第五章 第5讲 数列的综合应用

第五章数列第5讲数列的综合应用

命题点五年考情命题分析预测等差、等比数列的综合问题2022新高考卷ⅡT17；2022天津T18；2020浙江T20；2019全国卷ⅡT19该讲的命题重点是等差数列与等比数列的综合，数列与不等式的综合，难度中等.预计2025年高考可能会出现新的数列综合题，备考时，应关注数列与其他知识的综合.数列与其他知识综合2023新高考卷ⅠT7；2023全国卷乙T10；2023天津T19；2021浙江T10

命题点1

等差、等比数列的综合问题例1

[全国卷Ⅱ]已知数列{

an

}和{

bn

}满足

a

1＝1，

b

1＝0，4

an

＋1＝3

an

－

bn

＋4，4

bn

＋1＝3

bn

－

an

－4.(1)证明：{

an

＋

bn

}是等比数列，{

an

－

bn

}是等差数列.

例1训练1例2训练2例3训练3(2)求{

an

}和{

bn

}的通项公式.

例1训练1例2训练2例3训练3训练1

已知数列{

an

}的首项

a

1＝4，{

an

＋1－2

an

}是以4为首项，2为公比的等

比数列.

例1训练1例2训练2例3训练3

已知数列{

bn

}满足

，求数列{

bn

}的前

n

项和

Tn

.例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3命题点2

数列与其他知识综合角度1

数列与函数综合

例1训练1例2训练2例3训练3(1)当

x

1＋

x

2＝1时，求

f

(

x

1)＋

f

(

x

2)的值；

例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3方法技巧数列与函数的综合问题的解题策略(1)已知函数条件，解决数列问题，一般利用函数的性质、图象等进行研究.(2)已知数列条件，解决函数问题，一般要利用数列的有关公式对式子化简变形.注意数列是自变量为正整数的特殊函数，要灵活运用函数的思想方法求解.例1训练1例2训练2例3训练3训练2

(1)函数

f

(

x

)的定义域为R，满足

f

(

x

＋1)＝2

f

(

x

)，且当

x

∈[0，1)时，

f

(

x

)＝

sinπ

x

.当

x

∈[0，＋∞)时，将函数

f

(

x

)的极大值点从小到大依次记为

a

1，

a

2，

a3，…，

an

，…，并记相应的极大值为

b

1，

b

2，

b

3，…，

bn

，…，则数列{

an

＋

bn

}

的前9项和为

⁠.

例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3(2)设曲线

y

＝

xn

＋1(

n

∈N*)在点(1，1)处的切线与

x

轴交点的横坐标为

xn

.令

an

＝lgxn

，则数列{

an

}的前

n

项和

Sn

＝

⁠.

－lg(

n

＋1)

例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3角度2

数列与不等式综合例3

[2023天津高考]已知数列{

an

}是等差数列，

a

2＋

a

5＝16，

a

5－

a

3＝4.(2)已知{

bn

}为等比数列，对于任意

k

∈N*，若2

k

－1≤

n

≤2

k

－1，则

bk

＜

an

＜

bk

＋1.(i)当

k

≥2时，求证：2

k

－1＜

bk

＜2

k

＋1；(ii)求{

bn

}的通项公式及其前

n

项和.例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3方法技巧1.数列与不等式的综合问题的解题策略(1)判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性或者借助数列对应的函

数的单调性求解.(2)对于与数列有关的不等式的证明问题，要灵活选择不等式的证明方法，有时需构

造函数，利用函数的单调性、最值来证明.例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3

B.3＜S100＜4A例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3

1.[命题点1/2023西安检测]在公差不为零的正项等差数列{

an

}中，

Sn

为数列{

an

}的

前

n

项和，请在①

a

1＋

a

3＋

a

5＋

a

7＝20，

a

2＋

a

3＝

a

6；②2

Sn

＝(

an

＋2)(

an

－1)；

③

a

1，

a

3，

a

7成等比数列，

a

2＝3这三个条件中，任选一个完成下面的问题.(1)求数列{

an

}的通项公式；123

123

123(2)若数列{

bn

}是公比为

q

的等比数列，且

b

1＝

a

1，

b

2＝

a

3，

bk

＝

am

(

m

，

k

均是大

于2的正整数)，记

Tn

为数列{

bn

}的前

n

项和，求证：

Tk

＝2

m

.

故

Tk

＝2

m

得证.123

123

123

(1)求{

an

}的通项公式；

123

123

123

A.2B.－2C.±2

A123456789101112131415

A.256B.254C.128D.126D123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

A1234567891011121314154.[2024湖南永州联考]已知函数

f

(

x

)＝

x

3＋3

x

2＋

x

＋1，设数列{

an

}的通项公式为

an

＝－2

n

＋9，则

f

(

a

1)＋

f

(

a

2)＋…＋

f

(

a

9)＝(

D

)A.36B.24C.20D.18[解析]

f

(

x

)＝

x

3＋3

x

2＋

x

＋1＝(

x

＋1)3－2(

x

＋1)＋2，所以曲线

f

(

x

)的对称中心

为(－1，2)，即

f

(

x

)＋

f

(－2－

x

)＝4.因为

an

＝－2

n

＋9，易知数列{

an

}为等差数

列，

a

5＝－1，

a

1＋

a

9＝

a

2＋

a

8＝

a

3＋

a

7＝

a

4＋

a

6＝2

a

5＝－2，所以

f

(

a

1)＋

f

(

a

9)＝

f

(

a

2)＋

f

(

a

8)＝

f

(

a

3)＋

f

(

a

7)＝

f

(

a

4)＋

f

(

a

6)＝4，

f

(

a

5)＝

f

(－1)＝2，所以

f

(

a

1)＋

f

(

a

2)＋…＋

f

(

a

9)＝4×4＋2＝18.故选D.D1234567891011121314155.[多选/2023昆明市模拟]已知

a

，

b

，

c

为非零实数，则下列说法一定正确的是

(

AD

)C.若a2，b2，c2成等比数列，则a，b，c成等比数列D.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等比数列AD123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

2021

1234567891011121314158.[2024江苏南京统考]已知公比大于1的等比数列{

an

}满足：

a

1＋

a

4＝18，

a

2

a

3＝

32.(1)求{

an

}的通项公式.

123456789101112131415

123456789101112131415

1234567891011121314159.[2023山东潍坊模拟]在公差不为零的等差数列{

an

}中，

a

1＝1，且

a

1，

a

3，

a

13成

等比数列，数列{

bn

}的前

n

项和

Sn

满足

Sn

＝2

bn

－2.(1)求数列{

an

}和{

bn

}的通项公式；

123456789101112131415(2)设

cn

＝

bn

－

an

，数列{

cn

}的前

n

项和为

Tn

，若不等式

Tn

＋

n

2－

n

＞log2(1－

a

)对

任意

n

∈N*恒成立，求实数

a

的取值范围.

123456789101112131415

A.－4B.－1C.0D.2

A123456789101112131415

12345678910111213141511.[多选/2024浙江名校联考]已知数列{

an

}是公比为

q

的等比数列，且

a

1＞0，则下

列叙述中正确的是(

BD

)A.若a1＋a4＝a2＋a3，则q＝1B.若a2＝lna1＋lna3，则q＜0D.若0＜a1＜1，且a1＋a2＋a3＝ln(a1＋a2＋a3＋a4)，则q＞1BD123456789101112131415

123456789101112131415

12345678910111213141512.[2024惠州市一调]设等差数列{

an

}的公差为

d

，且

d

＝2

a

1，

a

5＝9.(1)求数列{

an

}的通项公式；

123456789101112131415

123456789101112131415

(1)求数列{

an

}和{

bn

}的通项公式；123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415