2024～2025学年度八年级数学上册第1课时 负整数指数幂教学设计

15.2.3整数指数幂第1课时负整数指数幂教学目标课题15.2.3第1课时负整数指数幂授课人素养目标1.知道负整数指数幂a－n＝eq\f(1,an)(a≠0，n是正整数).2.了解整数指数幂的意义和基本性质，会用文字和符号语言表述整数指数幂的基本性质，能根据整数指数幂的基本性质进行幂的运算.3.通过探索负整数指数幂的运算性质，让学生体会到从特殊到一般是研究数学的一个重要方法，培养学生抽象、归纳的能力.教学重点负整数指数幂的运算．教学难点运用整数指数幂的运算性质进行计算.教学活动教学步骤师生活动活动一：复习导入，引入新课设计意图温故知新，唤醒学生的知识体系，为本节课做知识的铺垫.【复习导入】温故知新，唤醒学生的知识体系，为本节课做知识的铺垫.我们知道，当n是正整数时，你能补全以下正整数指数幂的运算性质吗？(1)同底数幂的乘法：am·an＝am＋n(m，n是正整数)；(2)幂的乘方：(am)n＝amn(m，n是正整数)；(3)积的乘方：(ab)n＝anbn(n是正整数)；(4)同底数幂的除法：am÷an＝am－n(a≠0，m，n是正整数，m>n)；(5)商的乘方：(eq\f(a,b))n＝eq\f(an,bn)(n是正整数)；(6)0指数幂：a0＝1(a≠0).思考am中指数m可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂am表示什么？【教学建议】教师需待学生独立思考完成后再公布答案，激活学生原有的知识，体现学生的学习是在原有知识上自我生成的过程.活动二：实践探究、交流新知设计意图由问题引入，再从数到式，层层深入，通过可操作的数学活动让学生体验从特殊到一般的探究方法．并在探究中找到活动一的问题的答案，前后呼应.探究点1负整数指数幂问题在am÷an中，当m＝n时，产生0次幂，那么当m<n时，会出现怎样的情况呢？我们先来看看具体的例子：53÷55＝53－5＝5－2，53÷55＝eq\f(53,55)＝eq\f(1,52)，发现5－2＝eq\f(1,52).同样地，将数字换成字母，算一算“a3÷a5＝？”，你发现了什么？eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a3÷a5＝\f(a3,a5)＝\f(a3,a3·a2)＝\f(1,a2),a3÷a5＝a3－5＝a－2))eq\o(→,\s\up7(（a≠0）))a－2＝eq\f(1,a2)所以，我们想到如果规定a－2＝eq\f(1,a2)(a≠0)，就能使am÷an＝am－n这条性质也适用于像a3÷a5这样的情形．为使上述运算性质适用范围更广，同时也可以更简便地表示分式，数学中规定：【教学建议】教学中，应注意不要让学生产生误解，以为a－n＝eq\f(1,an)(n是正整数)是证明出来的，而要使学生认识到这是一种规定，这种规定是合理的.这样可以扩大原有的指数运算法则的适用范围.教学步骤师生活动设计意图例题的设计，底数由整数到负数再到分数，并让学生逐步掌握和理解底数符号与指数符号的差别.一般地，当n是正整数时，a－n＝eq\f(1,an)(a≠0)．这就是说，a－n(a≠0)是an的倒数．引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数．你现在能说出当m分别是正整数、0、负整数时，am各表示什么意思吗？答：对于am，设a≠0，则：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m为正整数时，am＝am；,m为0时，am＝1；,m为负整数时，am＝\f(1,a－m).))例计算：6－2＝eq\f(1,36)；－2－2＝－eq\f(1,4)；(－2)－3＝－eq\f(1,8)；(eq\f(1,3))－3＝27；(－eq\f(3,2))－1＝－eq\f(2,3)；b－4＝eq\f(1,b4)(b≠0)．解析：6－2＝eq\f(1,62)＝eq\f(1,36)；－2－2＝－eq\f(1,22)＝－eq\f(1,4)；(－2)－3＝eq\f(1,（－2）3)＝－eq\f(1,8)；(eq\f(1,3))－3＝eq\f(1,（\f(1,3)）3)＝27；(－eq\f(3,2))－1＝eq\f(1,－\f(3,2))＝－eq\f(2,3)；b－4＝eq\f(1,b4)(b≠0)．【对应训练】教材P145上面练习第1题．【教学建议】教师需提醒学生数学中定义a－n＝eq\f(1,an)(n是正整数)，从这个意义上说a－n属于分式．若学生不好理解，教师可以结合具体的例子加以说明．设计意图随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，通过逐一验证的方式，将正整数指数幂的运算性质推广到整数指数幂．让学生体验自主探究获得结论的成就感和愉悦感，从而牢固地掌握所学知识．探究点2整数指数幂及其运算问题1引入负整数指数和0指数后，am·an＝am＋n(m，n都是正整数)这条性质能否推广到m，n是任意整数的情形？a3·a－5＝eq\f(a3,a5)＝eq\f(1,a2)＝a－2＝a3＋(－5)，即a3·a－5＝a3＋(－5)．a－3·a－5＝eq\f(1,a3)·eq\f(1,a5)＝eq\f(1,a8)＝a－8＝a(－3)＋(－5)，即a－3·a－5＝a(－3)＋(－5)．a0·a－5＝1·eq\f(1,a5)＝eq\f(1,a5)＝a－5＝a0＋(－5)，即a0·a－5＝a0＋(－5)．教师归纳am·an＝am＋n这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用．问题2不仅仅是上面这个性质，活动一中的另外4个性质也都限定了指数的范围为正整数，现在我们希望把指数的范围扩大到全体整数，原来适合于正整数指数幂的其他运算性质，是否适合于全体整数指数幂？大家试着验证看看！验证幂的乘方(a－3)2＝(eq\f(1,a3))2＝eq\f(1,a6)＝a－6＝a(－3)×2，即(a－3)2＝a(－3)×2.归纳：(am)n＝amn这条性质，对于m，n是任意整数的情形仍适用．验证同底数幂的除法a－2÷a－4＝eq\f(1,a2)÷eq\f(1,a4)＝eq\f(1,a2)·a4＝a2＝a(－2)－(－4)，即a－2÷a－4＝a(－2)－(－4)【教学建议】大部分学生会忘记附上对指数取值范围的规定，学生对幂的指数的理解并不透彻，所以可以此为契机，引发学生对幂的指数的思考．【教学建议】在这个探究过程中，学生可能存在三个问题，老师需要引导解决：1．有些学生可能会选取2个正整数来进行验证，需要引导学生认识到，当数域进行推广之后，只要验证新推广的数对于性质是成立的就可以了．2．在验证幂的乘方教学步骤师生活动通过例题巩固知识点，使学生掌握基本的数学语言，规范其解题书写格式.对应训练是为巩固整数指数运算性质而设计的.归纳：am÷an＝am－n这条性质，对于m，n是任意整数的情形仍适用.验证分式的乘方(eq\f(a,b))－2＝(eq\f(b,a))2＝eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,a2)·b2＝a－2·eq\f(1,b－2)＝eq\f(a－2,b－2)，即(eq\f(a,b))－2＝eq\f(a－2,b－2).归纳：(eq\f(a,b))n＝eq\f(an,bn)这条性质，对于n是任意整数的情形仍适用.教师归纳：指数的范围扩大到全体整数后，活动一中所列的性质仍适用.即，整数指数幂有以下运算性质：(1)am·an＝am＋n(m，n是整数)；(2)(am)n＝amn(m，n是整数)；(3)(ab)n＝anbn(n是整数)；(4)am÷an＝am－n(a≠0，m，n是整数)；(5)(eq\f(a,b))n＝eq\f(an,bn)(n是整数)；(6)当a≠0时，a0＝1.由于负整数指数的出现，使得am÷an＝am·a－n＝am－n，(同底数幂的除法eq\o(→,\s\up7(转化))同底数幂的乘法)(eq\f(a,b))n＝(ab－1)n＝anb－n.(分式的乘方eq\o(→,\s\up7(转化))积的乘方)于是，整数指数幂的前5条运算性质，实际上可以合并为3条，即(1)am·an＝am＋n(m，n是整数)；(2)(am)n＝amn(m，n是整数)；(3)(ab)n＝anbn(n是整数).例(教材P144例9)计算：(1)a－2÷a5；(2)(eq\f(b3,a2))－2；(3)(a－1b2)3；(4)a－2b2·(a2b－2)－3.解：(1)a－2÷a5＝a－2－5＝a－7＝eq\f(1,a7)；(2)(eq\f(b3,a2))－2＝eq\f(b－6,a－4)＝a4b－6＝eq\f(a4,b6)；(3)(a－1b2)3＝a－3b6＝eq\f(b6,a3)；(4)a－2b2·(a2b－2)－3＝a－2b2·a－6b6＝a－8b8＝eq\f(b8,a8).【对应训练】教材P145上面练习第2题.这条性质时，学生可能会列举出(a－2)3和(a2)－3这两种形式，要帮助学生理解符号和指数在这里的含义.3.在验证分式的乘方这条性质时，要用到an＝eq\f(1,a－n)这个公式，需要给学生讲解.【教学建议】解对应训练中的习题时应直接应用这些性质，而不要先急于转化为分式形式，具体解题过程可以参考例题．但最后的结果通常要转化为分式的形式.活动三：知识延伸，补充新知设计意图例题是为补充和强化0次幂、负整数指数幂有意义的条件而设计的.知识，学会规范答题，感悟几何计算的严谨性，明白学习本节知识点的意义.例若(x－3)0－2(3x－6)－2有意义，则x的取值范围是什么？思路分析：解：根据题意，若(x－3)0有意义，则x－3≠0，即x≠3.若(3x－6)－2有意义，则3x－6≠0，即x≠2.所以x≠3且x≠2.【对应训练】若(x－1)－1＋x0有意义，则x取值范围应是x≠0且x≠1.【教学建议】教师强调：若要原式有意义，则底数不能为0.教学步骤师生活动活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.负整数指数幂的运算性质是什么？2.an的倒数是什么？3.整数指数幂的运算性质是什么？【知识结构】【作业布置】1.教材P147习题15.2第7题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．板书设计15.2.3整数指数幂第1课时负整数指数幂 1.负整数指数幂的运算性质. 2.幂的运算性质的推广．教学反思本节课是在学生学习了分式的基本性质及运算之后的教学，在复习正整数指数幂的有关运算性质后精心设置问题让学生探究发现结论并学习如何描述，加深学生对结论的理解，让学生自己发现与前面所学知识的不同，逐步完善运算性质的限制条件，不但调动了学生学习的积极性，同时也达到了预期效果.解题大招一含整数指数幂、0指数幂与绝对值的混合运算分别根据有理数的乘方、0指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算．例1计算：－22＋(－eq\f(1,2))－2－(2060－π)0－|－eq\r(9)|.解：－22＋(－eq\f(1,2))－2－(2060－π)0－|－eq\r(9)|＝－4＋4－1－3＝－4.解题大招二负整数指数幂比较大小的方法方法①：直接计算后进行比较．方法②：先转化为正整数指数幂，再将其化为底数或指数相同的幂进行比较．例2若a＝(－eq\f(2,3))－2，b＝(－1)－1，c＝(－eq\f(3,2))0，则a，b，c的大小关系是a＞c＞b.解析：∵a＝(－eq\f(2,3))－2＝(－eq\f(3,2))2＝eq\f(9,4)，b＝(－1)－1＝－1，c＝(－eq\f(3,2))0＝1，∴a＞c＞b.例3比较大小：81－31＜27－41.解析：81－31＝eq\f(1,8131)＝eq\f(1,34×31)＝eq\f(1,3124)，27－41＝eq\f(1,2741)＝eq\f(1,33×41)＝eq\f(1,3123).∵3124＞3123，∴eq\f(1,3124)＜eq\f(1,3123)，∴81－31＜27－41.培优点运用负整数指数幂的性质求待定字母的值例已知3m＝eq\f(1,27)，(eq\f(1,2))n＝16，求