考研数学二分类模拟245

考研数学二分类模拟245解答题设二元函数1.

求f'x(0，0)，f'y(0，0)；正确答案：解：

同理f'y(0，0)=0．[考点]多元函数微分学

2.

证明：f'x(x，y)，f'y(x，y)在(0，0)不连续；正确答案：解：当x2+y2≠0时

不存在，所以f'x(x，y)在(0，0)处不连续．

同理可证f'y(x，y)在(0，0)处不连续．[考点]多元函数微分学

3.

证明：f(x，y)在(0，0)处可微．正确答案：解：即证

其中Δf=f(x，y)-f(0，0)=f(x，y)，，则

故f(x，y)在(0，0)处可微．

注

此例说明，偏导数连续是可微的充分条件但非必要条件．[考点]多元函数微分学

4.

设n阶矩阵A满足A2+A=3E，求(A-3E)-1．正确答案：解：A2+A-3E=0，即(A-3E)(A+4E)=-9E，亦即

则

[考点]矩阵

5.

设，其中m为正整数，试证：．正确答案：解：由于

所以

[考点]一元函数微积分

设A，B为n阶矩阵，且A+B=AB，求证：6.

(A-E)-1=B-E；正确答案：证明：由A+B=AB可得

E=AB-A-B+E=A(B-E)-(B-E)=(A-E)(B-E)

故A-E可逆，且

(A-E)-1=B-E[考点]特征值、特征向量及二次型

7.

AB=BA；正确答案：证明：由第一小题的结论有

(B-E)(A-E)=E

于是

BA-B-A+E=E

即BA=B+A，从而AB=BA．[考点]特征值、特征向量及二次型

8.

r(A)=r(B)；正确答案：证明：由A+B=AB，得

A(E-B)=-B

①

再由第一小题的结论知

A=(A-E)B

②

从而由①知r(B)≤r(A)，再由②知r(A)≤r(B)．故r(A)=r(B)．[考点]特征值、特征向量及二次型

9.

A，B具有公共的特征向量；正确答案：证明：设Bα=λα(α≠0)，则

Aα+Bα-ABα=0

故

Aα+λα-λAα=0

即

(1-λ)Aα=-λα

若λ=1，则由Aα+α-Aα=0，得α=0，与假设矛盾．

于是λ≠1，从而，即α为A的特征向量．

又由第二小题知BA=A+B，同理可得A的特征向量也是B的特征向量，故结论得证．[考点]特征值、特征向量及二次型

10.

A相似于对角阵当且仅当B相似于对角阵．正确答案：证明：必要性．由A相似于对角阵，故存在可逆矩阵T使得

T-1AT=diag{λ1，λ2，…，λn}

即

AT=Tdiag{λ1，λ2，…，λn}

将T按列分块为T=(α1，α2，…，αn)，则Aαi=λiαi，i=1，2，…，n．即αi(i=1，2，…，n)是A的特征向量．

由第四小题知αi也是B的特征向量．设Bαi=μiαi(i=1，2，…，n)，则

T-1BT=diag{μ1，μ2，…，μn}

同理可证充分性．[考点]特征值、特征向量及二次型

11.

设f(x)在(0，+∞)上可微，且f'(x)单调递增，f(0)=0，证明：在(0，+∞)内单调递增．正确答案：证明：对x∈(0，+∞)，由拉格朗日中值定理，得，即，其中0＜ξ＜x，则

由于f'(x)在(0，+∞)内单调递增，则g'(x)＞0，故g(x)在(0，+∞)内单调递增．[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

12.

证明：向量组α1，α2，…，αs中任一向量αi可以由这个向量组线性表出．正确答案：证明：由于αi=0α1+…+0αi-1+1αi+0αi+1+…+0αs，因此，向量组α1，α2，…，αs中任一向量αi可以由这个向量组线性表出．[考点]向量

13.

设函数f(x)于[a，+∞)中二阶可微，并且满足：

(1)f(a)=A＞0；

(2)f'(a)＜0；

(3)当x＞a时，f"(x)≤0

证明：在区间(a，+∞)内方程f(x)=0有且只有一个实根．正确答案：证明：显然f'(x)在[a，+∞)上是递减的，于是，当a≤x＜+∞时，f'(x)≤f'(a)＜0．又知函数f(x)在[a，+∞)上是递减的，因此，在(a，+∞)上至多有一点使f(x)=0，即在(a，+∞)上方程f(x)=0至多有一个根．

下面证明必有点a＜x0＜+∞存在，使f(x0)=0．

考虑F(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)(a≤x＜+∞)，则

F'(x)=f'(x)-f'(a)，F"(x)=f"(x)

于是，当a＜x＜+∞时F"(x)≤0，从而F'(x)在a≤x＜+∞上是递减的，但F'(a)=0，故当a≤x＜+∞时F'(x)≤F'(a)=0；由此又知F(x)在a≤x＜+∞上是递减的，但F(a)=0，因此，当a≤x＜+∞时恒有F(x)≤F(a)=0．

令，由于f(a)＞0，f'(a)＜0，故x*＞a．显然

且F(x*)≤0，故f(x*)≤0．由条件(1)知f(a)=A＞0，再根据连续函数的介值性定理，可知必有x0，使得a＜x0≤x*，f(x0)=0．证毕．[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

14.

．正确答案：解：当x＞0时，设，t＞0，则

当x＜0时，设，t＜0，显然有

总之，不论x为正或为负，均有

[考点]一元函数微积分

15.

计算n阶行列式(n≥2)

其中ai≠0，i=1，2，…，n．正确答案：解：先把第1行的-1倍分别加到第2，3，…，n行上，然后各列分别提出公因子a1，a2，…，an；再从第2列起，各列加至第1列，如下

[考点]行列式

16.

设函数f(x)在[0，1]上连续，证明

正确答案：证明：

所以

同理可证

故

[考点]不定积分、定积分、反常积分

17.

设，求f(x)的间断点并判断其类型．正确答案：解：x=0及x=1为f(x)的间断点．

则x=0为f(x)的可去间断点；

即f(1-0)=-sin1，又

即f(1+0)=sin1，则f(1-0)≠f(1+0)，所以x=1为f(x)的跳跃间断点．[考点]函数、极限

18.

计算积分．正确答案：解：因

所以

[考点]一元函数微积分

19.

设a1，a2，…，an是满足的实数．证明：方程a1cosx+a2cos3x+…+ancos(2n-1)x=0在内至少有一个实根．正确答案：证明：令，则

F'(x)=a1cosx+a2cos3x+…+ancos(2n-1)x

而

由罗尔定理，至少存在，使得F'(ξ)=0，即方程a1cosx+a2cos3x+…+ancos(2n-1)x=0在内至少有一个实根．[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

20.

求函数f(x，y，z)=x2+y2+z2在ax+by+cz=1下的最小值．正确答案：解：作拉格朗日函数

L(x，y，z，λ)=x2+y2+z2+λ(ax+by+cz-1)

令L'x=L'y=L'z=L'λ=0，即

解得唯一驻点．

因此f(x，y，z)在ax+by+cz=1下的最小值为．[考点]多元函数微分学

21.

已知y1=ex是齐次方程的一个解，求此方程的通解．正确答案：解：设y2=exu(x)也是该方程的解，代入原方程得

(2x-1)u"(x)+(2x-3)u'(x)=0

令u'(x)=p(x)，则u"(x)=p'(x)，从而有