第18讲 第3课时　放缩法证明不等式

第18讲导数与不等式第3课时放缩法证明不等式【备选理由】例1、例2均考查通过放缩法证明一元不等式,巩固常用的指对数的放缩结论,进一步熟悉放缩技巧,强化放缩解题意识;例3虽然是考查不等式恒成立求参数问题,但是在其中穿插了比较多的三角放缩的技巧的应用,注意三角放缩技巧在不等式恒成立或者不等式证明中的运用;例4考查通过放缩法证明多元不等式,整体代换消元为放缩证明提供了前提.例1[配例1使用]已知函数f(x)=aex-1-lnx-1.(1)若a=1,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)证明:当a≥1时,f(x)≥0.解:(1)当a=1时,f(x)=ex-1-lnx-1(x>0),f'(x)=ex-1-1x,则曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线斜率k=f'(1)=又f(1)=0,∴切点坐标为(1,0),∴切线方程为y-0=0×(x-1),即y=0.(2)证明:∵a≥1,∴aex-1≥ex-1,∴f(x)≥ex-1-lnx-1.令g(x)=ex-x-1,则g'(x)=ex-1.当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,∴g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,∴g(x)min=g(0)=0,故ex≥x+1,当且仅当x=0时取等号.同理可证lnx≤x-1,当且仅当x=1时取等号.由ex≥x+1得ex-1≥x(当且仅当x=1时取等号),由x-1≥lnx得x≥lnx+1(当且仅当x=1时取等号),∴ex-1≥x≥lnx+1,即ex-1≥lnx+1,∴ex-1-lnx-1≥0(当且仅当x=1时取等号),即f(x)≥0.例2[配例1使用][2023·广州一模]已知函数f(x)=ex(1)求函数f(x)的单调区间;(2)解关于x的不等式f(x)>12解:(1)由函数f(x)=ex-11+lnx,得f(x)f'(x)=ex-11+lnx-令g(x)=1+lnx-1x,则g'(x)=1x+1∴函数g(x)在定义域上单调递增,∴当0<x<1e或1e<x<1时,f'(x)<0,函数f(x)当x>1时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,∴f(x)的单调递减区间为0,1e,1e,1(2)不等式f(x)>12x+1x,当0<x<1e时,f(x)<0,不合题意,舍去.当x=1时,不等式的左边=右边,不合题意,舍去∴x>1e且x≠1①当1e<x<1时,ex-1>x,要证ex-11+lnx>12x+1x,只需证令F(x)=2x21+x2-(1+则F'(x)=-(x2-1)2x(1+x2)2<0,∴函数F(x)在②当x>1时,原不等式等价于2ex-令h(x)=2ex-11+x2(x>1),u(则h'(x)=2ex-1(x-1)2(1+x2∴h(x)>h(1)=1.∵当x>1时,lnx<x-1,∴u(x)<1,∴不等式2ex-1综上可得,不等式f(x)>12x+1x的解集为1例3[配例3使用][2023·长沙长郡中学一模]已知函数f(x)=(cosx-1)e-x,g(x)=ax2+(1-ex)x(a∈R).(1)当x∈(0,π)时,求函数f(x)的最小值;(2)当x∈-π2,+∞时,不等式xf(x)≥g(x解:(1)由题意得f'(x)=1-2sinx+π4ex,当x∈(0,π)时,令f'当x∈0,π2时,f'(x)<0,当x∈π2,π时,所以f(x)min=fπ2=-e(2)由xf(x)≥g(x)ex,得x(cosx-1)e-x≥e-x[ax2+(1-即xcosx-x≥ax2+(1-ex)x,即x(ex+cosx-ax-2)≥0.记h(x)=ex+cosx-ax-2,则xh(x)≥0恒成立,且h'(x)=ex-sinx-a.令k(x)=h'(x),则k'(x)=ex-cosx.当a>1,x∈[0,+∞)时,k'(x)≥0,k(x)=h'(x)在[0,+∞)上单调递增,且h'(0)=1-a<0,h'(1+a)=e1+a-sin(1+a)-a≥e1+a-1-a,令y=ex-x-1,x>0,则y'=ex-1>0,故y=ex-x-1在(0,+∞)上单调递增,又当x=0时,y=0,所以当x>0时,ex-x-1>0,所以e1+a-(1+a)>e1+a-(1+a)-1>0,即h'(1+a)>0,故存在唯一的x0∈(0,1+a),使得h'(x0)=0,当x∈(0,x0)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,所以h(x)<h(0)=0,此时xh(x)<0,不合题意.当a≤1时,若x>0,则h'(x)>1+x-sinx-a.令y=x-sinx,x>0,则y'=1-cosx≥0,故y=x-sinx在(0,+∞)上单调递增,又当x=0时,y=0,所以当x>0时,x-sinx>0,所以h'(x)>1+x-sinx-a>1-a≥0,故h(x)在(0,+∞)上单调递增,所以当x>0时,h(x)>h(0)=0恒成立,故xh(x)>0恒成立.若x∈-π2,0,则令t(x)=k'(x),故t'(x)=ex+sin又t'(0)=1,t'-π2=e-π2-1<0,所以存在唯一的x1∈-π2,0当x∈-π2,x1时,t'(x)<0,t(x)单调递减,当x∈(x1,0]时,t'(x)>0,t又t-π2=e-π2>0,t(0)=0,故存在唯一的x2∈-π2,0,使得t(x当x∈-π2,x2时,t(x)=k'(x)>0,k(x)=h'(x)单调递增,当x∈(x2,0]时,t(x)=k'(x)≤0,k(x)=h'又k-π2=e-π2+1-a>0,k所以当x∈-π2,0时,k(x)=h'(x)≥0,则h(x)在-π2,0上单调递增,所以当x∈-π2,0时,h(x综上,当a≤1,x∈-π2,+∞时,xh(x)≥0恒成立,故实数a例4[补充使用]已知函数f(x)=12x2+lnx+mx,m∈R(1)若f(x)存在两个极值点,求实数m的取值范围;(2)若x1,x2为f(x)的两个极值点,证明:f(x1)+解:(1)由题可得f'(x)=x+1x+m,x>0,若f(x)存在两个极值点,则f'(x)=0在(0,+∞)上有两个根所以m=-x+1x有两个根,即直线y=m与y=-x+1x,x>0的图象有两个交点,由y=-x+1当x∈(0,1)时,y'>0,y=-x+1x单调递增,当x∈(1,+∞)时,y'<0,y=-所以当x=1时,ymax=-2,又当x→0时,y→-∞,当x→+∞时,y→-∞,所以m的取值范围为(-∞,-2).(2)证明:由