概率论与数理统计课件3.1随机变量及其分布

§3.1二维随机变量及其分布延迟符例如

抽样调查15-18岁青少年的身高X与体重Y，以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。

飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量

(三个坐标)（X，Y，Z）来确定的等等.概率论与数理统计概率论与数理统计一般地,设是一个随机试验,它的样本空间是设是定义在上的随机变量,由它们构成的一个维向量叫做维随机向量或

维随机变量.

以下重点讨论二维随机变量.延迟符二维随机变量的分布函数定义

设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,

y，二元函数称为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，简称为（X,Y)的分布函数.分布函数的函数值的几何解释

将二维随机变量看成是平面上随机点的坐标,

那么分布函数在点处的函数值就是随机点落在下面图所示的,以点为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.概率论与数理统计(1)F(x,y)分别关于x

和y

单调不减.概率论与数理统计分布函数F(x，y)的性质(3)F(x,y)关于x或y都是右连续的，即概率论与数理统计(4)对任意的有证：x1x2y1y2概率论与数理统计

设二维随机变量的分布函数为,则有概率论与数理统计延迟符二维离散型随机变量

定义

若二维随机变量(X,Y)的所有可能的取值是有限对或可列无限对不同值，则称(X,Y)是二维离散型随机变量.称为(X,Y)的分布律，或X与Y的联合分布律.二维离散型随机向量(X,Y)的分布律可用下列表格给出XYx1x2...xi...y1

y2

...

yj

…p11p21...pi1...p12p22...pi2...……………p1jp2j...pij...……………概率论与数理统计二维离散型随机变量的分布律具有性质概率论与数理统计

例把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求(X,Y)的分布律.解

X

可取值0,1,2,3，Y

可取值1,3概率论与数理统计X-101Y012

0.050.10.10.10.20.1

a

0.20.05求:(1)常数a的取值;(2)P{X≥0,Y≤1};(3)P{X≤1,Y≤1}.例(X,Y)的分布律为解

(1)由∑pij=1得:a=0.1概率论与数理统计(2)P{X≥0,Y≤1}=P{X=0,Y=0}+P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}=0.1+0.2+0.1+0.2=0.6(3)P{X≤1,Y≤1}+P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}=0.75=P{X=-1,Y=0}+P{X=-1,Y=1}+P{X=0,Y=0}X-101Y012

0.050.10.10.10.20.1

a

0.20.05概率论与数理统计二维连续型随机变量定义

设二维随机变量的联合分布函数为，若存在非负可积函数，使得对于任意实数，都有

则称(X,Y)为二维连续型随机变量，函数f(x,y)称为(X,Y)的概率密度或X与Y联合概率密度.(X,Y)的概率密度f(x,y)的性质：（1）非负性（2）归一性（3）当f(x,y)连续时，概率论与数理统计（4）若D是Oxy平面上的任一区域，则随机点(X,Y)落在D内的概率为：概率论与数理统计在几何上，上式表示随机点(X,Y

)落入区域D内的概率等于以D为底，以曲面为顶的曲顶柱体的体积.解

(1)由得所以

k=61概率论与数理统计(2)xy1/2o概率论与数理统计

例:设二维随机向量(X,Y)的分布函数为(1)求概率密度f

(x,y);(2)求概率P{Y≤X}.解

(1)由分布函数的性质有概率论与数理统计(2)概率论与数理统计常见的两种二维连续型随机变量的分布(一)均匀分布定义

设D是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机变量(X,Y)的概率密度为则称(X,Y)服从区域D上的均匀分布.

概率论与数理统计(二)二