8.2.1两角和与差的余弦课件高一数学人教B版

第八章向量的数量积与三角恒等变换两角和与差的余弦人教B版

数学

必修第三册课程标准1.了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,掌握用向量证明问题的方法,进一步体会向量法的作用.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式,并能用两角和与差的余弦公式解决相关的求值、化简和证明等问题.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点两角和与差的余弦公式名称公式简记两角和的余弦公式cos(α+β)=

Cα+β两角差的余弦公式cos(α-β)=

Cα-βcosαcosβ-sinαsinβcosαcosβ+sinαsinβ名师点睛两角和与差的余弦公式的常见变形应用公式记忆口诀:“余余正正,符号相反”.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.(

)(2)cos(α+β)=cosα+cosβ.(

)(3)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ对任意角α,β都成立.(

)××√√2.cos15°=

.

3.[人教A版教材例题]利用公式Cα-β证明:(1)cos(-α)=sinα;(2)cos(π-α)=-cosα.(2)cos(π-α)=cos

πcos

α+sin

πsin

α=(-1)×cos

α+0=-cos

α.重难探究·能力素养全提升探究点一两角和与差的余弦公式的简单应用【例1】

(1)cos615°的值为(

)分析

先把615°转化为两个特殊角的差,再进一步转化利用两角和的余弦公式求解.D解析

cos

615°=cos(720°-105°)=cos

105°=cos(45°+60°)=.(2)计算sin7°cos23°+sin83°cos67°的值为(

)分析

先利用诱导公式对角进行转化,再逆用两角差的余弦公式求解.B解析

sin

7°cos

23°+sin

83°cos

67°=cos

83°cos

23°+sin

83°sin

23°=cos(83°-23°)=cos

60°=.分析

注意sin2α+cos2α=1的应用.变式探究1求2cos15°sin15°的值.规律方法

利用两角和与差的余弦公式解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路(1)先把非特殊角转化为特殊角的和或差,再用公式直接求值.(2)充分利用诱导公式,构造两角和与差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.变式训练1(1)cos60°cos30°-sin60°·sin30°=(

)A解析

cos

60°cos

30°-sin

60°·sin

30°=cos(60°+30°)=cos

90°=0.故选A.(2)cos(α-β)cosα+sin(α-β)sinα=(

)A.sin(2α-β) B.cos(2α-β)C.cosβ

D.-cosβC解析

cos(α-β)cos

α+sin(α-β)sin

α=cos[(α-β)-α]=cos(-β)=cos

β.故选C.探究点二给值求值问题规律方法

给值求值问题的两个主要技巧一个是已知角的某一三角函数值,求该角的另一三角函数值时,应注意角的终边所在的象限,从而确定三角函数值的正负.二是注意变角,“变角”的技巧在三角函数求值以及证明中经常用到,因为合理“变角”后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明.常见的角的变换方式:α=(α+β)-β=β-(β-α)=

[(α+β)+(α-β)]=

[(α+β)-(β-α)],2α=(α+β)+(α-β)=(α+β)-(β-α),α+2β=(α+β)+β等.变换的方式很多,需要自己慢慢地体会和探索.cos

2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.探究点三给值求角问题分析利用两角和的余弦公式求α+β的余弦值,并结合角α+β的范围进行求解.规律方法

解决给值求角问题的策略求角时,先根据已知条件求出角的余弦值,然后根据已知条件求出角的范围,从而确定角的大小.B成果验收·课堂达标检测A级必备知识基础练1234567891011121314151617181.[探究点一]cos70°cos335°+sin110°sin25°的值为(

)B解析

原式=cos

70°cos

25°+sin

70°sin

25°=cos(70°-25°)=cos

45°123456789101112131415161718A123456789101112131415161718C1234567891011121314151617184.[探究点一]已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,若a=(cosA,sinA),b=(cosB,sinB),且a·b=1,则△ABC一定是(

)A.直角三角形

B.等腰三角形C.等边三角形

D.等腰直角三角形B解析

因为a·b=cos

Acos

B+sin

Asin

B=cos(A-B)=1,且A,B,C是三角形的内角,所以A=B,即△ABC一定是等腰三角形.故选B.123456789101112131415161718AC1234567891011121314151617181234567891011121314151617181234567891011121314151617187.[探究点一]已知sin(α-45°)=,0°<α<90°,则cosα=

.

123456789101112131415161718123456789101112131415161718B级关键能力提升练A123456789101112131415161718A123456789101112131415161718A12345678910111213141516171812345678910111213141516171812345678910111213141516171812345678910111213141516171