2021届山西省晋中市高三上学期1月适应性考试一模数学文试题解析版

2021届山西省晋中市高三上学期1月适应性考试〔一模〕数学〔文〕试题一、单项选择题1．集合，，那么〔〕A． B． C． D．【答案】D【分析】解绝对值不等式得集合，再由数轴可得.【详解】不等式的解集为，因此．应选：D.2．复数z满足，其中i为虚数单位，那么z在复平面内对应的点在〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据复数的除法运算，求得，再根据共轭复数求出，根据复数的几何意义，即可得到结果.【详解】由得：，故，所以z在复平面内对应的点为，故z在复平面内对应的点在第一象限.应选：A.3．小荣家庭一周的支出数据如下表，问其中肉类支出占总支出的百分比约〔〕A．6．8% B．8% C．10% D．12%【答案】D【分析】根据扇形图可知食品类支出占家庭总支出的比例，根据条形图可知肉类支出占食品类支出的比例，然后简单计算即可.【详解】由扇形图可知，食品类支出占家庭总支出的36%，其中肉类支出占食品类支出的三分之一因此肉类支出占家庭总支出的比例为12%．应选：D4．某班会课上，班主任拟从甲、乙，丙、丁、戊五名同学选3人以新冠疫情为主题分享体会，那么甲没被选中的概率为〔〕A． B． C． D．【答案】B【分析】计算出选择的所有可能结果，然后计算没有甲的可能结果，最后根据古典概型计算即可.【详解】从5人中选3人出来总共有10种不同的选法，每种选法的可能性相同，其中甲不被选中的可能结果有：乙丙丁、乙丙戊、乙丁戊、丙丁戊，所以概率为．应选：B5．?九章算术〕在中国数学史中占有重要地位，其中在卷五?商功篇?中介绍了“羡除〞〔此处是指三面为等腰梯形，其余两侧面为直角三角形的五面体〕体积的求法．在如下列图所示的形似羡除的几何体中，其两侧面为全等的三角形，平面是铅垂面，下宽，上宽，深，平面BDEC是水平面，末端宽，无深，长〔直线CE到BD的距离〕，那么下列图中几何体的体积为〔〕A． B． C． D．【答案】C【分析】连接CD，，由求解.【详解】如下图：连接CD，，那么五面体的体积，由锥体体积公式可得：，，所以五面体体积为．应选：C6．为数列的前项和，且满足，那么〔〕A．27 B．28 C．29 D．30【答案】B【分析】首先根据前n项和，求出，然后即可求出结果.【详解】因为，当时，，当时，经检验，当时不符合，所以.应选：B.7．．那么〔〕A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】利用辅助角公式，化简得到，结合余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由得，故，故．应选：B.8．在平行四边形ABCD中，E，F分别满足，，那么〔〕A． B． C． D．【答案】A【分析】由条件可得，，，设，然后将上面的式子代入化简，可求出的值，从而可得答案【详解】解：因为在平行四边形ABCD中，E，F分别满足，，所以，，．设，那么，计算得：，．所以，应选：A9．，那么〔〕A． B．C． D．【答案】C【分析】由于，所以，再利用指数函数和幂函数的性质比拟大小即可【详解】因为，∴，，且，因为在上为减函数，所以，因为在为增函数，所以，所以，应选：C10．抛物线C：，焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，交其准线于点M，且，那么〔〕A．4 B．5 C．6 D．8【答案】A【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立写出韦达定理，再结合得出直线的斜率，从而求出的值.【详解】设过点F的直线为：，，，由得，由，得，所以，,与联立可得：，所以直线的斜率为，即直线的倾斜角为，所以在中，，所以．应选：.11．数列是等比数列，且公比，那么实数m的取值范围为〔〕A． B． C． D．【答案】D【分析】化简式子，结合等比数列的性质可得，然后别离参数，根据简单计算即可.【详解】将展开得：，由等比数列性质可得：，所以．因为，计算可得：．应选：D12．函数与函数的图象在的交点个数为〔〕A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】在同一坐标系中作出与的图象，利用数形结合法求解.【详解】与均关于直线轴对称，且均过，在同一坐标系中作出函数的图象，如下图：由两函数图象可知，总共有9个交点．应选：D二、填空题13．函数在处的切线方程为________．【答案】【分析】利用导数的几何意义可求得所求切线的方程.【详解】，那么，那么，，因此，函数在处的切线方程为.故答案为：.14．实数x，y满足那么的最大值为________．【答案】12【分析】画出可行域，然后数形结合即可求解.【详解】由约束条件得如下图可行域，当经过点时，z取得最大值12．故答案为：12.15．双曲线C：，圆M：与C的一条渐近线相切于点P〔P位于第二象限〕．假设PM所在直线与双曲线的另一条渐近线交于点S，与x轴交于点T，那么ST长度为________．【答案】【分析】根据渐近线与圆相切得，由于直线PM与直线OP垂直，写出直线PM方程与直线OS方程联立方程组即可求解点及，结合两点距离公式即可求解ST长度．【详解】双曲线渐近线方程为：，圆心．根据渐近线与圆相切，那么得：，因为直线PM与直线OP垂直，所以直线PM方程为：，又因为直线OS方程为：，联立相关直线可得出点，，由两点间距离公式可得：．故答案为：16．球O半径为4，球面上存在三点A，B，C构成以BC为斜边的直角三角形，且，P为球面上区别于A，B，C的另一点，当三棱锥P-ABC体积最大时，其外表积为_________．【答案】【分析】根据球的几何性质可算得到平面的距离为2，当三棱锥体积最大时，到平面的距离最大，且最大，此时为等腰直角三角形，到平面的距离为6，在平面上的投影为中点，根据此时三棱锥的相关数据得其外表积．【详解】解：球半径为4，球面上存在三点，，构成以为斜边的直角三角形，且，根据球的几何性质可算得：到平面的距离为，当三棱锥体积最大时，到平面的距离最大，且最大，此时为等腰直角三角形，到平面的距离为，在平面上的投影为中点，此时三棱锥中，，，三棱锥外表积为：．故答案为：．三、解答题17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且．〔1〕求A的大小；〔2〕假设，，求的面积．【答案】〔1〕；〔2〕.【分析】(1)根据条件，结合正弦定理即可得到A的大小；(2)根据条件，结合余弦定理分别求出、的值，再有面积公式即可求解.【详解】(1)∵由正弦定理得：，∴，又∵，得.(2)∵，∴，由余弦定理可得：，化简得：，∴，，故的面积为：.18．如下图，在直四棱柱中，底面ABCD为直角梯形，∥，．连接，AC，，，，E为线段上的一点，且满足E为线段上的一点，且满足．〔1〕证明：∥平面EAC；〔2〕假设该四棱柱高为，，M为的中点，求三棱锥的体积．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕.【分析】〔1〕利用平行线分线段成比例的逆定理可得，即可证明；〔2〕根据M为的中点，转化为即可求解.【详解】〔1〕连接BD，设，连接EO，∵底面ABCD为直角梯形，故，∴，又∵，∴，，在中，∵，∴，又∵平面EAC，平面EAC，∴平面EAC．〔2〕∵M为的中点，∴M到面EAC的距离为到面EAC的距离的一半，∴，∴∴．19．椭圆C：，，分别为C的左、右焦点，离心率，P为椭圆上任意一点，且的最小值为1．〔1〕求椭圆C的标准方程：〔2〕过的直线交椭圆C于A，B两点，其中A点关于x轴的对称点为〔异于点B〕，假设，证明：，，M三点共线．【答案】〔1〕；〔2〕证明见解析.【分析】〔1〕根据，且的最小值为1，由求解；〔2〕设直线为，与椭圆C联立，根据AB所在直线经过点，由结合韦达定理求解.【详解】〔1〕根据题意知，，解得，，所以，故椭圆C的标准方程为．〔2〕由〔1〕知，，直线的斜率不可能为0，因此设直线为，与椭圆C联立，得，设，，那么根据韦达定理有，①而AB所在直线经过点，因此，等价于，将①式代入，得，化简得，因此直线恒过定点，即，，M三点共线．20．近些年美国政府对中国的打压对中国来说既是挑战也是机遇，但中国的复兴需要新一代青年牢牢树立国家意识，将自己理想与国家开展需要相结合，努力奋斗，投身于国家需要的行业中去．为了解高中生是否对“将自己的理想与国家的开展需要相结合〞这一问题产生过思考，随机抽取了120名高中学生展开调查〔其中文科学生60名，理科学生60名〕，统计数据如下表所示：“思考过〞“没思考过〞总计文科学生5010理科学生40总计120〔1〕补充上述列联表，并根据列联表判断能否在犯错率不超过5%的前提下认为是否思考过“将自己的理想与国家的开展需要相结合〞这一问题与文理科学生有关？〔2〕从上表的120名学生中，用分层抽样抽取容量为8的样本，问其中“思考过〞的学生有多少人？〔3〕在〔2〕问前提下，从“思考过〞的学生〔理科学生有2人〕中随机选2人，问2名同学文理科不同的概率为多少？参考公式：，其中．参考数据：【答案】〔1〕表格见解析，能；〔2〕6人；〔3〕.【分析】〔1〕根据文科学生60名，理科学生60名和表中原有的数据求解，然后求得,与临界值表对照下结论；〔2〕得到思考过的学生与没思考过的学生数量的比求解；〔3〕这是一个古典概型，现列举从中随机选2人的根本领件的总数，再找出文理科不同的根本领件数，代入公式求解.【详解】〔1〕列联表如下:“思考过〞“没思考过〞总计文科学生501060理科学生402060总计9030120．∴可以在犯错率不超过5%的前提下认为思考过将自身理想与国家开展需要相结合与文理科学生有关．〔2〕思考过的学生与没思考过的学生数量之比为90：30，化简为3：1，因此思考过的学生有人．〔3〕记其中理科学生为1号，2号，文科学生为3号，4号，5号，6号那么从中随机选2人，所有的根本领件有12、13、14、15、16、23、24、25、26、34、35、36、45、46、56，共15种，其中文理科不同的有8种，所以2名同学文理科不同的概率为．21．函数．〔1〕讨论函数的单调区间；〔2〕假设在上存在两个不同的零点、，求a的取值范围．【答案】〔1〕答案见解析；〔2〕.【分析】〔1〕定义域为，求导，分和讨论求解；〔2〕由〔1〕知，不合题意，当时，易知在处取到最小值，再根据在上存在两个不同的零点、，那么需，然后利用零点存在定理求解.【详解】〔1〕函数定义域为，，当时，时，，单调递增；，时，，单调递减；当时，，时，，单调递减；时，，单调递增．〔2〕由〔1〕知，不合题意，故在情况下考虑，当时，时，，单调递减；时，，单调递增，故在处取到最小值，故需，那么．当时，，因此在上存在一个零点，，而，因此在上存在一个零点，综上，得．【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为〔为参数〕，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．〔1〕求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；〔2〕为曲线上的动点，，问在什么位置时，最短？并求出最短距离．【答案】〔1〕，；〔2〕点的坐标为或，最小值为．【分析】〔1〕将曲线的参数方程中消去参数，可得出曲线的普通方程，将曲线的极坐标方程化为，利用极坐标方程与普通方程之间的转换关系可得出曲线的普通方程；〔2〕可设点，利用两点间的距离公式结合二次函数的根本性质可求得的最小值，求出的值，即可得出点的坐标.【详解】〔1〕在曲线的参数方程中消去参数，可得曲线的普通方程为，曲线的