爱提分中考复习 12二轮-动态几何-第02讲 动态几何（二）(教师版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学教师辅导讲义[教师版]学员姓名王李 年级辅导科目初中数学学科教师王涵上课时间01-1806:30:00-08:30:00 知识图谱动态几何（二）知识精讲一．圆中的动态问题动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味；另一类问题是直接考察圆中的动态问题，往往与直线和圆的位置关系，相似，勾股定理等结合起来考察，重点注意相似的综合应用。三点剖析一．考点：1．圆的相关计算；2．圆中最值问题，尤其与最短路径结合．二．重难点：1．圆的相关计算；2．圆中最值问题，尤其与最短路径结合．三．易错点：1．求动点的运动轨迹时，找不到动点的运动轨迹；2．圆中动线段/面积与函数结合时，分类讨论不完全．圆与动点问题例题例题1、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，，AD=13cm，BC=16cm，CD=5cm，以AB为直径作，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．（1）求的半径长．（2）求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数表达式，并求出当四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCD的面积．（3）是否存在某一时刻，使直线PQ与相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）过点D作于E，，四边形ADEB为矩形，．又，即AB=4，的半径为2cm．（2）当P、Q运动t秒时，AP=t，CQ=2t，则，即y=2t+26（），当四边形PQCD为等腰梯形时，过P作于F（如图一），则有，则．此时四边形PQCD 的面积．（3）存在．若PQ与圆相切，设切点为G（如图二），作于H在上，，∴AD切于A，∵PQ切于G，∴由切线长定理得：．QG=QB=16-2t，QH=QB-BH=（16-2t）-t=16-3t，PQ=QB+AP=16-t．在中，，即解得，．，当时，PQ与圆相切．例题2、如图，已知BC是的弦，A是外的一点，为正三角形，D为BC的中点，M为上一点，并且．（1）求证：AB是的切线；（2）若E，F分别是边AB，AC上的两个动点，且，的半径为2，试问的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）证明：连结OB、OD、OC，如图1，∵D为BC的中点，，为正三角形是的切线；（2）的值是为定值．作于H，连接AD，如图2为正三角形，D为BC的中点，∴AD平分，，在，在中，同理可得，的值是为定值．例题3、如图，有一直径MN=4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始位置=1\*ROMANI开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置=5\*ROMANV，其中，位置=1\*ROMANI中的MN平行于数轴，且半与数轴相切于原点O；位置=2\*ROMANII和位置=4\*ROMANIV中的MN垂直于数轴，位置=3\*ROMANIII中的MN在数轴上；位置=5\*ROMANV中的点N到数轴的距离为3，且半与数轴相切于点A．解答下列问题：（1）位置=1\*ROMANI中的MN与数轴之间的距离为；位置=2\*ROMANII中的半与数轴的位置关系是；（2）求位置=3\*ROMANIII中的圆心P在数轴上表示的数；（3）纸片半从位置=3\*ROMANIII翻滚到位置=4\*ROMANIV时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积；（4）求OA的长．（（2）、（3）、（4）中的结果保留）【答案】见解析．【解析】解：（1）∵的直径=4，∴的半径=2，∵与直线有一个交点，位置=1\*ROMANI中的MN与数轴之间的距离为2；位置=2\*ROMANII中的半与数轴的位置关系是相切；（2）位置=1\*ROMANI中的长与数轴上线段ON相等，∵的长为，NP=2∴位置=3\*ROMANIII中的圆心P在数轴上表示的数为．（3）点N所经过路径长为，，半所扫过图形的面积为．（4）如图，作NC垂直数轴于点C，作于点H，连接PA，则四边形PHCA为矩形．在中，，，于是，，从而的长为，于是的长为．例题4、如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是直径MN上一个动点，圆O的半径为1（1）找出当能得到最小值时，点P的位置，并证明；（2）求出最小值．BBAMNO【答案】（1）见解析（2）【解析】该题考查的是圆的综合．（1）过A作于E，联结……………1分∵MN过圆心O，∴，∴即，………………2分∵根据两点间线段最短，当，P，B三点共线时，此时为最小值，…3分∴P位于与MN的交点处，…………4分（2）∵点A是半圆上的一个三等分点，∴，……………5分∵点B是弧AN的中点∴，，………6分∵，∴，即最小值为．……………7分AA’E例题5、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5．点E为线段CD上一动点（不与点C重合），△BCE关于BE的轴对称图形为△BFE，连接CF．设CE=x，△BCF的面积为S1，△CEF的面积为S2．（1）当点F落在梯形ABCD的中位线上时，求x的值；（2）试用x表示，并写出x的取值范围；（3）当△BFE的外接圆与AD相切时，求的值．【答案】（1）（2）（3）139-80【解析】（1）当点F落在梯形ABCD中位线上时，如答图1，过点F作出梯形中位线MN，分别交AD、BC于点M、N．由题意，可知ABCD为直角梯形，则MN⊥BC，且BN=CN=BC．由轴对称性质，可知BF=BC，∴BN=BF，∴∠BFN=30°，∴∠FBC=60°，∴△BFC为等边三角形．∴CF=BC=4，∠FCB=60°，∴∠ECF=30°．设BE、CF交于点G，由轴对称性质可知CG=CF=2，CF⊥BE．在Rt△CEG中，x=CE===．∴当点F落在梯形ABCD的中位线上时，x的值为．（2）如答图2，由轴对称性质，可知BE⊥CF．∵∠GEC+∠ECG=90°，∠GEC+∠CBE=90°，∴∠GCE=∠CBE，又∵∠CGE=∠ECB=90°，∴Rt△BCE∽Rt△CGE，∴=，∴CE2=EG•BE①同理可得：BC2=BG•BE

②①÷②得：==．∴====．∴=（0＜x≤5）．（3）当△BFE的外接圆与AD相切时，依题意画出图形，如答图3所示．设圆心为O，半径为r，则r=BE=．设切点为P，连接OP，则OP⊥AD，OP=r=．过点O作梯形中位线MN，分别交AD、BC于点M、N，则OM为梯形ABED的中位线，∴OM=（AB+DE）=（3+5-x）=（8-x）．过点A作AH⊥CD于点H，则四边形ABCH为矩形，∴AH=BC=4，CH=AB=3，∴DH=CD-CH=2．在Rt△ADH中，由勾股定理得：AD===2．∵MN∥CD，∴∠ADH=∠OMP，又∵∠AHD=∠OPM=90°，∴△OMP∽△ADH，∴=，即=，化简得：16-2x=，两边平方后，整理得：x2+64x-176=0，解得：x1=-32+20，x2=-32-20（舍去）∵0＜-32+20≤5∴x=-32+20符合题意，∴==139-80．随练随练1、如图直角坐标系中，以M（3,0）为圆心的交X轴负半轴于A，交x轴正半轴于B，交y轴于C、D．（1）若C点坐标为（0，4），求点A坐标；（2）在（1）的条件下，在上，是否存在点P，使，若存在，求出满足条件的点P；（3）过C作的切线CE，过A作于F，交于N，当的半径大小发生变化时．AN的长度是否变化？若变化，求变化范围，若不变，证明并求值．【答案】（1）；（2），；（3）6．【解析】解：（1）根据题意，连接CM，又，；故CM=5，即的半径为5；∴MA=5，且；即得；（2）假设存在这样的点P（x，y），结合题意，可得为等腰直角三角形，且CM=PM=5，故；结合题意有，解之得：，即存在两个这样的点P；，（3）AN的长不变为6．证明：连接CM，作于H，易证，故，即．随练2、已知：中，，CD为AB边上的中线，AC=6cm，BC=8cma；点O是线段CD边上的动点（不与点C、D重合）；以点O为圆心、OC为半径的交AC于点E，于F．（1）求证：EF是的切线．（如图1）（2）请分析与直线AB可能出现的不同位置关系，分别指出线段EF的取值范围（图2供思考用）【答案】见解析．【解析】解：（1）证明：在中，∵CD是斜边中线，∴CD=AD，∴又∵OE=OC，∴，∴，又∵于F，是的切线；（2），即，设，则∵即，过点O作，则四边形OEFG为矩形．=1\*GB3①当EF=OE时，圆O与AB相切，，解得；=2\*GB3②当时，AB与圆O相交，，解得；则；=3\*GB3③当时，AB与圆O相离，，解得，故．随练3、如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，，AB=12cm，AD=8cm，BC=22cm，AB为的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，PQ与相切？【答案】（1）；（2）2．【解析】∵直角梯形ABCD，AD//BC，∴PD//QC，∴当PD=QC时，四边形PQCD为平行四边形；∵AP=t，CQ=2t，∴8-t=2t，解得：．∴当时，四边形PQCD为平行四边形．（2）设PQ与相切于点H，过点P作，垂足为；∵直角梯形ABCD，AD//BC，，，，，为的直径，、BC为的切线，，；在中，，即，；∵P在AD边运动的时间为，（舍去）∴当t=2秒时，PQ与相切．随练4、在平面直角坐标系xOy中，已知，，于点A，，于点B，，以AB为直径的半圆O上有一动点P（不与A、B两点重合），连接PD、PC，我们把由五条线段AB、BD、DP、PC、CA所组成的封闭图形ABDPC叫做点P的关联图形，如图1所示．（1）如图2，当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，求点P的关联图形的面积；（2）如图3，连接CD、OC、OD，判断△OCD的形状，并加以证明；（3）当点P运动到什么位置时，点P的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值【答案】（1）12（2）见解析（3）【解析】该题考查的是新定义问题．（1）∵，∴，∵P是半圆O上的动点，P在y轴上，∴，，∵，∴四边形AOPC是正方形，∴正方形的面积是4，又∵，BD=6，∴梯形OPDB的面积，∴点P的关联图形的面积是12．2分（2）判断△OCD是直角三角形3分证明：延长CP交BD于点F．则四边形ACFB为矩形，∴，，又∵四边形AOPC是正方形，∴，∴，∴，∴△OCD是直角三角形5分（3）连接OC交半圆O于点P，则点P记为所确定的点的位置，6分理由如下：连接CD，梯形ACDB的面积为定值，要使点P的关联图形的面积最大，就要使△PCD的面积最小，∵CD为定长，∴P到CD的距离就要最小．连接OC，设交半圆O于点P，∵，，∴，过C作于F，则ACFB为矩形，∴，，∴，，∴PC在半圆外，设在半圆O上的任意一点到CD的距离为，则，∵，∴，∴当点P运动到半圆O与OC的交点位置时，点P的关联图形的面积最大，7分∵，，∴，又∵，∴点P的关联图形的最大面积，随练5、已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）．（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）当t＞1时，b=2+a；当0＜t≤1时，b=2-a（3）t=或t=或t=2+【解析】证明：（1）如图，连接PM，PN，∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，∵PE⊥PF，∠NPE=∠MPF=90°-∠MPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PE=PF；（2）解：分两种情况：①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，如图1，由（1）得△PMF≌△PNE，∴NE=MF=t，PM=PN=1，∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE-ON=t-1，∴b-a=1+t-（t-1）=2，∴b=2+a，②0＜t≤1时，如图2，点E在y轴的正半轴或原点上，同理可证△PMF≌△PNE，∴b=OF=OM+MF=1+t，a=OE=ON-NE=1-t，∴b+a=1+t+1-t=2，∴b=2-a．综上所述，当t＞1时，b=2+a；当0＜t≤1时，b=2-a；（3）存在；①如图3，当1＜t＜2时，∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，M的坐标为（1，0），∴F′（1-t，0）∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，∴Q（1-t，0）∴OQ=1-t，由（1）得△PMF≌△PNE∴NE=MF=t，∴OE=t-1当△OEQ∽△MPF∴=∴=，解得，t=，当△OEQ∽△MFP时，∴=，=，解得，t=，②如图4，当t＞2时，∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，∴F′（1-t，0）∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，∴Q（1-t，0）∴OQ=t-1，由（1）得△PMF≌△PNE∴NE=MF=t，∴OE=t-1当△OEQ∽△MPF∴=∴=，无解，当△OEQ∽△MFP时，∴=，=，解得，t=2+，t=2-（舍去）所以当t=，t=，t=2+时，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似．随练6、如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm/s，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为____°；（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．【答案】（1）105（2）2+6（3）2-＜t＜2+2【解析】（1）∵l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，∴∠OAD=45°，∵AB=4cm，AD=4cm，∴CD=4cm，∴tan∠DAC===，∴∠DAC=60°，∴∠OAC的度数为：∠OAD+∠DAC=105°，故答案为：105；（2）如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设⊙O1与l1的切点为E，连接O1E，可得O1E=2，O1E⊥l1，在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，C1D1=4，∴tan∠C1A1D1=，∴∠C1A1D1=60°，在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°，∴A1E==，∵A1E=AA1-OO1-2=t-2，∴t-2=，∴t=+2，∴OO1=3t=2+6；（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，如图，此时⊙O移动到⊙O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置，设⊙O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，∴O2F⊥l1，O2G⊥A2C2，由（2）得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°，∴∠O2A2F=60°，在Rt△A2O2F中，O2F=2，∴A2F=，∵OO2=3t1，AF=AA2+A2F=4t1+，∴4t1+-3t1=2，∴t1=2-，②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，∴+2-（2-）=t2-（+2），解得：t2=2+2，综上所述，当d＜2时，t的取值范围是：2-＜t＜2+2．拓展拓展1、如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；②求点G移动路线的长．【答案】见解析．【解析】解：（1）证明：如图1，∵CE为⊙O的直径，∴∠CFE=∠CGE=90°．∵EG⊥EF，∴∠FEG=90°．∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°．∴四边形EFCG是矩形．（2）①存在．连接OD，如图2①，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=90°．∵点O是CE的中点，∴OD=OC．∴点D在⊙O上．∵∠FCE=∠FDE，∠A=∠CFE=90°，∴△CFE∽△DAB．∴∵AD=4，AB=3，∴BD=5，．∴．∵四边形EFCG是矩形，∴FC∥EG．∴∠FCE=∠CEG．∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE，∴∠GDC=∠FDE．∵∠FDE+∠CDB=90°，∴∠GDC+∠CDB=90°．∴∠GDB=90°Ⅰ．当点E在点A（E′）处时，点F在点B（F′）处，点G在点D（G′处，如图2①所示．此时，CF=CB=4．Ⅱ．当点F在点D（F″）处时，直径F″G″⊥BD，如图2②所示，此时⊙O与射线BD相切，CF=CD=3．Ⅲ．当CF⊥BD时，CF最小，此时点F到达F″′，如图2③所示．．∴4×3=5×CF″′．∴CF″′=．∴≤CF≤4．∵，∴．∴．∴矩形EFCG的面积最大值为12，最小值为．②∵∠GDC=∠FDE=定值，点G的起点为D，终点为G″，∴点G的移动路线是线段DG″．∵∠GDC=∠FDE，∠DCG″=∠A=90°，∴△DCG″∽△DAB．∴．∴．∴．∴点G移动路线的长为．拓展2、如图1，在平面直角坐标系中，与X轴切于A（-3，0）于y轴交于B、C两点，BC=8，连AB．（1）求证：；（2）求AB的长；（3）如图2，过A、B两点作与y轴正半轴交于M，与的延长线交于N，当的大小变化时，得出下列两个结论：=1\*GB3①BM-BN的值不变；=2\*GB3②BM+BN的值不变．其中有且只有一个结论正确，请判断正确结论并证明．【答案】（1）见解析；（2）；（3）不变．【解析】（1）连接，则，又，又∵，；（2）作于点E，为BC的中点，∵，，在直角三角形中，根据勾股定理得：在直角三角形AOB中，根据勾股定理得：（3）=1\*GB3①BM-BN的值不变，理由为：证明：在MB上取一点G，使MG=BN，连接AM、AN、AG、MN，∵为四边形ABMN的外角，∴，又，∴，又∵和都为所对的圆周角，在和中，，，其值不变．拓展3、如图1，在平面直角坐标系中，与X轴切于A（-3，0）于y轴交于B、C两点，BC=8，连AB．（1）求证：；（2）求AB的长；（3）如图2，过A、B两点作与y轴正半轴交于M，与的延长线交于N，当的大小变化时，得出下列两个结论：=1\*GB3①BM-BN的值不变；=2\*GB3②BM+BN的值不变．其中有且只有一个结论正确，请判断正确结论并证明．【答案】（1）见解析；（2）；（3）不变．【解析】（1）连接，则，又，又∵，；（2）作于点E，为BC的中点，∵，，在直角三角形中，根据勾股定理得：在直角三角形AOB中，根据勾股定理得：（3）=1\*GB3①BM-BN的值不变，理由为：证明：在MB上取一点G，使MG=BN，连接AM、AN、AG、MN，∵为四边形ABMN的外角，∴，又，∴，又∵和都为所对的圆周角，在和中，，，其值不变．拓展4、如图的外接圆，，的平分线交于D．（1），，求的半径R和AD、BD的长．（2）若点C在移动（但不与A、B重合），试探究的值是否发生变化？若不变，求其值．若变化，请说明理由．（若为内心，，试求）【答案】（1）；（2）．【解析】解：（1），是的直径，由勾股定理得：∴的半径R为5cm，∵AB是的直径，，∵CD平分设，由勾股定理得：则，（2）如图1，过A作于E，过B作于F，和是等腰直角三角形，，，，，，∴当点C在移动（但不与A、B重合），的值不发生变化，等于如图2，为内心，，∴是内切圆的半径，则，由图1得：，．拓展5、阅读材料如图1，若点P是⊙O外的一点，线段PO交⊙O于点A,则PA长是点P与⊙O上各点之间的最短距离.图图1图2证明：延长PO交⊙O于点B，显然PB>PA.如图2，在⊙O上任取一点C（与点A，B不重合），连结PC，OC.∴PA长是点P与⊙O上各点之间的最短距离.由此可以