北师大新版九年级下册《第1章 直角三角形的边角关系》单元测试卷

北师大新版九年级下册《第1章直角三角形的边角关系》2024年单元测试卷一、选择题1．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么cosB的值是（）A． B． C． D．2．（3分）在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，那么锐角A的正切值（）A．不变化 B．扩大2倍 C．缩小2倍 D．不能确定3．（3分）如果30°＜∠A＜45°，那么sinA的范围是（）A．0＜sinA B．sinA C．＜sinA D．＜sinA＜14．（3分）在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形5．（3分）等腰三角形的底角为30°，底边长为2，则腰长为（）A．4 B．2 C．2 D．6．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC＝4，则BD的长为（）A． B． C． D．87．（3分）因为cos30°＝，cos210°＝﹣，所以cos210°＝cos（180°+30°）＝﹣cos30°＝﹣，我们发现：一般地，当α为锐角时，有cos（180°+α）＝﹣cosα，由此可知cos240°的值是（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣8．（3分）如图，沿AC方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝145°，BD＝1000米，∠D＝55°，使A、C、E在一条直线上，那么开挖点E与D的距离是（）A．1000sin55°米 B．1000cos35°米 C．1000tan55°米 D．1000cos55°米9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）cm．A．1 B．2 C．3 D．410．（3分）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（）A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx二、填空题11．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．已知c＝20，b＝10，则∠A＝．12．（3分）如图所示的网格是正方形网格，∠AOB∠COD．（填“＞“，“＝”或“＜“）13．（3分）小芳为了测量旗杆高度，在距棋杆底部6米处测得顶端的仰角是60°，已知小芳的身高是1米5，则旗杆高米．（保留1位小数）14．（3分）如图，在△ABC中，若∠A＝45°，AC2﹣BC2＝AB2，则tanC＝．15．（3分）如图，在某建筑物AC上，挂着“多彩四川”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得仰角为30°，再往条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测得仰角为60°，则宣传条幅BC的长为米（小明的身高不计，，，结果精确到0.1米）．16．（3分）如图，如果在大厦AB所在的平地上选择一点C，测得大厦顶端A的仰角为30°，然后向大厦方向前进40米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），此时测得大厦顶端A的仰角为45°，那么大厦AB的高度为米（保留根号）．17．（3分）太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图所示，BC＝10米，∠ABC＝∠ACB＝36°，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC＝90°，则改建后南屋面边沿增加部分AD的长是（结果精确到0.1米，参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）18．（3分）如图，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，位于地面R处的雷达测得AR的距离是40km，仰角是30°．几秒后，火箭到达B点，此时在R处测得仰角是45°，则火箭在这几秒中上升的高是km．三、解答题19．（6分）计算：sin30°﹣cos45°+tan60°．20．（8分）已知：在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝2．求△ABC的面积（结果可保留根号）．21．（8分）公园内一凉亭，凉亭顶部是一圆锥形的顶盖，立柱垂直于地面，在凉亭内中央位置有一圆形石桌，某数学研究性学习小组，将此凉亭作为研究对象，并绘制截面示意图，其中顶盖母线AB与AC的夹角为124°，凉亭顶盖边缘B、C到地面的距离为2.4米，石桌的高度DE为0.6米，经观测发现：当太阳光线与地面的夹角为42°时，恰好能够照到石桌的中央E处（A、E、D三点在一条直线上），请你求出圆锥形顶盖母线AB的长度．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin62°≈0.88，tan42°≈0.90）22．（8分）我市体育馆有一部分看台的侧面如图所示，看台有五级高度相等的小台阶．已知看台高为2米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长为1米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的底部分别为D，C），且∠DAB＝66.5°．（1）求点A与点C的高度差AH；（2）求AB之间的水平距离HC（结果精确到0.1米）；（3）求所用不锈钢材料的总长度L（即AD+AB+BC，结果精确到0.1米）．（参考数据sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30）23．（8分）如图，为测得峰顶A到河面B的高度h，当游船行至C处时测得峰顶A的仰角为α，前进m米至D处时测得峰顶A的仰角为β（此时C、D、B三点在同一直线上）．当α＝44°，β＝61°，m＝50米时，求h的值．（精确到1米）24．（8分）东海中有某一小岛上有一灯塔A，已知灯塔附近方圆25海里范围内有暗礁，我军110舰在O点处测得灯塔在北偏西60°方向，向正西方向航行20海里后到达B处，测得灯塔在西北方向，如果该舰继续向西航行，是否有触礁危险？请说明理由．

参考答案一、选择题1．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴根据勾股定理AB＝5．∴cosB＝＝．故选：A．2．解：根据锐角三角函数的定义，知如果各边长度都扩大2倍，那么锐角A的正切值不变．故选：A．3．解：∵sinα随锐角α的增大而增大，且30°＜∠A＜45°，∴＜sinA＜，故选：B．4．解：由（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，得2cosA＝，1﹣tanB＝0．解得A＝45°，B＝45°，则△ABC一定是等腰直角三角形，故选：D．5．解：作AD⊥BC于D点．∵△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，∠B＝30°，∴BD＝CD＝BC＝×2＝．∵cos∠B＝cos30°＝＝＝，∴AB＝2．故选：C．6．解：在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，设相交于O点．∴AC⊥BD，AC＝4，∴AO＝2．∵∠ABC＝60°，∴∠ABO＝30°．由勾股定理可知：BO＝2．则BD＝4．故选：B．7．解：∵cos（180°+α）＝﹣cosα，∴cos240°＝cos（180°+60°）＝﹣cos60°＝﹣．故选：A．8．解：∵∠ABD＝145°，∴∠EBD＝35°，∵∠D＝55°，∴∠E＝90°，在Rt△BED中，BD＝1000米，∠D＝55°，∴ED＝1000cos55°米，故选：D．9．解：∵∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，∴BD＝AD，∴CD+BD＝8（cm），∵cos∠BDC＝＝，∴＝，解得：CD＝3cm，BD＝5cm，∴BC＝4cm．故选：D．10．解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，∴∠EAB＝x，∴∠FBA＝x，∵AB＝a，AD＝b，∴FO＝FB+BO＝a•cosx+b•sinx，故选：D．二、填空题11．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．已知c＝20，b＝10，∴cosA＝＝＝，∴∠A＝45°，故答案为：45°．12．解：连接CD，则CD⊥OD，过B作BE⊥OA于E，在Rt△OBE中，tan∠AOB＝＝2，在Rt△OCD中，tan∠COD＝＝＝1，∵锐角的正切值随着角度的增大而增大，∴∠AOB＞∠COD，故答案为：＞．13．解：根据题意，旗杆比小芳高6×tan60°＝6．∵小芳的身高是1米5．∴旗杆高为6+1.5≈11.9（米）．14．解：如图，过B作BD⊥AC于D，∵∠A＝45°，∴∠ABD＝∠A＝45°，∴AD＝BD．∵∠ADB＝∠CDB＝90°，∴AB2＝AD2+DB2＝2BD2，BC2＝DC2+BD2，∴AC2﹣BC2＝（AD+DC）2﹣（DC2+BD2）＝AD2+DC2+2AD•DC﹣DC2﹣BD2＝2AD•DC＝2BD•DC，∵AC2﹣BC2＝AB2，∴2BD•DC＝×2BD2，∴DC＝BD，∴tanC＝＝＝．故答案为．15．解：设BC＝x，则根据三角函数关系可得EC＝＝，CF＝＝x．∵CF﹣CE＝EF＝20（米），∴x﹣＝20，x＝10≈17.3（米）．16．解：设AB＝x，在Rt△ACB和Rt△ADB中，∵∠C＝30°，∠ADB＝45°，CD＝40，∴DB＝x，AC＝2x，∴BC＝＝x，∴∵CD＝BC﹣BD＝40，x﹣x＝40，∴x＝20（+1），故答案为：20+20．17．解：∵∠BDC＝90°，BC＝10，sinB＝，∴CD＝BC•sinB＝10×0.59＝5.9，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣36°＝54°，∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝54°﹣36°＝18°，在Rt△ACD中，tan∠ACD＝，∴AD＝CD•tan∠ACD＝5.9×0.32＝1.888≈1.9（米），则改建后南屋面边沿增加部分AD的长约为1.9米，故答案为：1.9米．18．解：在Rt△ARL中，∵LR＝AR•cos30°＝40×＝20（km），AL＝AR•sin30°＝20（km），在Rt△BLR中，∵∠BRL＝45°，∴RL＝LB＝20km，∴AB＝LB﹣AL＝（20﹣20）km，故答案为：（20﹣20）．三、解答题19．解：原式＝﹣×+×＝．20．解：作CH⊥AB于H，如图，设AH＝x，在Rt△ACH中，∵tanA＝，∴CH＝x•tan60°＝x，在Rt△BCH中，∵tanB＝，∴BH＝x•tan45°＝x，而AH+BH＝AB＝2，∴x+x＝2，解得x＝﹣1，∴CH＝x＝3﹣，∴△ABC的面积＝×（3﹣）×2＝3﹣．21．解：如图，连接BC、AE，交于点O，则AE⊥BC．由题意，可知OE＝2.4﹣0.6＝1.8（m），∠OBE＝42°，∠BAO＝∠BAC＝62°．在Rt△OBD中，∵tan∠OBE＝，∴OB＝≈＝2（m）．在Rt△OAB中，∵sin∠OAB＝，∴AB＝≈≈2.3（m）．答：圆锥形顶盖母线AB的长度约为2.3米．22．解：（1）AH＝AD+DH＝1+2×＝2.6（米）；（2）作BM⊥AH，垂足为M，可知MH＝BC＝1m，HC＝BM，∴AM＝AH﹣MH＝2.6﹣1＝1.6m．在Rt△ABM中，tan∠DAB＝，∴BM＝AM×tan∠DAB＝1.6×2.30≈3.7，∴HC≈3.7m．（3）在Rt△ABM中，cos∠DAB＝，∴AB＝≈＝4