2025版高考数学一轮总复习课后限时集训65古典概型与几何概型含解析

课后限时集训(六十五)古典概型与几何概型建议用时：40分钟一、选择题1．(2024·全国卷Ⅰ)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A.eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C.eq\f(1,2) D．eq\f(4,5)A[依据题意作出图形，如图所示，在O，A，B，C，D中任取3点，有10种可能状况，分别为(OAB)，(OAC)，(OAD)，(OBC)，(OBD)，(OCD)，(ABC)，(ABD)，(ACD)，(BCD)，其中取到的3点共线有(OAC)和(OBD)2种可能状况，所以在O，A，B，C，D中任取3点，取到的3点共线的概率为eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)，故选A.]2．“上医医国”出自《国语·晋语八》，比方高贤能治理好国家．现把这四个字分别写在四张卡片上，其中“上”字已经排好，某幼童把剩余的三张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是()A.eq\f(1,3) B．eq\f(1,6)C.eq\f(1,4) D．eq\f(1,12)A[幼童把这三张卡片进行随机排列，基本领件总数n＝3，∴该幼童能将这句话排列正确的概率P＝eq\f(1,3).故选A.]3．《易经》是我国古代预料将来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币视察正反面进行预料未知，则抛掷一次时出现两枚正面、一枚反面的概率为()A.eq\f(1,8) B．eq\f(1,4)C.eq\f(3,8) D．eq\f(1,2)C[抛掷三枚古钱币出现的基本领件有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反，共8种，其中出现两正一反的共有3种，故所求概率为eq\f(3,8).故选C.]4．某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)B[如图所示，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，依据几何概型的概率计算公式，得所求概率P＝eq\f(10＋10,40)＝eq\f(1,2)，故选B.]5.七巧板是我国古代劳动人民的独创之一，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形板、一块正方形板和一块平行四边形板组成．如图，是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A.eq\f(3,16) B．eq\f(3,8)C.eq\f(5,16) D．eq\f(7,16)D[设图中最小正方形的边长为a，则此点取自阴影部分的概率P＝eq\f(S阴影,S大正方形)＝eq\f(\f(1,2)a2＋a2＋\f(1,2)×2a2,2\r(2)a2)＝eq\f(7,16).故选D.]二、填空题6．(2024·江苏高考)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参与志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．eq\f(7,10)[从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参与志愿者服务，基本领件总数n＝10，选出的2名同学中没有女同学包含的基本领件个数：m＝3，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝1－eq\f(m,n)＝1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10).]7．有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．eq\f(2,3)[由题意得该圆柱的体积V＝π×12×2＝2π.圆柱内满意点P到点O的距离小于等于1的几何体为以圆柱底面圆心为球心的半球，且此半球的体积V1＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2,3)π，所以所求概率P＝eq\f(V－V1,V)＝eq\f(2,3).]8.如图所示的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成果，其中一个数字被污损，则甲的平均成果不超过乙的平均成果的概率为________．0.3[依题意，记题中被污损的数字为x，若甲的平均成果不超过乙的平均成果，则有(8＋9＋2＋1)－(5＋3＋x＋5)≤0，解得x≥7，即此时x的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成果不超过乙的平均成果的概率P＝eq\f(3,10)＝0.3.]三、解答题9．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采纳分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参与献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学担当敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出全部可能的抽取结果；②设M为事务“抽取的2名同学来自同一年级”，求事务M发生的概率．[解](1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采纳分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的全部可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的全部可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事务M发生的概率P(M)＝eq\f(5,21).10．某学校为担当班主任的老师办理手机语音月卡套餐，为了解通话时长，采纳随机抽样的方法，得到该校100位班主任每人的月平均通话时长T(单位：分钟)的数据，其频率分布直方图如图所示，将频率视为概率．(1)求图中m的值；(2)估计该校担当班主任的老师月平均通话时长的中位数；(3)在[450,500)，[500,550]这两组中采纳分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人恰在同一组的概率．[解](1)依题意，依据频率分布直方图的性质，可得：50×(m＋0.0040＋0.0050＋0.0066＋0.0016＋0.0008)＝1，解得m＝0.0020.(2)设该校担当班主任的老师月平均通话时长的中位数为t.因为前2组的频率之和为(0.0020＋0.0040)×50＝0.3<0.5，前3组的频率之和为(0.0020＋0.0040＋0.0050)×50＝0.55>0.5，所以350<t<400，由0.3＋0.0050×(t－350)＝0.5，得t＝390.所以该校担当班主任的老师月平均通话时长的中位数为390分钟．(3)由题意，可得在[450,500)内抽取6×eq\f(0.0016,0.0016＋0.0008)＝4人，分别记为a，b，c，d，在[500,550]内抽取2人，记为e，f，则6人中抽取2人的取法有：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{a，f}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{b，f}，{c，d}，{c，e}，{c，f}，{d，e}，{d，f}，{e，f}，共15种等可能的取法．其中抽取的2人恰在同一组的有{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{e，f}，共7种取法，所以从这6人中随机抽取的2人恰在同一组的概率P＝eq\f(7,15).1．在区间[0，π]上随机地取一个数x，则事务“sinx≤eq\f(1,2)”发生的概率为()A.eq\f(3,4) B．eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)D[在[0，π]上，当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))时，sinx≤eq\f(1,2)，故概率为eq\f(\f(π,3),π)＝eq\f(1,3).]2．(多选)已知甲罐中有四个相同的小球，标号1,2,3,4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1,2,3,5,6.现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事务A＝“抽取的两个小球标号之和大于5”，事务B＝“抽取的两个小球标号之积大于8A．事务A发生的概率为eq\f(1,2)B．事务A∪B发生的概率为eq\f(11,20)C．事务A∩B发生的概率为eq\f(2,5)D．从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为eq\f(1,5)BC[甲罐中有四个相同的小球，标号1,2,3,4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1,2,3,5,6.现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事务A＝“抽取的两个小球标号之和大于5”，事务B＝“抽取的两个小球标号之积大于8”，对于A，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，基本领件总数n＝4×5＝20，事务A包含的基本领件有：(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,5)，(3,6)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，共11个，∴P(A)＝eq\f(11,20)，故A错误；对于B，事务A∪B包含的基本领件有：(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,5)，(3,6)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，共11个，∴P(A∪B)＝eq\f(11,20)，故B正确；对于C，事务A∩B包含的基本领件有(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,5)，(3,6)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，共8个，∴P(A∩B)＝eq\f(8,20)＝eq\f(2,5)，故C正确；对于D，从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为P＝eq\f(1×5,20)＝eq\f(1,4)，故D错误．故选BC.]3．甲、乙、丙、丁、戊5名同学参与“《论语》学问大赛”，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成果，回答者对甲说“虽然你的成果比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”．从上述回答分析，丙是第一名的概率是________．eq\f(1,3)[因为甲和乙都不行能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊，又考虑到全部的限制条件对丙、丁、戊都没有影响，所以这三个人获得第一名是等概率事务，所以丙是第一名的概率是eq\f(1,3).]4．已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)．(1)若x，y分别表示将一枚质地匀称的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、其次次出现的点数，求满意a·b＝－1的概率；(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满意a·b<0的概率．[解](1)将一枚质地匀称的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本领件总数为6×6＝36，由a·b＝－1，得－2x＋y＝－1，所以满意a·b＝－1的基本领件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个．故满意a·b＝－1的概率为eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，则全部基本领件的结果为Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}．满意a·b<0的基本领件的结果为A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y<0}．画出图象如图所示，矩形的面积为S矩形＝25，阴影部分的面积为S阴影＝25－eq\f(1,2)×2×4＝21，故满意a·b<0的概率为eq\f(21,25).1．(多选)(2024·湖北武汉质监改编)同时抛掷两个质地匀称的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次，记事务A＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}；事务B＝{其次个四面体向下的一面出现奇数}；事务C＝{两个四面体向下的一面同时出现奇数，或者同时出现偶数}．下列说法正确的是()A．P(A)＝P(B)＝P(C)B．P(AB)＝P(AC)＝P(BC)C．P(ABC)＝eq\f(1,8)D．P(A)P(B)P(C)＝eq\f(1,8)ABD[由古典概型的概率计算公式，得P(A)＝P(B)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，P(C)＝eq\f(8,4×4)＝eq\f(1,2)，所以P(A)＝P(B)＝P(C)＝eq\f(1,2)，A正确；P(A)P(B)P(C)＝eq\f(1,8)，D正确；而事务A，B，C不行能同时发生，故P(ABC)＝0，所以C不正确；又P(AB)＝eq\f(2×2,4×4)＝eq\f(1,4)，P(AC)＝eq\f(2×2,4×4