广东省清远市2024-2025学年高三上学期8月摸底考试数学

广东省2025届高三摸底测试（8月份）数学注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡的相应位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知等边三角形的边长为1，那么（）A. B. C. D.3.已知，则（）A. B. C. D.24.已知，为异面直线，平面，平面.若直线满足，，，，则（）A.， B.与相交，且交线平行于C.， D.与相交，且交线垂直于5.移动互联网给人们的沟通交流带来了方便.某种移动社交软件平台，既可供用户彼此添加“好友”单独交流，又可供多个用户建立一个“群”（“群里”的人彼此不一定是“好友”关系）共同交流.如果某人在平台上发了信息，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到，现有一个10人的“群”，其中一人在平台上发了一条信息，“群”里有3人说看到了，那么这个“群”里与发信息这人是“好友”关系的情况可能有（）A.56种 B.120种 C.84种 D.210种6.已知函数f(x)＝x3＋ax2－x的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝4x－3，则函数y＝f(x)的极大值为（）A1 B. C. D.－17.已知抛物线，圆，直线自上而下顺次与上述两曲线交于四点，则下列各式结果为定值的是A. B.C. D.8.已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（）A. B. C. D.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设两点的坐标分别是，直线相交于点，设直线的斜率分别为，下列说法正确的是（）A.当时，点的轨迹是椭圆的一部分B.当时，点的轨迹是双曲线的一部分C.当时，点的轨迹是抛物线的一部分D.当时，点的轨迹是椭圆的一部分10.已知函数的图象如图所示，令，则下列说法正确的是（）A.B.函数图象的对称轴方程为C.若函数的两个不同零点分别为，则的最小值为D.函数的图象上存在点，使得在点处的切线斜率为−211.定义域是复数集子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是（）A. B. C. D.三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知的三个内角分别为，若成等差数列，则角的取值范围是__________.13.中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.对应的是正四棱台中间位置的长方体，对应四个三棱柱，对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为__________.14.袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的数学期望__________．四､解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知A，B，C为的三个内角，向量与共线，且.（1）求角（2）求函数的值域.16.如图，已知四边形和四边形都是边长为1的正方形，且它们所在的平面互相垂直.两点分别在正方形对角线和上移动，且.（1）当分别为的中点时，求证：平面；（2）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值.17.一般地，我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距.（1）请用上述定义证明反比例函数图象是双曲线；（2）利用所学的知识，指出双曲线的焦点坐标与渐近线方程；（3）我们知道，双曲线上任意一点到与的距离之积是常数，即.探讨双曲线上的任意一点是否有类似结论，若有，写出结论并证明；若没有，则说明理由.18.冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮.某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高三年级1000名学生中随机选出40名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格.若高三年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”；否则该年级体能达标为“不合格”，需要重新对高三年级学生加强训练.现将这40名学生随机分成甲、乙两个组，其中甲组有24名学生，乙组有16名学生.经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下：甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6.（数据的最后结果都精确到整数）（1）求这40名学生测试成绩的平均分和标准差s；（2）假设高三学生的体能达标预测成绩服从正态分布N（μ，），用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为的估计值.利用估计值估计，高三学生体能达标预测是否“合格”；（3）为增强趣味性，在体能达标跳绳测试项目中，同学们可以向体育特长班的强手发起挑战.每场挑战赛都采取七局四胜制.积分规则如下：以4:0或4:1获胜队员积4分，落败队员积0分；以4:2或4:3获胜队员积3分，落败队员积1分.假设体育生王强每局比赛获胜的概率均为，求王强在这轮比赛中所得积分为3分的条件下，他前3局比赛都获胜的概率.附：①n个数的方差；②若随机变量Z～N（μ，），则，，.19.对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”；（2）若函数是“同比不减函数”，求的取值范围；（3）是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．广东省2025届高三摸底测试（8月份）数学注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡的相应位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合.【详解】，，因此，.故选：D.2.已知等边三角形的边长为1，那么（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量的数量积定义即可求解.【详解】因为等边三角形的边长为1，所以.故选：D.3.已知，则（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】先根据同角三角函数的基本关系，求的值，再用倍角公式求，再利用二倍角的余弦公式化简即可求值.【详解】由及，得.所以，所以.故选：A4.已知，为异面直线，平面，平面.若直线满足，，，，则（）A.， B.与相交，且交线平行于C.， D.与相交，且交线垂直于【答案】B【解析】【分析】假设得到矛盾，确定与相交，设，过直线一点，作，设与确定的平面为，根据，得到答案.【详解】若，则由平面，平面，可得，这与m，n是异面直线矛盾，故与相交，A错误；设，过直线一点，作，设与确定的平面为.因为，所以，又，与相交，，所以，因为，所以，又，所以，因为，所以，，又与相交，，所以，又因为，，所以l与a不重合，所以，B正确，D错误；因为，，，所以，C错误.故选：B.5.移动互联网给人们的沟通交流带来了方便.某种移动社交软件平台，既可供用户彼此添加“好友”单独交流，又可供多个用户建立一个“群”（“群里”的人彼此不一定是“好友”关系）共同交流.如果某人在平台上发了信息，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到，现有一个10人的“群”，其中一人在平台上发了一条信息，“群”里有3人说看到了，那么这个“群”里与发信息这人是“好友”关系的情况可能有（）A.56种 B.120种 C.84种 D.210种【答案】C【解析】【分析】简单的组合问题，直接求解就可以了.【详解】由于“群里”总共10人，其中1人发了信息，3人能看到信息，所以这9人中有3人与发信息的人是好友，所以“好友”关系的可能情况有（种）.故选：C6.已知函数f(x)＝x3＋ax2－x的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝4x－3，则函数y＝f(x)的极大值为（）A.1 B. C. D.－1【答案】A【解析】【分析】求导，根据导数的几何意义求得a的值，再根据导数的正负判断极值点，求得极大值.【详解】由由题意得,故，则，所以，令，则，，当或时，；当时，，故函数在时取得极大值为，故选：A.7.已知抛物线，圆，直线自上而下顺次与上述两曲线交于四点，则下列各式结果为定值的是A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】【分析】

由消去y整理得，设，则．过点分别作直线的垂线，垂足分别为，则．对于A，，不为定值，故A不正确．对于B，，不为定值，故B不正确．对于C，，为定值，故C正确．对于D，，不为定值，故D不正确．选C．点睛：抛物线定义的两种应用：（1）当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|＝d，有关距离、最值、弦长等是考查的重点；（2）利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．8.已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题可得函数关于点对称，函数在R上单调递增，进而可得，利用函数的单调性即得.【详解】由，得且函数关于点对称．由对任意，，均有，可知函数在上单调递增．又因为函数的定义域为R，所以函数在R上单调递增．因为a，b为关于x的方程的两个解，所以，解得，且，即．又，令，则，则由，得，所以．综上，t的取值范围是.故选：D．二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设两点的坐标分别是，直线相交于点，设直线的斜率分别为，下列说法正确的是（）A.当时，点的轨迹是椭圆的一部分B.当时，点的轨迹是双曲线的一部分C.当时，点的轨迹是抛物线的一部分D.当时，点的轨迹是椭圆的一部分【答案】ABC【解析】【分析】设Mx,y，求出和，每个选项代入公式判断.【详解】设Mx,y，则，当时，即，有，故A正确；当时，有，故B正确；当时，，即，故C正确；当时，，即显然不是椭圆，故D错误.故选：ABC10.已知函数的图象如图所示，令，则下列说法正确的是（）A.B.函数图象的对称轴方程为C.若函数的两个不同零点分别为，则的最小值为D.函数的图象上存在点，使得在点处的切线斜率为−2【答案】ACD【解析】【分析】根据图象，先求出函数的解析式，进一步可求的解析式，通过函数性质的分析逐项进行判定.【详解】由图象可知，设的最小正周期为，又，解得，由图可得，又，所以，即，因此，所以.即可得，故A正确；令（，解得，所以函数图象的对称轴方程为，故B错误；令，即可得，解得，可得，当时，的最小值为，故C正确；易知，因此存在点，使得在点处切线斜率为−2，故D正确.故选：ACD11.定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据计算公式结合收敛点的定义判断即可.【详解】对A，由可得数列，，，…不合题意，故A错误；对B，由可得数列，，，…则存在一个正数，使得对任意都成立，满足题意，故B正确；对C，由可得数列，，，…不满足题意，故C错误；对D，由可得数列…因为，存在一个正数，使得对任意都成立，满足题意，故D正确；故选：BD三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知的三个内角分别为，若成等差数列，则角的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据已知条件运用等差数列性质以及正弦定理得到，运用余弦定理和重要不等式即可求解.【详解】由等差中项公式和正弦定理得，由余弦定理得，，当且仅当时，等号成立，又B∈0,π及在0,π内单调递减，故故答案为：13.中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.对应的是正四棱台中间位置的长方体，对应四个三棱柱，对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为__________.【答案】28【解析】【分析】令四棱锥底面边长为，高为，三棱柱的高为，由四个三棱柱的体积之和与四个四棱锥的体积之和，可得和，则有，求出中间长方体的体积，即可得该正四棱台的体积.【详解】如图，令四棱锥的底面边长为，高为，三棱柱的高为，依题意，四棱锥的体积为，即，三棱柱的体积为，即，因此于是长方体的体积，所以该正四棱台的体积为.故答案为：2814.袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的数学期望__________．【答案】##1.5【解析】【分析】由古典概型概率计算公式列方程求得黑球个数，从而可根据超几何分布的数学期望公式进行求解.【详解】若黑球数小于，则至少得到一个白球的概率为1，矛盾，设有个黑球，则，解得满足题意，由题意白球的个数为X服从超几何分布，所以随机变量X的数学期望为.故答案为：.四､解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知A，B，C为的三个内角，向量与共线，且.（1）求角（2）求函数的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量共线的坐标表示可得，进而得，即可求解.（2）根据余弦的二倍角公式以及余弦的和差角公式化简得，然后根据辅助角公式得，进而根据角的范围就可求解值域.【小问1详解】由题意，知，整理，得，即，解得.已知为的内角，所以，由，知为锐角，所以.【小问2详解】由（1）及题意知，所以又，所以，所以，因此，故函数的值域为.16.如图，已知四边形和四边形都是边长为1的正方形，且它们所在的平面互相垂直.两点分别在正方形对角线和上移动，且.（1）当分别为的中点时，求证：平面；（2）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证线线平行，推出线面平行.（2）建立空间直角坐标系，用空间向量的方法解决问题.小问1详解】如图：连接，分别为的中点，，又平面平面.平面.【小问2详解】因为四边形是正方形，所以;又四边形是正方形，所以，又平面平面，平面平面，所以平面.，平面，所以所在直线两两垂直.故可以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系.则,.，.时，.当分别为的中点时，的长最小，所以.取的中点，连接，则.为的中点，，即是平面与平面所成二面角.设平面与平面的夹角为...所求夹角的余弦值为.17.一般地，我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距.（1）请用上述定义证明反比例函数的图象是双曲线；（2）利用所学的知识，指出双曲线的焦点坐标与渐近线方程；（3）我们知道，双曲线上的任意一点到与的距离之积是常数，即.探讨双曲线上的任意一点是否有类似结论，若有，写出结论并证明；若没有，则说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）焦点：；准线：和（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义判定函数的图象是双曲线.（2）根据双曲线的对称轴平分双曲线的渐近线求焦点坐标.（3）采用类比的方法猜测结论，再结合点到直线的距离公式证明.小问1详解】证明：观察图象可知若函数的图象是双曲线，则它一定是等轴双曲线，且轴､轴是图象的渐近线，直线是双曲线的对称轴，它与双曲线的两个交点是双曲线的两个顶点，实轴长.两焦点坐标为.设点Px,y在函数的图象上，则，即，（i）当时，，所以.（ii）当时，从而，同理，有.因此，无论点Px,y在第一象限或者在第三象限，均有||（小于）.综上，函数的图象是双曲线.【小问2详解】函数的图象是以为两焦点，实轴长的双曲线，两渐近线方程分别为和.【小问3详解】因为与是双曲线的两条渐近线，有.类似地：双曲线上的任意一点到它的两条渐近线的距离之积是常数.证明：设是双曲线上任意一点，则有.双曲线的渐近线方程为.于是点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，结论成立.18.冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮.某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高三年级1000名学生中随机选出40名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格.若高三年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”；否则该年级体能达标为“不合格”，需要重新对高三年级学生加强训练.现将这40名学生随机分成甲、乙两个组，其中甲组有24名学生，乙组有16名学生.经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下：甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6.（数据的最后结果都精确到整数）（1）求这40名学生测试成绩的平均分和标准差s；（2）假设高三学生的体能达标预测成绩服从正态分布N（μ，），用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为的估计值.利用估计值估计，高三学生体能达标预测是否“合格”；（3）为增强趣味性，在体能达标的跳绳测试项目中，同学们可以向体育特长班的强手发起挑战.每场挑战赛都采取七局四胜制.积分规则如下：以4:0或4:1获胜队员积4分，落败队员积0分；以4:2或4:3获胜队员积3分，落败队员积1分.假设体