考研数学二分类模拟题42

考研数学二分类模拟题42解答题1.

确定常数a，b，c，使得正确答案：[解]方法一

由得b=-1；

由得

于是

方法二由得，从而

于是解得

2.

正确答案：方法一

方法二

3.

求正确答案：[解]

因为

所以

4.

求正确答案：[解]

5.

设f(x)可导且f"(0)=6，且，求正确答案：[解]由得f(0)=0，f'(0)=0，

6.

设，其中f(x)连续，求正确答案：[解]由

得，于是

7.

求正确答案：[解]

而

则

8.

求正确答案：[解]

9.

求正确答案：[解]

10.

求极限正确答案：[解]

11.

设f'(x)连续，f(0)=0，f'(0)≠0，，且当x→0时，F(x)～xn，求n及f'(0)．正确答案：[解]

则n-2=2，n=4，且

于是f'(0)=-4．

12.

设f(x)在[1，+∞)内可导，f'(x)＜0且，令证明：{an}收敛且正确答案：[证明]因为f'(x)＜0，所以f(x)单调减少．

又因为，所以{an}单调减少．

因为而

且，所以存在X＞0，当x＞X时，f(x)＞0．

由f(x)单调递减得f(x)＞0(x∈[1，+∞))，故an≥f(n)＞0，所以存在．

由

而，所以an≤f(1)，从而

13.

设a＞0，x1＞0，且定义，证明：存在并求其值．正确答案：[证明]因为正数的算术平均数不小于几何平均数，所以有

从而

故单调减少，再由xn≥0(n=2，3，…)，则存在，

令，等式两边令n=∞得

解得

14.

设a1=1，当n≥1时，，证明：数列{an}收敛并求其极限．正确答案：[证明]令，因为，所以数列{an}单调．

又因为a1=1，0≤an+1≤1，所以数列{an}有界，从而数列{an}收敛，令，则有

设f(x)在[0，2]上连续，且f(0)=0，f(1)=1．证明：15.

存在c∈(0，1)，使得f(c)=1-2c．正确答案：[证明]令φ(x)=f(x)-1+2x，φ(0)=-1，φ(1)=2，因为φ(0)φ(1)＜0，所以存在c∈(0，1)，使得φ(c)=0，于是f(c)=1-2c．

16.

存在ξ∈[0，2]，使得2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ)．正确答案：[证明]因为f(x)∈C[0，2]，所以f(x)在[0，2]上取到最小值m和最大值M，

由6m≤2f(0)+f(1)+3f(2)≤6M得

由介值定理，存在ξ∈[0，2]，使得

于是2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ)．

17.

设，证明：数列{an}有界．正确答案：[证明]取ε0=1，因为，根据极限定义，存在N＞0，当n＞N时，有|an-A|＜1，所以|an|≤|A|+1．

取M=max{|a1|，|a2|，…，|aN|，|A|+1}，

则对一切的n，有|an|≤M．

18.

设f(x)在[0，1]上有定义，且exf(x)与e-f(x)在[0，1]上单调增加．证明：f(x)在[0，1]上连续．正确答案：[证明]对任意的x0∈[0，1]，因为exf(x)与e-f(x)在[0，1]上单调增加，所以当x＜x0时，有故f(x0)≤f(x)≤ex0-xf(x0)，

令，由夹逼定理得f(x0-0)=f(x0)；

当x＞x0时，有故ex0-xf(x0)≤f(x)≤f(x0)，

令，由夹逼定理得f(x0+0)=f(x0)，故f(x0-0)=f(x0+0)=f(x0)，

即f(x)在x=x0处连续，由x0的任意性得f(x)在[0，1]上连续．

19.

设f(x)在[a，+∞)上连续，f(a)＜0，而存在且大于零．证明：f(x)在(a，+∞)内至少有一个零点．正确答案：[证明]令，取，因为，所以存在X0＞0，

当x≥X0时，有，从而，特别地，f(X0)＞0，因为f(x)在[a，X0]上连续，且f(a)f(X0)＜0，所以存在ξ∈(a，X0)，使得f(ξ)=0．

20.

设，求f(x)的间断点并判断其类型．正确答案：[解]f(x)的间断点为