1.5.1全称量词与存在量词课件高一上学期数学人教A版

1.5全称量词与存在量词全称量词与存在量词

第一章集合与常用逻辑用语一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．女生能劈叉。我们有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它们不是命题．但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题，我们把这样的短语成为量词．女生能劈叉。所有女生能劈叉。存在女生能劈叉。(1)和（2）不是命题(3)和（4）是命题(3)在(1)的基础上,用短语“所有的”对变量x进行限定，使(3)变成了可以判断真假的语句;(4)在(2)的基础上,用短语“任意一个”对变量x进行限定，使(4)变成了可以判断真假的语句.

全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，

并用符号“∀”表示．常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等．全称量词命题的表述形式：全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”，

可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”

．全称量词命题：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．含有变量x的语句全称量词命题的表述形式：全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”，

可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”

．

例1判断下列全称量词命题的真假．

(1)所有的素数都是奇数；(2)∀x∈R，|x|+1≥1；(3)对每一个无理数x，x2也是无理数．例1判断下列全称量词命题的真假．

(1)所有的素数都是奇数；(2)∀x∈R，|x|+1≥1；(3)对每一个无理数x，x2也是无理数．∵2是素数,但不是奇数,∴命题(1)是假命题;∵|x|≥0，∴|x|+1≥1，∴命题(2)是真命题；

举反例归纳：如何判断全称量词命题的真假？若判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立;（从左向右推导）若判定一个全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0

,使得P(x0

)不成立即可.（举反例）

(1)和（2）不是命题(3)和（4）是命题(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;

(4)在(2)的基础上,用短语“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句.存在量词：短语“存在一个”“至少一个”在逻辑中通常叫做存在量词，

并用符号“∃”表示．常见的存在量词还有“有些”“有一个”“有的”“某一个”等存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做全称量词命题．存在量词命题的表述形式：全称量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”，

可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”

．

例2

判断下列存在量词命题的真假.(1)有一个实数x,使x2+2x+3=0;(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;(3)有些平行四边形是菱形.

例2

判断下列存在量词命题的真假.(1)有一个实数x,使x2+2x+3=0;(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;(3)有些平行四边形是菱形.∵△=-8<0,∴一元二次方程x2+2x+3=0无实根,∴命题(1)是假命题;∵由于平面内垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的,因此不存在两个相交的直线垂直于同一条直线,∴命题(2)是假命题;∵菱形是平行四边形，∴命题(3)是真命题.归纳：如何判断存在量词命题的真假？要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可.如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,（即集合M中所有的元素x，都使得p(x)不成立），那么这个存在量词命题是假命题.

全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，

并用符号“∀”表示．全称量词命题的表述形式：全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”，

可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”

.存在量词：短语“存在一个”“至少一个”在逻辑中通常叫做存在量词，

并用符号“∃”表示．存在量词命题的表述形式：全称量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”，