第24章圆(基础、常考、易错、压轴)分类专项训练(原卷版+解析)

第24章圆（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·浙江台州·九年级期末）用直角尺检查某圆弧形工件，根据下列检查的结果，能判断该工件一定是半圆的是(

).A． B． C． D．2．（2022·山东·陵城区教学研究室一模）如图，以正方形ABCD的边AD为直径作一个半圆，点M是半圆上一个动点，分别以线段AM、DM为边各自向外作一个正方形，其面积分别为S1和S2，若正方形的面积为10，随点M的运动S1＋S2的值（

）A．大于10 B．小于10 C．等于10 D．不确定3．（2022·江苏·九年级专题练习）轮船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定轮船是否会遇到暗礁．如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的内C表示一个危险临界点，，轮船P与两个灯塔的夹角为，保证轮船航行不触礁的可以是（

）A． B． C． D．4．（2022·山西晋中·二模）在数学探究课上，小明在探究圆周角和圆心角之间的数量关系时，按照圆周角与圆心的不同位置关系作出了如下图所示三个图进行探究小明的上述探究．过程体现的数学思想是（

）A．公理化思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．建模思想5．（2022·江苏苏州·九年级阶段练习）下列说法正确的是（

）A．直径是圆中最长的弦，有4条B．长度相等的弧是等弧C．如果的周长是周长的4倍，那么的面积是面积的8倍D．已知的半径为8，A为平面内的一点，且，那么点A在上6．（2022·四川宜宾·八年级期末）用反证法证明“在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，∠C＞∠B＞∠A且∠C≠90°，那么a2＋b2≠c2．”应先假设（）A．a2＋b2＝c2 B．a2＋b2＞c2 C．a2＋b2＜c2 D．a2＋b2＞c2或a2＋b2＜c27．（2022·浙江·翠苑中学八年级期中）用反证法证明：“多边形的内角中锐角的个数最多有3个”时，应假设（

）A．多边形的内角中锐角的个数最少有4个 B．多边形的内角中锐角的个数最少有3个C．多边形的内角中锐角的个数最少有2个 D．多边形的内角中锐角的个数最多有2个8．（2022·山西晋中·八年级期中）在证明“三角形中必有一个内角小于或等于”时先假设每一个内角都大于，然后，…，这种证明方法是（

）A．综合法 B．举反例法 C．数学归纳法 D．反证法9．（2022·贵州贵阳·八年级期末）对于命题“若，则”，小江举了一个反例来说明它是假命题，则小江选择的x值是（

）A． B． C． D．10．（2022·江苏·九年级专题练习）下列命题正确的是（

）A．两点之间，直线最短B．正六边形的外角和大于正五边形的外角和C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆D．一个图形和它经过平移所得到的图形中，对应线段平行且相等11．（2022·山西晋中·二模）公元263年，我国数学家利用“割圆术”计算圆周率．割圆术的基本思想是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．随后，公元480年左右，我国另一位数学家又进一步得到圆周率精确到小数点后7位，由此可知，这两位数学家依次为（

）A．刘徽，祖冲之 B．祖冲之，刘徽 C．杨辉，祖冲之 D．秦九韶，杨辉12．（2022·江苏·九年级专题练习）我国魏晋时期的数学家刘徽发现在圆的内接正多边形边数加倍的过程中，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即当圆的内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，他首创了利用圆的内接正多边形确定圆周率．这种确定圆周率的方法称为（

）A．正负术 B．方程术 C．割圆术 D．天元术13．（2022·山东菏泽·七年级期末）下列说法，其中正确的有（

）①过圆心的线段是直径②圆上的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形③大于半圆的弧叫做劣弧④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题14．（2022·黑龙江哈尔滨·期末）运动场上的环形跑道的跑道宽都是相同的，若一条跑道的两个边缘所在的环形周长的差等于米，则跑道的宽度为________米．15．（2022·全国·九年级专题练习）小于半圆的弧（如图中的________）叫做______；大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的_______）叫做______．16．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在中，半径有________，直径有________，弦有________，劣弧有________，优弧有________．17．（2022·江苏·九年级专题练习）为了给同学庆祝生日，小明自己动手用扇形纸片制作了一顶圆锥形生日帽，生日帽的底面圆半径为，高为，则该扇形纸片的面积为________．18．（2022·江苏·九年级专题练习）第十四届全运会在陕西西安开幕，九年级（2）班李明同学利用扇形彩色纸，制作了一个圆锥形火炬模型，如图是火炬模型的侧面展开图（接痕忽略不计），已知扇形彩色纸的半径为45cm，圆心角为40°，则这个圆锥的侧面积_______．（结果保留）19．（2022·山东·临沂市河东区教育科学研究与发展中心二模）2300多年前，我国古代名著《墨经》中有这样的记载：“圆，一中同长也．”因此，古代就知道把车轮设计成圆形，如果车轮是正方形，将边长为1米的正方形滚动一周，那么正方形中心的轨迹长为_________米．20．（2022·河南省实验中学一模）如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间.掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看成一张拉满弦的弓，弧长约为米，“弓”所在的圆的半径约米，则“弓”所对的圆心角度数为______．21．（2022·北京西城·九年级期末）如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料mm，则此圆弧所在圆的半径为________mm．三、解答题22．（2022·黑龙江大庆·期末）如图，三角形是直角三角形，其中O为圆心．已知三角形面积是，求圆形面积．23．（2022·全国·八年级课前预习）观察下图，左图中间的圆圈大还是右图中间的圆圈大？请你先观察，再用直尺验证一下．24．（2022·全国·九年级专题练习）观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？【常考】一．选择题（共9小题）1．（2022•吉林）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（）A．2 B．3 C．4 D．52．（2022•鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（）A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm3．（2022•十堰）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是弧AC上一动点（不与A，C重合），下列结论：①∠ADB＝∠BDC；②DA＝DC；③当DB最长时，DB＝2DC；④DA+DC＝DB，其中一定正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2022•蓝田县一模）如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，弦CD＝2，则劣弧的长为（）A． B． C．π D．2π5．（2022•碑林区校级二模）如图，等边△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径，若OA＝3，则劣弧的长是（）A． B．π C． D．2π6．（2022•海勃湾区校级一模）如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（）A．π B．2π C． D．2π﹣27．（2022•遵义模拟）如图，在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AB＝3，以AB边上一点O为圆心作⊙O，恰与边AC，BC分别相切于点A，D，则阴影部分的面积为（）A． B． C． D．8．（2022•高青县一模）如图，在圆中半径OC∥弦AB，且弦AB＝CO＝2，则图中阴影部分面积为（）A．π B．π C．π D．π9．（2022•新洲区模拟）如图，点O为△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，则△OBC的面积是（）A． B． C．2 D．4二．填空题（共9小题）10．（2022•包头模拟）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形外接圆的半径为．11．（2022•长安区模拟）小刚要在边长为10的正方形内设计一个有共同中心O的正多边形，使其边长最大且能在正方形内自由旋转．如图1，若这个正多边形为正六边形，此时EF＝；若这个正多边形为正三角形，如图2，当正△EFG可以绕着点O在正方形内自由旋转时，EF的取值范围为．12．（2022•鹿邑县模拟）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为．13．（2022•武威模拟）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'．则图中阴影部分的面积为．14．（2022•随县一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⨀O经过点D．若∠C＝30°，且CD＝3，则阴影部分的面积是．15．（2022•灞桥区校级模拟）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC，若正六边形的边长为2，则点O到AC的距离OG的长为．16．（2022•方城县一模）如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝2，过的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为．17．（2022•大渡口区模拟）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D．点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为．18．（2022•成都模拟）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是．三．解答题（共11小题）19．（2022•汝阳县一模）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．（1）若∠ADE＝25°，求∠C的度数；（2）若AB＝AC，CE＝2，直接写出AC的长．20．（2022•绵竹市模拟）把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．（1）当DE⊥AC时，AD与BC的位置关系是，AE与BC的位置关系是．（2）如图2，当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数；（3）若△ABD的外心在边BD上，直接写出旋转角α的值．21．（2022•包河区一模）如图，AB为⊙O的直径，直线BM⊥AB于点B，点C在⊙O上，分别连接BC，AC，且AC的延长线交BM于点D，CF为⊙O的切线交BM于点F．（1）求证：CF＝DF；（2）连接OF，若AB＝10，BC＝6，求线段OF的长．22．（2022•十堰一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH＝3，CH＝4，求EM的值．23．（2022•扬州模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C是的中点，过点C作AD的垂线EF交直线AD于点E．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接BC，若AB＝5，BC＝3，求线段AE的长．24．（2022•红桥区三模）已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．（I）如图①，若∠AOP＝65°，求∠C的大小；（II）如图②，连接BD，若BD∥AC，求∠C的大小．25．（2022•莘县二模）如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．26．（2022•南陵县自主招生）如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB＝CM•MD；（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．27．（2022•乌鲁木齐一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD＝45°．（1）若AB＝4，求弧CD的长；（2）若弧BC＝弧AD，AD＝AP，求证：PD是⊙O的切线．28．（2022•齐齐哈尔模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．29．（2022•东洲区模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点B作BE⊥AD，垂足为点E，AB平分∠CAE．（1）判断BE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ACB＝30°，⊙O的半径为2，请求出图中阴影部分的面积．【易错】一．选择题（共7小题）1．（2022•渝中区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝2，⊙O的直径为10，则AC长为（）A．5 B．6 C．7 D．82．（2022•临沭县二模）如图，在平面直角坐标系中，以M（2，3）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则AC的长为（）A．4 B． C． D．63．（2022•沙坪坝区校级三模）如图，AB是⊙O的弦，PO⊥OA交AB于点P，过点B的切线交OP的延长线于点C，若⊙O的半径为，OP＝1，则BC的长为（）A．2 B． C． D．4．（2022•海曙区校级开学）如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝28°，则∠BIC等于（）A．100° B．104° C．105° D．114°5．（2022•哈尔滨模拟）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝BC，直线MN是⊙O的切线，点C是切点，OB是半径，若∠ACN＝36°，则∠OBA的度数为（）A．14° B．18° C．36° D．54°6．（2022•硚口区模拟）如图，⊙I是Rt△ABC中的内切圆，∠ACB＝90°，过点I作EF∥AB分别交CA，CB于E，F，若EA＝4，BF＝3，则⊙I的半径是（）A． B． C． D．7．（2022•新河县一模）如图，点O为△ABC的内心，∠B＝60°，BC≠AB，点M，N分别为AB，BC上的点，且OM＝ON．甲、乙、丙三人有如下判断：甲：∠MON＝120°；乙：四边形OMBN的面积为△ABC面积的；丙：当MN＝BN时，△MON的周长有最小值．则下列说法正确的是（）A．只有甲正确 B．只有乙错误 C．乙、丙都正确 D．甲、乙、丙都正确二．填空题（共11小题）8．（2022•固原一模）如图，点A、B、C在圆O上，BC∥OA，连接BO并延长，交圆O于点D，连接AC，DC，若∠A＝28°，则∠D的大小为．9．（2022•禅城区校级一模）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．例：如图1，四边形内接于⊙O，AB＝AD．则四边形ABCD是等补四边形．探究与运用：如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，若CD＝10，AF＝5，则DF的长为．10．（2022秋•定海区校级月考）已知A为⊙O外一点，若点A到⊙O上的点的最短距离为2，最长距离为4，则⊙O的半径为．11．（2022•天元区校级模拟）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB，交⊙O于点D，若AB＝6，则BD的长为．12．（2022•西双版纳模拟）在△ABC中，AB＝6，AC＝8，高AD＝4.8，设能完全覆盖△ABC的圆的半径为r，则r的最小值为．13．（2022•北碚区校级开学）如图，△ABC和△ADE均是等边三角形，其中点E是△ABC的内心，以E为圆心，DE长为半径画弧交BC于点B，再将弧DB绕点A逆时针旋转60°至弧EC处，已知AB＝1，则图中阴影部分面积是．14．（2022春•普陀区校级期中）已知两圆的半径长分别为1和3，两圆的圆心距为d，如果两圆没有公共点，那么d的取值范围是．15．（2022•北京模拟）已知三角形ABC是锐角三角形，其中∠A＝30°，BC＝4，设BC边上的高为h，则h的取值范围是．16．（2022•息县模拟）如图，⊙O分别与边长为4的等边△ABC的两边相切于点D和点E，圆心O恰好在边BC上，则阴影部分的面积为．17．（2022•江油市二模）如图，函数y＝的图象，若直线y＝x+m与该图象只有一个交点，则m的取值范围为．18．（2021秋•宜春期末）如图，半圆O的直径DE＝12cm，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm．半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，当圆心O运动到点B时停止，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为t（s），运动开始时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm．当t＝时，Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．三．解答题（共6小题）19．（2022•武汉）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．20．（2022•武汉模拟）如图，BC为⊙O的直径，A为⊙O上一点，过A点作该圆的切线交BC的延长线于点E，连接AC．（1）求证：∠CAE＝∠B；（2）若∠E＝30°，⊙O的半径r＝2，求阴影部分的面积．21．（2022•襄城区模拟）如图，BE为⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD⊥BC于点F，DE＝4，OF＝2，求图中阴影部分的面积．22．（2022•内黄县二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作⊙O的切线DM交BC于点M．（1）求证：CM＝BM．（2）若AD＝2，P为AB上一点，当PM+PD为最小值时，求AP的长．23．（2022•襄城区模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（与点A，B不重合），过点C作直线MN，使得∠ACN＝∠ABC．（1）求证：直线MN是⊙O的切线．（2）点D为直线MN上一点，连接AD，交⊙O于点E，若AC平分∠BAD，DE＝3，AC＝2CD，求图中阴影部分（弓形）的面积．24．（2022•衡阳）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE．（1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．【压轴】一．填空题（共1小题）1．（2022•顺城区模拟）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝4，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①∠F＝30°；②CE＝CF；③线段EF的最小值为2；④当AD＝1时，EF与半圆相切；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是8．其中正确的结论的序号为．二．解答题（共16小题）2．（2022•长沙模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A＝2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠A＝60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）3．（2022•开福区三模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，过点D垂直于AC的直线交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如图AD＝5，AE＝4，求⊙O的直径．4．（2022•海曙区校级开学）如图，⊙O的直径AC＝13，弦BC＝12．过点A作直线MN，使∠BAM＝∠AOB．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）延长CB交MN于点D，求AD的长．5．（2021•铁岭模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD＝2，AE＝3，tan∠BOD＝．（1）求⊙O的半径OD；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和．6．（2021•东区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，DE＝3，连接BD，过点E作EM∥BD，交BA的延长线于点M．（1）求⊙O的半径；（2）求证：EM是⊙O的切线；（3）若弦DF与直径AB相交于点P，当∠APD＝45°时，求图中阴影部分的面积．7．（2021•庐阳区校级一模）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠ACD＝120°，BD＝10．（1）求证：CA＝CD；（2）求⊙O的半径．8．（2021•零陵区校级自主招生）如图，已知AB为圆O的弦（非直径），E为AB的中点，EO的延长线交圆于点C，CD∥AB，且交AO的延长线于点D．EO：OC＝1：2，CD＝4，求圆O的半径．9．（2021•深圳模拟）如图，P是⊙O的半径OA上的一点，D在⊙O上，且PD＝PO．过点D作⊙O的切线交OA的延长线于点C，延长交⊙O于K，连接KO，OD．（1）证明：PC＝PD；（2）若该圆半径为5，CD∥KO，请求出OC的长．10．（2022春•鼓楼区校级期中）已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．11．（2022•温江区校级自主招生）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝6，AE＝，求BD和BC的长．12．（2021•衡水模拟）如图，点C为△ABD的外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B，D重合），∠ACB＝∠ABD＝45°（1）求证：BD是该外接圆的直径；（2）连接CD，求证：AC＝BC+CD；（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．13．（2021春•碧江区期中）已知：如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC垂直AD于F交⊙O于E，连接DE、BE，且∠C＝∠BED．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OA＝10，AD＝16，求AC的长．14．（2021•湖北模拟）如图，⊙O的直径AB＝2，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于E，交AM于D，交BN于C．设AD＝x，BC＝y．（1）求证：AM∥BN；（2）求y关于x的关系式；（3）求四边形ABCD的面积S，并证明：S≥2．15．（2021•安徽模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC＝BC，D为⊙O中上一点，延长DA至点E，使CE＝CD．（1）求证：AE＝BD；（2）若AC⊥BC，求证：AD+BD＝CD．16．（2021•红寺堡区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于点E，∠POC＝∠PCE．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若OE：EA＝1：2，PA＝6，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求sin∠PCA的值．17．（2021•深圳模拟）已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，E为BC边上的中点，连接DE．（1）如图，求证：DE是⊙O的切线；（2）连接OE，AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形，并在此条件下求sin∠CAE的值．第24章圆（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·浙江台州·九年级期末）用直角尺检查某圆弧形工件，根据下列检查的结果，能判断该工件一定是半圆的是(

).A． B． C． D．【答案】B【分析】根据90°所对的圆周角所对的弦是直径进行判断．【详解】解：因为90°所对的圆周角所对的弦是直径，所以选项B中的圆弧为半圆，故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°所对的圆周角所对的弦是直径，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．2．（2022·山东·陵城区教学研究室一模）如图，以正方形ABCD的边AD为直径作一个半圆，点M是半圆上一个动点，分别以线段AM、DM为边各自向外作一个正方形，其面积分别为S1和S2，若正方形的面积为10，随点M的运动S1＋S2的值（

）A．大于10 B．小于10 C．等于10 D．不确定【答案】C【分析】根据题意，可得为直角三角形，由勾股定理可知，即．【详解】解：∵AD是直径，∴，∴为直角三角形，由勾股定理可知，即．故选：C．【点睛】本题主要考查了圆周角定理和勾股定理的应用，解题的关键是理解随着点M的运动，符合勾股定理．3．（2022·江苏·九年级专题练习）轮船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定轮船是否会遇到暗礁．如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的内C表示一个危险临界点，，轮船P与两个灯塔的夹角为，保证轮船航行不触礁的可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，要使不触礁则，即可判断；【详解】解：根据圆的性质∵∴∴故选：A【点睛】本题主要考查圆的性质，掌握圆的性质并灵活应用是解题的关键．4．（2022·山西晋中·二模）在数学探究课上，小明在探究圆周角和圆心角之间的数量关系时，按照圆周角与圆心的不同位置关系作出了如下图所示三个图进行探究小明的上述探究．过程体现的数学思想是（

）A．公理化思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．建模思想【答案】B【分析】根据分类讨论思想的含义进行判断即可．【详解】解：在探究圆周角与圆心角的数量关系时，因不确定圆周角与圆心角的位置关系是否会影响结论，故对每种位置关系分别进行研究，这种数学思想是分类讨论思想．故选：B．【点睛】本题考查对数学思想的理解，分类讨论思想是指将原问题转化为若干个小问题来解决，通过研究其在不同情况下的结论，得出原问题的结论．5．（2022·江苏苏州·九年级阶段练习）下列说法正确的是（

）A．直径是圆中最长的弦，有4条B．长度相等的弧是等弧C．如果的周长是周长的4倍，那么的面积是面积的8倍D．已知的半径为8，A为平面内的一点，且，那么点A在上【答案】D【分析】根据圆的相关概念解答即可.【详解】解：A.直径是圆中最长的弦，有无数条,故该选项不符合题意；B.在同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，故该选项不符合题意；C.如果的周长是周长的4倍,那么的面积是面积的16倍,故该选项不符合题意；D.已知的半径为8，A为平面内的一点，且OA=8，那么点A在上，故该选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了圆的认识，熟练掌握圆的相关概念是解答本题的关键.6．（2022·四川宜宾·八年级期末）用反证法证明“在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，∠C＞∠B＞∠A且∠C≠90°，那么a2＋b2≠c2．”应先假设（）A．a2＋b2＝c2 B．a2＋b2＞c2 C．a2＋b2＜c2 D．a2＋b2＞c2或a2＋b2＜c2【答案】A【分析】根据反证法的第一步是假设结论的反面成立，即可求解．【详解】解：根据题意得：应先假设a2＋b2=c2．故选：A．【点睛】本题主要考查了反证法，熟练掌握反证法的第一步是假设结论的反面成立是解题的关键．7．（2022·浙江·翠苑中学八年级期中）用反证法证明：“多边形的内角中锐角的个数最多有3个”时，应假设（

）A．多边形的内角中锐角的个数最少有4个 B．多边形的内角中锐角的个数最少有3个C．多边形的内角中锐角的个数最少有2个 D．多边形的内角中锐角的个数最多有2个【答案】A【分析】用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与条件相反的假设即可【详解】解：用反证法证明“多边形的内角中锐角的个数最多有3个”时，应假设多边形的内角中锐角的个数最少有4个，故选：A．【点睛】本题考查的是反证法的应用，解题的关键是要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．8．（2022·山西晋中·八年级期中）在证明“三角形中必有一个内角小于或等于”时先假设每一个内角都大于，然后，…，这种证明方法是（

）A．综合法 B．举反例法 C．数学归纳法 D．反证法【答案】D【分析】根据反证法的定义进行回答即可．【详解】解：在证明“三角形中必有一个内角小于或等于”时先假设每一个内角都大于，然后，…，这种证明方法是反证法．故选：D．【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．9．（2022·贵州贵阳·八年级期末）对于命题“若，则”，小江举了一个反例来说明它是假命题，则小江选择的x值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】当x＝−5时，满足x2＝25，但不能得到x＝5，于是x＝−5可作为说明命题“若x2＝25，则x＝5”是假命题的一个反例．【详解】解：说明命题“若x2＝25，则x＝5”是假命题的一个反例可以是x＝−5，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．10．（2022·江苏·九年级专题练习）下列命题正确的是（

）A．两点之间，直线最短B．正六边形的外角和大于正五边形的外角和C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆D．一个图形和它经过平移所得到的图形中，对应线段平行且相等【答案】C【分析】利用线段的性质，多边形的外角和定理，确定一个圆的条件，平移的性质等知识进行判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A．两点之间，线段最短，故选项错误，不符合题意；B．多边形的外角和是360°，故选项错误，不符合题意；C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故选项正确，符合题意；D．一个图形和它经过平移所得到的图形中，对应线段平行或者在同一条直线上，并且相等，故选项错误，不符合题意．故选：C．【点睛】命题是表示判断的语句，判断正确的命题是真命题，判断错误的命题是假命题，熟练掌握所学知识是进行正确判断的基础．11．（2022·山西晋中·二模）公元263年，我国数学家利用“割圆术”计算圆周率．割圆术的基本思想是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．随后，公元480年左右，我国另一位数学家又进一步得到圆周率精确到小数点后7位，由此可知，这两位数学家依次为（

）A．刘徽，祖冲之 B．祖冲之，刘徽 C．杨辉，祖冲之 D．秦九韶，杨辉【答案】A【分析】掌握割圆术和圆周率的发明过程是解题的关键．【详解】解：3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法．圆周率不是某一个人发明的，而是在历史的进程中，不同的数学家经过无数次的演算得出的．古希腊大数学家阿基米德(公元前287-212年)开创了人类历史上通过理论计算圆周率近似值的先河．公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值31415927，还得到两个近似分数值．故选：A．【点睛】本题考查了割圆术和圆周率的发明过程和发明人，熟练掌握割圆术和圆周率的发明过程是解题的关键．12．（2022·江苏·九年级专题练习）我国魏晋时期的数学家刘徽发现在圆的内接正多边形边数加倍的过程中，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即当圆的内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，他首创了利用圆的内接正多边形确定圆周率．这种确定圆周率的方法称为（

）A．正负术 B．方程术 C．割圆术 D．天元术【答案】C【分析】根据我国利用“割圆术”求圆周率的近似值解答即可．【详解】解：由题意可知：利用圆的内接正多边形确定圆周率．这种确定圆周率的方法称为“割圆术”．故选：C．【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是了解我国古代用“割圆术”求圆周率的近似值，即在一个圆中，它的内接正多边形的边数越多，正多边形就越像圆，它的周长和面积就更接近圆的周长和面积．13．（2022·山东菏泽·七年级期末）下列说法，其中正确的有（

）①过圆心的线段是直径②圆上的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形③大于半圆的弧叫做劣弧④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据圆的有关概念进项分析即可．【详解】解：①过圆心的弦是直径，故该项错误；②由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条半径组成的图形叫做扇形，故该项正确；③小于半圆的弧叫做劣弧，故该项错误；④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆，故该项正确．故选：B．【点睛】本题考查了圆的认识，熟练掌握圆的相关概念是解题的关键．二、填空题14．（2022·黑龙江哈尔滨·期末）运动场上的环形跑道的跑道宽都是相同的，若一条跑道的两个边缘所在的环形周长的差等于米，则跑道的宽度为________米．【答案】【分析】设运动场上的小环半径为r米，大环半径为R米，再根据圆的周长公式计算即可．【详解】解：设运动场上的小环半径为r米，大环半径半径为R米，根据题意得：2π（R﹣r）＝，解得：R﹣r＝，即跑道的宽度为米．故答案为：．【点睛】本题考查了圆的周长公式，熟练掌握圆周长的计算公式是解题的关键．15．（2022·全国·九年级专题练习）小于半圆的弧（如图中的________）叫做______；大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的_______）叫做______．【答案】

（或）

劣弧

（或）

优弧【分析】根据劣弧和优弧的定义即可直接填空．【详解】小于半圆的弧（如图中的（或））叫做劣弧；大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的（或））叫做优弧．故答案为：（或），劣弧；（或），优弧．【点睛】本题考查找出圆中的优弧和劣弧及优弧和劣弧的定义．掌握优弧和劣弧的定义是解答本题的关键．16．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在中，半径有________，直径有________，弦有________，劣弧有________，优弧有________．【答案】

，，，

，

，，，，

，，，，【分析】根据圆的基本概念，即可求解．【详解】解：在中，半径有，，，；直径有；弦有，；劣弧有，，，，；优弧有，，，，；故答案为：，，，；；，；，，，，；，，，，．【点睛】本题主要考查了圆的基本概念，熟练掌握圆的半径、直径、弦、弧的概念是解题的关键．17．（2022·江苏·九年级专题练习）为了给同学庆祝生日，小明自己动手用扇形纸片制作了一顶圆锥形生日帽，生日帽的底面圆半径为，高为，则该扇形纸片的面积为________．【答案】【分析】先根据勾股定理求出圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面展开图是扇形，利用圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，列式计算即可．【详解】解：生日帽的底面圆半径为，高为，∴圆锥的母线长为，∵底面圆半径为，∴底面周长为，∴该扇形纸片的面积为：．故答案为：．【点睛】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．18．（2022·江苏·九年级专题练习）第十四届全运会在陕西西安开幕，九年级（2）班李明同学利用扇形彩色纸，制作了一个圆锥形火炬模型，如图是火炬模型的侧面展开图（接痕忽略不计），已知扇形彩色纸的半径为45cm，圆心角为40°，则这个圆锥的侧面积_______．（结果保留）【答案】225π【分析】先根据扇形的面积公式计算出扇形的面积=225π，然后得到圆锥的侧面积．【详解】解：∵扇形的面积=()．∴圆锥的侧面积为225π，故答案为：225π．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．19．（2022·山东·临沂市河东区教育科学研究与发展中心二模）2300多年前，我国古代名著《墨经》中有这样的记载：“圆，一中同长也．”因此，古代就知道把车轮设计成圆形，如果车轮是正方形，将边长为1米的正方形滚动一周，那么正方形中心的轨迹长为_________米．【答案】【分析】由图可知，正方形旋转一周需经历4个相同的过程，中心旋转的过程正好为一个圆的周长，求得即可．【详解】如图，正方形旋转一周需经历4个相同的过程，中心的轨迹为圆心角90°的扇形，4个过程正好围成一个圆，∵正方形边长为1，即AB=1，∴,∴正方形中心的轨迹为：,故答案为：．【点睛】本题考查了扇形的弧长的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是正确找出中心的运动轨迹．20．（2022·河南省实验中学一模）如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间.掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看成一张拉满弦的弓，弧长约为米，“弓”所在的圆的半径约米，则“弓”所对的圆心角度数为______．【答案】##度【分析】由直接代入数据进行计算即可.【详解】解：如图，由题意得：设解得：故答案为：【点睛】本题考查的是已知弧长与半径求解弧所对的圆心角，熟记弧长公式是解本题的关键.21．（2022·北京西城·九年级期末）如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料mm，则此圆弧所在圆的半径为________mm．【答案】900【分析】由弧长公式l=得到R的方程，解方程即可．【详解】解：根据题意得，=，解得，R=900（mm）．答：这段圆弧所在圆的半径R是900mm．故答案是：900．【点睛】本题考查了弧长的计算公式：l=，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．三、解答题22．（2022·黑龙江大庆·期末）如图，三角形是直角三角形，其中O为圆心．已知三角形面积是，求圆形面积．【答案】【分析】由图形可知△AOB是等腰直角三角形，根据三角形面积为10，可求半径，由此可求圆的面积．【详解】解：∵OA=OB∴△AOB是等腰直角三角形∵=10∴∴圆的面积为答：圆的面积是【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，圆的面积公式等内容，题目比较简单，由图形得出△AOB是等腰直角三角形是解题关键．23．（2022·全国·八年级课前预习）观察下图，左图中间的圆圈大还是右图中间的圆圈大？请你先观察，再用直尺验证一下．【答案】一样大【解析】略24．（2022·全国·九年级专题练习）观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？【答案】特征见解析，(c)图中∠3、∠4、∠BAD是圆周角【详解】解：(a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角；(b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；(c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角．(d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；(e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.【点睛】本题主要考查了圆周角的定义，熟练掌握顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角是解题的关键．【常考】一．选择题（共9小题）1．（2022•吉林）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】由勾股定理求出AC的长度，再由点C在⊙A内且点B在⊙A外求解．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝3，∵点C在⊙A内且点B在⊙A外，∴3＜r＜5，故选：C．【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题关键是掌握勾股定理．2．（2022•鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（）A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm【分析】连接OE，交AB于点F，连接OA，∵AC⊥CD、BD⊥CD，由矩形的判断方法得出四边形ACDB是矩形，得出AB∥CD，AB＝CD＝16cm，由切线的性质得出OE⊥CD，得出OE⊥AB，得出四边形EFBD是矩形，AF＝AB＝×16＝8（cm），进而得出EF＝BD＝4cm，设⊙O的半径为rcm，则OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，由勾股定理得出方程r2＝82+（r﹣4）2，解方程即可求出半径，继而求出这种铁球的直径．【解答】解：如图，连接OE，交AB于点F，连接OA，∵AC⊥CD、BD⊥CD，∴AC∥BD，∵AC＝BD＝4cm，∴四边形ACDB是平行四边形，∴四边形ACDB是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm，∵CD切⊙O于点E，∴OE⊥CD，∴OE⊥AB，∴四边形EFBD是矩形，AF＝AB＝×16＝8（cm），∴EF＝BD＝4cm，设⊙O的半径为rcm，则OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，在Rt△AOF中，OA2＝AF2+OF2，∴r2＝82+（r﹣4）2，解得：r＝10，∴这种铁球的直径为20cm，故选：C．【点评】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，掌握矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，切线的性质，垂径定理，勾股定理是解决问题的关键．3．（2022•十堰）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是弧AC上一动点（不与A，C重合），下列结论：①∠ADB＝∠BDC；②DA＝DC；③当DB最长时，DB＝2DC；④DA+DC＝DB，其中一定正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由△ABC是等边三角形，及同弧所对圆周角相等可得∠ADB＝∠BDC，即可判断①正确；由点D是弧AC上一动点，可判断②错误；根据DB最长时，DB为⊙O直径，可判定③正确；在DB上取一点E，使DE＝AD，可得△ADE是等边三角形，从而△ABE≌△ACD（SAS），有BE＝CD，可判断④正确．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∵＝，＝，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BDC＝∠BAC＝60°，∴∠ADB＝∠BDC，故①正确；∵点D是弧AC上一动点，∴与不一定相等，∴DA与DC不一定相等，故②错误；当DB最长时，DB为⊙O直径，∴∠BCD＝90°，∵∠BDC＝60°，∴∠DBC＝30°，∴DB＝2DC，故③正确；在DB上取一点E，使DE＝AD，如图：∵∠ADB＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAD，∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∴BD＝BE+DE＝CD+AD，故④正确；∴正确的有①③④，共3个，故选：C．【点评】本题考查等边三角形及外接圆，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造三角形全等解决问题．4．（2022•蓝田县一模）如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，弦CD＝2，则劣弧的长为（）A． B． C．π D．2π【分析】连接OC，OD，证明∠COD＝90°，可得结论．【解答】解：连接OC，OD．∵OC＝ODD＝2，CD＝2，∴OC2+OD2＝CD2，∴∠COD＝90°，∴的长＝＝π，故选：C．【点评】本题考查弧长公式，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是证明∠COD＝90°．5．（2022•碑林区校级二模）如图，等边△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径，若OA＝3，则劣弧的长是（）A． B．π C． D．2π【分析】连接OB、BD，由等边△ABC，可得∠D＝∠C＝60°，且OB＝OD，故△BOD是等边三角形，∠BOD＝60°，又半径OA＝3，根据弧长公式即可得劣弧BD的长．【解答】解：连接OB、BD，如图：∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝60°，∴∠D＝∠C＝60°，∵OB＝OD，∴△BOD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∵半径OA＝3，∴劣弧BD的长为＝π，故选：B．【点评】本题考查等边三角形及圆的弧长，解题的关键是掌握弧长公式并能熟练应用．6．（2022•海勃湾区校级一模）如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（）A．π B．2π C． D．2π﹣2【分析】根据图形得出△AOC、△OBC、△OBD都是等腰直角三角形，根据勾股定理求出OC，再分别求出扇形COE，扇形OFE，扇形EOD和△OBD的面积即可．【解答】解：∵AC＝AO＝2，∠CAO＝90°，∴∠AOC＝∠ACO＝45°，同理∠BCO＝∠COB＝45°，OB＝BC＝BD＝2，由勾股定理得：OC＝＝2，∴阴影部分的面积S＝（S扇形COE﹣S扇形FOB）+（S扇形EOD﹣S△OBD）＝[﹣]+[﹣]＝π﹣+π﹣2＝﹣2，故选：C．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积和扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．7．（2022•遵义模拟）如图，在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AB＝3，以AB边上一点O为圆心作⊙O，恰与边AC，BC分别相切于点A，D，则阴影部分的面积为（）A． B． C． D．【分析】根据直角三角形的性质得到AC＝，∠C＝60°，根据切线的性质得到CD＝AC＝，∠OAC＝∠ODC＝90°，求得BD＝，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AB＝3，∴AC＝，∠C＝60°，∵AC，BC分别相切于点A，D，∴CD＝AC＝，∠OAC＝∠ODC＝90°，∴∠AOD＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，BC＝2AC＝2，∴BD＝，∴∠ODB＝90°，∴OB＝2OD＝2OA，∴3OA＝AB＝3，∴OA＝1，∴阴影部分的面积＝S△ABC﹣S△ODB﹣S扇形AOD＝×﹣×1×﹣＝﹣，故选：A．【点评】本题考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，扇形和三角形的面积的计算，熟练掌握切线的性质是解题的关键．8．（2022•高青县一模）如图，在圆中半径OC∥弦AB，且弦AB＝CO＝2，则图中阴影部分面积为（）A．π B．π C．π D．π【分析】连接OA，OB，求出△AOB和△ACB的面积相等，得出阴影部分的面积＝扇形AOB的面积，再求出扇形AOB的面积即可．【解答】解：连接OA，OB，∵OC∥AB，AB＝AB，∴△OAB的面积＝△CAB的面积（等底等高的三角形的面积相等），∵AB＝OC＝2，∴OA＝OB＝AB＝2，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴阴影部分的面积S＝S扇形AOB＝＝π，故选：C．【点评】本题考查了三角形的面积和扇形的面积计算，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．9．（2022•新洲区模拟）如图，点O为△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，则△OBC的面积是（）A． B． C．2 D．4【分析】过点C作CH⊥BO的延长线于点H，根据点O为△ABC的内心，∠A＝60°，可得∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝90°+A＝120°，所以∠COH＝60°，利用含30度角的直角三角形可得CH的长，进而可得△OBC的面积．【解答】解：如图，过点C作CH⊥BO的延长线于点H，∵点O为△ABC的内心，∠A＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝90°+A＝120°，∴∠COH＝60°，∵OB＝2，OC＝4，∴OH＝2∴CH＝2，∴△OBC的面积＝OB•CH＝2×2＝2．故选：B．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握三角形的内心定义．二．填空题（共9小题）10．（2022•包头模拟）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形外接圆的半径为．【分析】先解方程，根据三角形的三边关系可知x＝5，由勾股定理的逆定理可得三角形是直角三角形，所以其斜边就是外接圆的直径．【解答】解：方程x2﹣12x+35＝0，分解因式得：（x﹣5）（x﹣7）＝0，可得x﹣5＝0或x﹣7＝0，解得：x＝5或x＝7，∵三角形第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，∴第三边的长为5或7，当第三边长为5时，∵3+4＞5；当第三边长为7时，3+4＝7，不能构成三角形，舍去，∴第三边为5，∵32+42＝52，∴三角形是直角三角形，此三角形的外接圆的直径为最大边5，则此三角形的外接圆半径为，故答案为：．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、利用因式分解法解一元二次方程，明确直角三角形的斜边是外接圆的直径，其斜边的中点即是外接圆的圆心是解决问题的关键．11．（2022•长安区模拟）小刚要在边长为10的正方形内设计一个有共同中心O的正多边形，使其边长最大且能在正方形内自由旋转．如图1，若这个正多边形为正六边形，此时EF＝5；若这个正多边形为正三角形，如图2，当正△EFG可以绕着点O在正方形内自由旋转时，EF的取值范围为0＜EF≤5．【分析】如图1，连接OE，OF，FI，作正方形ABCD的内切圆O，根据等边三角形的性质得到EF＝OF，由作图可得，⊙O的直径＝10，即FI＝10，于是得到OF＝EF＝5，如图2，作正方形ABCD的内切圆O，作⊙O的内接三角形EFG，此时，EF最大，连接OF，OE，过点F作FM⊥EG于点M，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：如图1，连接OE，OF，FI，作正方形ABCD的内切圆O，由正六边形ABCDEF可得，△OEF是等边三角形，∴EF＝OF，由作图可得，⊙O的直径＝10，即FI＝10，∴OF＝EF＝5，如图2，作正方形ABCD的内切圆O，作⊙O的内接三角形EFG，此时，EF最大，连接OF，OE，∴OF＝OE＝5，∠EOF＝2∠G＝120°，过点F作FM⊥EG于点M，则∠EOM＝60°，∴OM＝，EM＝，EF＝2EM＝5，∴EF的取值范围为0＜EF≤5，故答案为：5，0＜EF≤5．【点评】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，正六边形的性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．12．（2022•鹿邑县模拟）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为2π．【分析】由正六边形ABCDEF的边长为2，可得AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝120°，进而求出∠BAC＝30°，∠CAE＝60°，过B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH＝CH，BH＝1，在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH＝，得到AC＝2，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积．【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，∴AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝＝120°，∵∠ABC+∠BAC+∠BCA＝180°，∴∠BAC＝（180°﹣∠ABC）＝×（180°﹣120°）＝30°，过B作BH⊥AC于H，∴AH＝CH，BH＝AB＝×2＝1，在Rt△ABH中，AH＝＝＝，∴AC＝2，同理可证，∠EAF＝30°，∴∠CAE＝∠BAF﹣∠BAC﹣∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，∴S扇形CAE＝＝2π，∴图中阴影部分的面积为2π，故答案为：2π．【点评】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．13．（2022•武威模拟）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'．则图中阴影部分的面积为．【分析】解直角三角形得到AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，然后根据扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，∴图中阴影部分面积＝S扇形ACC′﹣S扇形ADB′﹣S△AB′C′＝﹣﹣×1×＝，故答案为：；【点评】本题主要考查了图形的旋转，扇形的面积公式，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解决问题的关键．14．（2022•随县一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⨀O经过点D．若∠C＝30°，且CD＝3，则阴影部分的面积是．【分析】证明△OFD、△OFA是等边三角形，S阴影＝S扇形DFO，即可求解．【解答】解：连接OD，连接DE、OD、DF、OF，设圆的半径为R，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAO，∵OD＝OA，∴∠DAO＝∠ODA，则∠DAB＝∠ODA，∴DO∥AB，而∠B＝90°，∴∠ODB＝90°，∵∠C＝30°，CD＝3，∴OD＝CD•tan30°＝3×＝3，∵∠DAB＝∠DAE＝30°，∴＝，∵∠DOE＝60°，∴∠DOF＝60°，∴∠FOA＝60°，∴△OFD、△OFA是等边三角形，∴DF∥AC，∴S阴影＝S扇形DFO＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．15．（2022•灞桥区校级模拟）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC，若正六边形的边长为2，则点O到AC的距离OG的长为1．【分析】连接OA、OC、OD，证△OCD是等边三角形，得OC＝CD＝2，∠OCD＝60°，再证∠OCG＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可．【解答】解：连接OA、OC、OD，如图所示：∵点O为正六边形ABCDEF的中心，边长为2，∴∠B＝∠BCD＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，OC＝OD，∠COD＝＝60°，AB＝BC＝CD＝2，∴∠BCA＝∠BAC＝30°，△OCD是等边三角形，∴OC＝CD＝2，∠OCD＝60°，∴∠OCG＝120°﹣30°﹣60°＝30°，∵OG⊥AC，∴OG＝OC＝1，即点O到AC的距离OG的长为1，故答案为：1．【点评】本题考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握正六边形的性质，证明△OCD为等边三角形是解题的关键．16．（2022•方城县一模）如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝2，过的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为π﹣2．【分析】连接OC，求出∠AOC＝∠BOC＝45°，求出∠DCO＝∠AOC＝∠ECO＝∠COE＝45°，求出CD＝OD，CE＝OE，根据勾股定理求出CD＝OD＝OE＝CE＝，再求出阴影部分的面积即可．【解答】解：连接OC，∵OA＝2，∴OC＝0A＝2，∵∠AOB＝90°，C为的中点，∴∠AOC＝∠BOC＝45°，∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO＝∠CEO＝90°，∴∠DCO＝∠AOC＝∠ECO＝∠COE＝45°，∴CD＝OD，CE＝OE，∴2CD2＝22，2OE2＝22，即CD＝OD＝OE＝CE＝，∴阴影部分的面积S＝S扇形AOB﹣S△CDO﹣S△CEO＝﹣﹣＝π﹣2，故答案为：π﹣2．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，扇形面积的计算等知识点，把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：如果扇形的圆心角为n°，半径为r，那么该扇形的面积为．17．（2022•大渡口区模拟）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D．点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为2+．【分析】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴∠COD′＝90°，∴CD′＝＝＝2，∴的长l＝＝，∴阴影部分周长的最小值为2+．故答案为：2+．【点评】本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．18．（2022•成都模拟）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是t＝或﹣1≤t＜1．【分析】若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束（不包括直线过点A）．当直线和半圆相切于点C时，根据直线的解析式知直线与x轴所形成的锐角是45°，从而求得∠DOC＝45°，即可求出点C的坐标，进一步求得t的值；当直线过点B时，直接根据待定系数法求得t的值．【解答】解：若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束（不包括直线过点A）．直线y＝x+t与x轴所形成的锐角是45°．当直线和半圆相切于点C时，则OC垂直于直线，∠COD＝45°．又OC＝1，则CD＝OD＝，即点C（﹣，），把点C的坐标代入直线解析式，得t＝y﹣x＝，当直线过点A时，把点A（﹣1，0）代入直线解析式，得t＝y﹣x＝1．当直线过点B时，把点B（1，0）代入直线解析式，得t＝y﹣x＝﹣1．即当t＝或﹣1≤t＜1时，直线和圆只有一个公共点；故答案为t＝或﹣1≤t＜1．【点评】此题综合考查了直线和圆的位置关系，及用待定系数法求解直线的解析式等方法．三．解答题（共11小题）19．（2022•汝阳县一模）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．（1）若∠ADE＝25°，求∠C的度数；（2）若AB＝AC，CE＝2，直接写出AC的长．【分析】（1）连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；（2）根据直角三角形的性质先求出半径，然后利用含30度角的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）如图，连接OA，∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，∴OA⊥AC，∴∠OAC＝90°，∵∠ADE＝25°，∴∠AOE＝2∠ADE＝50°，∴∠C＝90°﹣∠AOE＝90°﹣50°＝40°；（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝2∠C，∵∠OAC＝90°，∴∠AOC+∠C＝90°，∴3∠C＝90°，∴∠C＝30°，∴OA＝OC，设⊙O的半径为r，∵CE＝2，∴r＝（r+2）解得：r＝2，∴OA＝r＝2，∴AC＝OA＝2．【点评】此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质进行解答．20．（2022•绵竹市模拟）把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．（1）当DE⊥AC时，AD与BC的位置关系是垂直，AE与BC的位置关系是平行．（2）如图2，当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数；（3）若△ABD的外心在边BD上，直接写出旋转角α的值．【分析】（1）根据题意画出图形，利用三线合一性质可证明AD与BC垂直，再根据平行线的判定可证明AE与BC平行；（2）利用等腰三角形的性质证明△BAD≌△CAE，求出∠ADB＝∠AEC＝135°，所以∠BEC＝∠AEC﹣45°＝90°；（3）根据题意画出图形，由题意知，当△ABD的外心在边BD上时，△ABD是以BD为斜边的直角三角形，所以旋转角为90°或270°．【解答】解：（1）如图，设AC与DE交于点H，在等腰直角△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，AB＝AC，∠B＝∠C＝45°，∵DE⊥AC，∴∠DAH＝∠EAH＝∠DAE＝45°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAH＝45°，∴∠BAD＝∠DAH，∴AD⊥BC，∵∠EAH＝∠C＝45°，∴AE∥BC，故答案为：垂直，平行；（2）在等腰直角△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝90°，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ADB＝∠AEC＝180°﹣∠ADE＝135°，∴∠BEC＝∠AEC﹣45°＝135°﹣45°＝90°；（3）如图，因为△ABD的外心在边BD上时，△ABD是以BD为斜边的直角三角形，所以旋转角为90°或270°．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等，解题关键是熟练掌握旋转的性质，能够根据题意画出图形．21．（2022•包河区一模）如图，AB为⊙O的直径，直线BM⊥AB于点B，点C在⊙O上，分别连接BC，AC，且AC的延长线交BM于点D，CF为⊙O的切线交BM于点F．（1）求证：CF＝DF；（2）连接OF，若AB＝10，BC＝6，求线段OF的长．【分析】（1）连接OC，如图，根据切线的性质得∠1+∠3＝90°，则可证明∠3＝∠4，再根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，然后根据等角的余角相等得到∠BDC＝∠5，从而根据等腰三角形的判定定理得到结论；（2）根据勾股定理计算出AC＝8，再证明△ABC∽△ABD，利用相似比得到AD＝，然后证明OF为△ABD的中位线，从而根据三角形中位线性质求出OF的长．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵CF为切线，∴OC⊥CF，∴∠1+∠3＝90°，∵BM⊥AB，∴∠2+∠4＝90°，∵OC＝OB，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠3+∠5＝90°，∠4+∠BDC＝90°，∴∠BDC＝∠5，∴CF＝DF；（2）解：在Rt△ABC中，AC＝＝8，∵∠BAC＝∠DAB，∴△ABC∽△ABD，∴＝，即＝，∴AD＝，∵∠3＝∠4，∴FC＝FB，而FC＝FD，∴FD＝FB，而BO＝AO，∴OF为△ABD的中位线，∴OF＝AD＝．【点评】本题考查了切线