4.2.2等差数列的性质（课件）高二数学课件（人教A版2019选择性）

等差数列的性质及其应用学习目标：1.理解等差数列的性质．(逻辑推理)2．等差数列的实际应用．(数学建模)3．能灵活运用等差数列的性质解决问题．(数学运算、逻辑推理)1.等差数列的定义：2.通项公式：an-an-1=d

（n≥2）或

an+1-an=d

(n∈N*)an

=a1+(n-1)d

由三个数a,A,b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项.3.等差中项：这三个数满足关系式：

知识回顾

(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列．(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列．(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列．an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．4、如何判断一个数列为等差数列思考：几何意义是什么？等差数列的性质设{an}是公差为d的等差数列，那么性质1an

=a1+(n-1)d

性质3

an

=am+(n-m)d

a1、d、n、an中知三求一推导公式:任意两项an和am之间的关系:考点1：等差数列通项公式的变形及其推广即：①可以由等差数列中任意一项及公差直接得到通项公式，不必求a1。②可以由等差数列的任意两项求公差。等差数列中角标和的秘密已知{an}是等差数列，用首项a1,公差d来表示下列各项①a1+a5②a2+a4③a3+a3=2a1+4d=2a1+4d=2a1+4d你有什么发现？①中两项角标和等于②中两项角标和等于③中两项角标和：1+5=2+4=3+3，所以①=②=③大胆假设若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq考点1：等差数列通项公式的变形及其推广am=a1+(m-1)d,an=a1+(n-1)dap=a1+(p-1)d,aq=a1+(q-1)dam+an=2a1+(m+n-2)d,ap+aq=2a1+(p+q-2)d因为m+n=p+q所以am+an=ap+aq结论：在等差数列中对任意四项，当m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq思考：当m+n+t=p+q+r时，am+an+at=ap+aq+ar成立吗？同样成立若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq特别地：若m+n=2p(m,n,p∈N*),则am+an=2ap[注]等式两边作和的项数必须一样多！

特例：常数列结论：在等差数列中对任意四项，当m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq推论等差数列的性质设{an}是公差为d的等差数列，那么性质1an

=a1+(n-1)d

性质3

an

=am+(n-m)d

性质5

m,n,p,q∈N*，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq性质6

m,n,p∈N*，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap法二：由等差数列的性质可知：a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8，∴a2＋a4＋a6＋a8＝2(a3＋a7)＝2×37＝74.等差数列运算的两条常用思路

(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．

(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.考点2：等差数列中对称设项法的应用已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，……an（1）将前m项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，他的首项与公差与项数分别是多少？am+1，am+2，……an是等差数列首项为am+1，公差为d，项数为n-m考点3：等差数列的性质已知一个等差数列的首项为a1，公差为d，a1，a2，a3，……an（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？a1，a3，a5，……是等差数列首项为a1，公差为2d取出的是所有偶数项呢？a2，a4，a6，……是等差数列首项为a2，公差为2d思考：已知一个等差数列的首项为a1，公差为d，a1，a2，a3，……ana7，a14，a21，……是等差数列首项为a7，公差为7d取出的是所有k倍数的项呢？ak，a2k，a3k，……是等差数列首项为ak，公差为kd（3）取出数列中所有项是7的倍数的各项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差是多少？

已知一个等差数列的首项为a1，公差为d，a1，a2，a3，……an（4）数列a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差数列吗？公差是多少？a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差数列，公差为4d

数列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是等差数列吗？公差是多少？a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是等差数列，公差为3d。已知两个等差数列的首项为a1，b1,公差为d1，d2a1，a2，a3，……an

;b1,b2,b3.......bn则数列an,bn相同项的公差为d1和d2的最小公倍数，首项为第一个相同项。例：an:1,2,3,4,5...bn:2,4,6,8,10...请写出数列an,bn相同项的通项公式。1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有等差数列的性质数列结论{c＋an}公差为d的等差数列(c为任一常数){c·an}公差为cd的等差数列(c为任一常数){an＋an＋k}公差为

的等差数列(k为常数，k∈N*){pan＋qbn}公差为

的等差数列(p，q为常数)2dpd＋qd′BCC35考点4：等差数列的实际应用例5：(1)《周髀算经》中有一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为(

)A．12.5尺

B．10.5尺C．15.5尺

D．9.5尺考点4：等差数列的实际应用解：

设此等差数列{an}的公差为d，则a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝37.5，a1＋11d＝4.5，解得d＝－1，a1＝15.5.[答案]

C(2)已知各项都为正数的等差数列{an}中，a5＝3，则a3a7的最大值为________．[答案]

91．解决数列综合问题的方法策略(1)结合等差数列的性质或利用等差中项．(2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式．(3)利用函数或不等式的有关方法解决．2．解决等差数列实际应用问题的步骤请您根据提供的信息说明，求：(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；(3)哪一年的规模最大？请说明理由．[点拨]

首先认真阅读题目中给出的条件，寻找有用的信息，然后根据给出的数据和图象建立等差数列，进行求解，得出结论．解：

由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡只数成等差数列，记为数列{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为数列{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数