高考总复习理数（北师大版）课时作业提升62排列与组合

课时作业提升(六十二)排列与组合A组夯实基础1．(2018·资阳模拟)将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是()A．40 B．60C．80 D．100解析：选A先从6个小球中选出3个小球，每个小球放入与其编号相同的盒子，共Ceq\o\al(3,6)种放法；再将剩下的3个小球放入剩下的盒子，小球编号与盒子编号都不相同的放法有2种．由分步乘法计数原理可得，不同的放法总数是2Ceq\o\al(3,6)＝40种．故选A．2．(2018·咸阳模拟)在中国文字语言中有回文句，如：“中国出人才人出国中．”其实，在数学中也有回文数．回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如：3位回文数：101,111,121，…，191,202，…，999.则5位回文数有()A．648个 B．720个C．900个 D．1000个解析：选C由题设中定义的回文数的概念可知：先考虑五位回文数的中间的一个位置，每个数字都能选取，共有10种可能；其次是考虑首位数字应有除了0之外的9个数字，共有9种可能；最后再考虑第二个位置，10个数字都可选取，共有10种可能．由分步乘法计数原理可得所有五位回文数的个数是9×10×10＝900.故选C．3．(2018·江西联考)某学校高三年级有2个文科班，3个理科班，现每个班指定1人对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是()A．24 B．32C．48 D．84解析：选A首先安排文科学生，文科两个班的学生有Aeq\o\al(2,3)种安排方法，然后安排理科学生，理科的学生有Aeq\o\al(1,2)×Aeq\o\al(2,2)种安排方法．利用分步乘法计数原理可得，不同的安排方法种数为Aeq\o\al(2,3)×Aeq\o\al(1,2)×Aeq\o\al(2,2)＝24.故选A．4．(2018·福建质检)5名同学进行百米赛跑比赛，先后到达终点，则甲比乙先到达的情况有()A．240种 B．120种C．60种 D．30种解析：选C甲和乙到达终点只有两种情况，甲先到达或乙先到达，∴甲比乙先到达的情况有eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(2,2))＝60种．5．6人站成一排，其中甲不在两端，甲、乙不相邻的站法种数为()A．72 B．120C．144 D．288解析：选D先排甲，有Aeq\o\al(1,4)种排法，再排乙，有Aeq\o\al(1,3)种排法，最后排剩下的4人，有Aeq\o\al(4,4)种排法，∴满足题意的站法种数为Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(4,4)＝288.6．(2018·平罗一模)从5名学生中选出4名参加A，B，C，D四科的竞赛(假设每名学生仅能参加一科的竞赛)，其中甲不能参加A，B两科的竞赛，则不同的参赛方案种数为________.解析：可分为以下两步：(1)先从5名学生中选出4名，分为甲参加和甲不参加两种情况，甲参加时，选法有Ceq\o\al(3,4)＝4种，甲不参加时，选法有Ceq\o\al(4,4)＝1种；(2)安排科目——甲参加时，先排甲，再排其他人，排法有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝12种，甲不参加时，排法有Aeq\o\al(4,4)＝24种．故不同的参赛方案种数为4×12＋1×24＝72.答案：727．(2018·武邑一模)将6名留学归国人员分配到甲、乙两地工作，若甲地至少安排2人，乙地至少安排3人，则不同的安排方法数为________．解析：可以分为以下两类：(1)甲地安排3人，乙地安排3人，有Ceq\o\al(3,6)＝20种方法；(2)甲地安排2人，乙地安排4人，有Ceq\o\al(4,6)＝15种方法．根据分类加法计数原理可得，不同的安排方法数为20＋15＝35.答案：358．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数是________．解析：可分为两大步进行，先将四棱锥一面三个顶点染色，然后再分类考虑另外两个顶点的染色情况，用分步乘法计数原理即可得出结论．由题设，四棱锥S­ABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60种染色方法．当S，A，B染好时，不妨设其颜色分别为1,2,3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法．可见，当S，A，B已染好时，C，D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420种．答案：4209．已知10件不同的产品中有4件次品，现对它们一一测试，直至找到所有4件次品为止．(1)若恰在第2次测试时，才测试到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？(2)若至多测试6次就能找到所有4件次品，则共有多少种不同的测试方法？解：(1)若恰在第2次测试时，才测到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，若是不放回地逐个抽取测试，第2次测到第一件次品有4种方法；第8次测到最后一件次品有3种方法；第3至第7次抽取测到最后两件次品共有Aeq\o\al(2,5)种方法；剩余4次抽到的是正品，共有Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,6)＝86400种抽法．(2)检测4次可测出4件次品，不同的测试方法有Aeq\o\al(4,4)种，检测5次可测出4件次品，不同的测试方法有4Aeq\o\al(3,4)Aeq\o\al(1,6)种；检测6次测出4件次品或6件正品，则不同的测试方法共有4Aeq\o\al(3,5)Aeq\o\al(2,6)＋Aeq\o\al(6,6)种．由分类计数原理，知满足条件的不同测试方法的种数为Aeq\o\al(4,4)＋4Aeq\o\al(3,4)Aeq\o\al(1,6)＋4Aeq\o\al(3,5)Aeq\o\al(2,6)＋Aeq\o\al(6,6)＝8520种．B组能力提升1．某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每个部门安排两名，则不同的安排方案种数为()A．40 B．60C．120 D．240解析：选B先将4名大学生分为两组，共有eq\f(C\o\al(2,4),2)＝3种，再将这两组大学生分到五个部门中的两个部门中，不同的安排方案有Aeq\o\al(2,5)种，∴不同的安排方案有3Aeq\o\al(2,5)＝60种．2．(2017·北京朝阳区期末)从0,1,2,3,4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是()A．6 B．8C．10 D．12解析：选C分两种情况：①两位数的个位数字为0，有Ceq\o\al(1,4)＝4个偶数；②两位数的个位数字不为0，若是偶数，则个位数字可以从2,4中选取，有Ceq\o\al(1,2)种，十位数字可以从除0外的3个数字中任选，有Ceq\o\al(1,3)种，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)＝6种选法．综上，偶数的个数是4＋6＝10.3．(2018·巢湖月考)周末一家4人：爸爸、妈妈和两个孩子一起去看电影，并排坐在连号的四个座位上，要求孩子旁边必须有大人陪着，则不同的坐法种数为()A．8 B．12C．16 D．20解析：选C4个人坐四个座位，共有Aeq\o\al(4,4)＝24种坐法，当孩子坐一起并且坐在最边上时，有一个孩子没有大人陪，共有(2＋2)Aeq\o\al(2,2)＝8种，∴孩子旁边必须有大人陪着，共有24－8＝16种坐法．4．在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为________．(结果用数字表示)解析：用排除法．若全是男生，只有1种选法，∴不同的选取方法种数为Ceq\o\al(5,9)－1＝126－1＝125.答案：1255．若甲、乙两人从6门课程中各选修3门，则甲、乙所选修的课程中至多有1门相同的选法种数为________．解析：根据题意，分两种情况讨论：①甲、乙所选的课程全不相同，有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(3,3)＝20种选法；②甲、乙所选的课程有1门相同，有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)＝180种选法．∴甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有20＋180＝200种．答案：2006．从一班50人中选5人，从二班52人中选5人，组成两个5人二组(一、二班混合选)，然后各选正、副组长各1人，共有多少种选法？(列式做答)解：先保证有10人入选，有Ceq\o\al(5,50)Ceq\o\al(5,52)种，分成两组有eq\f(C\o\al(5,10)C\o\al(5,5),A\o\al(2,2))种，然后选正副组长，有Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,5)种，故总共有Ceq\o\al(5,50)·Ceq\o\al(5,52)·eq\f(C\o\al(5,10)C\o\al(5,5),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(2,5).7．有六本不同的书，(1)全部借给5人，每人至少一本，共有多少种不同的借法？(2)全部借给3人，每人至少1本，共有多少种不同的借法？解：(1)6本不同的书全部借给5人，每人至少一本，即从6本书中选出2本书看做一本书，与其他4本书共5本书借给5人，每人一本，共有借法Ceq\o\al(2,6)Aeq\o\al(5,5)＝1800种．(2)分三类：①一人4本，其余2人各一本，有借法Ceq\o\al(4,6)Aeq\o\al(3,3)；②一人3本，一人2本，一人1本，有借