：称为对应样本点的残差）A. B. C. D.【答案】A【解析】由残差为可知，当时，，即，解得，所以回归直线方程为，又，，且样本中心在回归直线上，所以，解得，故选：A.5．某校5名同学到A、B、C三家公司实习，每名同学只能去1家公司，每家公司至多接收2名同学.若同学甲去A公司，则不同的安排方法共有（）A.18种 B.30种 C.42种 D.60种【答案】B【解析】若只有同学甲去A公司，则共有种可能，若除同学甲外还有一名同学去A公司，则共有种可能，故共有种可能.故选：B.6．若，则（）A.180 B. C. D.90【答案】A【解析】因，其二项展开式的通项为：，而是的系数，故只需取，得，即.故选：A.7．已知菱形，，将沿对角线折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】记的中点分别为，因为，所以，同理，，记，因为，所以，所以，，易知，当平面平面时，三棱锥的体积最大，此时，以E为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则所以，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：C8．已知函数，，（其中为自然对数底数）.若存在实数，使得，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为存在实数，使得，所以，即，令，则，函数在R上单调递增，，即的最小值，令，，当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，时，函数取得极小值即最小值，，.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．若，则（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】对A：由，则，故A正确；对B：由，则，故B正确；对C：由上单调递增，故，故C错误；对D：由，则，故，当且仅当时等号成立，故D正确.故选：ABD.10．某罐中装有大小和质地相同的4个红球和3个绿球，每次不放回地随机摸出1个球.记“第一次摸球时摸到红球”，“第一次摸球时摸到绿球”，“第二次摸球时摸到红球”，“第二次摸球时摸到绿球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】由条件概率的公式，可得或，故B正确；因为，不相互独立，所以或，，所以，所以A错误；因为，所以，故C错误；由，则，所以D正确.故选：BD.11．已知函数的定义域为R，对，且为的导函数，则（）A.为偶函数 B.C. D.【答案】BCD【解析】对于A：令，则，为奇函数，故选项A不正确；对于B：令，则，令，则为奇函数，，的周期为4，，故选项B正确；对于C：为奇函数，为偶函数；的周期为4，为偶函数，，关于对称，所以，令，可得，令，可得，所以，故，，故选项C正确；对于D：令，则，即①，令，则②，由①+②得，故选项D正确.故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．在复平面内，复数和对应的点分别为，则__________.【答案】##【解析】由题意可知，，则，故答案为：.13.已知等边的边长为4，点D，E满足，，与CD交于点，则__________.【答案】8【解析】因为为等边三角形，，为中点，所以，所以，即，所以，故答案为：814.五一小长假，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去某景点游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：一个会走路的机器人从一数轴上的点出发沿该数轴行走，游客可以设定机器人总共行走的步数n，机器人每一步会随机选择前或向后行走，且每一步的距离均为一个单位，设机器人走完设定的n步后所在位置对应数为随机变量，则__________，__________.【答案】①.##0.3125②.【解析】设X表示向右移动的次数，则.若运动6步回到原点，则向左，右各移动3次，所以回到原点的概率.因为机器人走完设定的n步后所在位置对应数为随机变量，X表示向右移动的次数则表示向左移动的次数，则，则，所以.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数在点处的切线与直线垂直．（1）求值；（2）求函数的极值．【答案】（1）（2）极大值，极小值【解析】（1）函数，求导得，则，即为切线的斜率，．因为切线与直线垂直，则有，．．解得．（2）由（1）知，函数，定义域，求导得，．当或时，，当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，当时，取得极小值，所以函数的递增区间为，递减区间为，极大值，极小值．16．如图是我国2015年至2023年岁及以上老人人口数（单位：亿）的折线图，注：年份代码分别对应年份.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数（结果精确到）加以说明；（2）建立关于的回归方程（系数精确到），并预测2024年我国岁及以上老人人口数（单位：亿）.参考数据：，，，参考公式：相关系数，若，则与有较强的线性相关性.回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.【答案】（1），与之间存在较强的正相关关系（2），亿【解析】（1）由折线图看出，与之间存在较强的正相关关系，理由如下：因为，，，，所以，，，所以，所以，，故与之间存在较强的正相关关系.（2）由（1），结合题中数据可得，，，，关于的回归方程为，年对应的值为，故，预测年我国岁及以上老人人口数为亿.17．如图，三棱锥中，平面，线段的中点为，，且.（1）证明：平面；（2）若，，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）法一：在中，，线段的中点为，所以,因为平面，平面，所以．因为平面，平面，，所以平面．法二：如图，以为基底建立空间直角坐标系．因为，，线段的中点为，所以，所以．设平面的一个法向量为，由，得到，解得．令，则，所以．易知，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则由，得到，取，所以．又因为，所以，所以平面（2）在中，过点作，垂足为，连接，因为平面，平面，所以,又因为，平面，平面，，所以平面，又因为平面，所以．又因为，平面，平面，，所以平面，所以，所以为二面角的平面角，在中，，，所以，．同理，在中，，所以．所以二面角的余弦值．法二，设二面角的平面角为，则为锐角，则，所以二面角的余弦值．18．第二次世界大战期间，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义.已知德军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号.假设德军某月生产的坦克总数为N，随机缴获该月生产的n辆（）坦克的编号为，，…，，记，即缴获坦克中的最大编号.现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N.甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用估计总体的均值，因此，得，故可用作为N的估计.乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现的无意义结果.例如，当，时，若，，，则，此时.（1）当，时，求条件概率；（2）为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M作为N的估计值.当，时，求随机变量M的分布列和均值；（3）丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现与N存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷.请判断与N的大小关系，并给出证明.【答案】（1）（2）分布列见解析，（3），证明见解析【解析】（1）由，知，当时，最大编号为5，另2辆坦克编号有种可能，故，由，有，解得，故总编号和小于9，则除最大编号5外，另2个编号只能是1，2，故，因此；（2）依题意，用M作为N的估计值，因，则的可能取值有，于是，，，，，于是M的分布列如下：M45678P故；（3）直观上可判断，证明：因.19．帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，在计算机数学中有着广泛的应用.已知函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，.其中，，…，.已知在处的阶帕德近似为.（1）求实数a，b的值；（2）设，证明：；（3）已知是方程的三个不等实根，求实数的取值范围，并证明：.【答案】（1），（2）证明见解析（3），证明见解析【解析】（1）依题意可知，，因为，所以，此时，，因为，，所以，，因为，所以；（2）依题意，，，故在单调递增，