第4讲解三角形

第4讲解三角形【复习目录】一、余弦定理解三角形二、正弦定理解三角形三、三角形面积公式及其应用四、化角为边判断三角形形状五、化边为角判断三角形形状六、判断三角形解的个数七、正、余弦定理的实际应用八、解三角形综合小题九、边角互化十、利用基本不等式求范围问题十一、利用三角函数值域求范围问题十二、正、余弦定理在几何图形中的计算【知识归纳】1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.三角形常用面积公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．【题型归纳】题型一、余弦定理解三角形1．（2223高二上·内蒙古乌兰察布·期末）在中，角、、对的边分别为、、．若，，，则角等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，由余弦定理代入计算，即可得到结果.【详解】由余弦定理可得，，故.故选：A.2．（2223高一下·辽宁铁岭·期末）在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若，，，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】由余弦定理求解即可.【详解】由余弦定理得：，即，解得：（舍）或，∴.故选：C3．（2223高一下·山东青岛·期末）记的三个内角、、的对边分别为、、，若，，，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】因为，，，由余弦定理可得，可得，由三角形的面积公式可得.故选：B.题型二、正弦定理解三角形4．（2223高一下·安徽宣城·期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（

）A． B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】利用正弦定理求出，进而得出答案．【详解】因为，，，所以由正弦定理得，得，因为，，所以，所以或，则或．故选：D．5．（2223高一下·广东揭阳·期中）在中，内角所对的边分别是.已知，则的大小为（

）A．或 B． C．或 D．【答案】C【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．【详解】，，，则由正弦定理可得，，，，，的大小为或．故选：C．6．（2223高一下·江苏淮安·期中）在中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则的面积为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据正弦和角公式求出，再用正弦定理得到，进而运用三角形面积公式计算面积.【详解】由题意得，，在中，由正弦定理得，，所以，又因为所以的面积为.故选：B题型三、三角形面积公式及其应用7．（2324高一下·江苏常州·期中）在中，若，，，则的面积为（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】先利用余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可得解.【详解】在中，若，，，由余弦定理得，即，解得（舍去），所以.故选：A.8．（2223高一下·河南南阳·期末）已知△ABC中，，且△ABC的面积为，则△ABC的边AB上的中线长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意利用正弦定理可得，结合面积公式可得，再根据向量可知，结合数量积的运算律求模长.【详解】由正弦定理可得：，设，由面积公式，即，解得，则，设边AB上的中线为，则，可得，即.故选：B.9．（2223高一下·山东菏泽·期末）在中，内角对边分别为，且，当时，的面积是（

）A． B． C． D．3【答案】B【分析】利用正弦定理的边角变换与三角函数的性质求得角，从而利用三角形面积公式即可得解.【详解】因为，由正弦定理得，又，则，所以，又显然，即，所以，又，所以，所以的面积为.故选：B.题型四、化角为边判断三角形形状10．（2324高一下·福建泉州·期中）已知的内角的对边分别是，若，则（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】由同角的三角函数关系求出，根据正弦定理求得，（R为外接圆半径），再根据正弦定理边化角，即可求得答案.【详解】因为，所以，在中，由正弦定理（R为外接圆半径），则.故选：D.11．（2223高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知在中，角，，所对的边分别为，，，若，则一定是（

）A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】利用正弦定理的边角关系，将已知条件化为，结合三角形内角性质确定关系，即可得三角形形状.【详解】由题设，则，又，则，故，即.所以一定是等腰三角形.故选：A12．（2223高一下·安徽亳州·期末）在，其内角，，的对边分别为，，，若，则的形状是（

）A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【分析】由正弦定理边角互化得，进而移项整理得，再结合得或，进而得答案．【详解】因为，根据正弦定理边角互化得，所以，所以，所以，即，所以或，所以或，即的形状是等腰或直角三角形．故选：D题型五：化边为角判断三角形形状13．（2223高一下·天津·期末）已知中，角所对的边分别是，若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】将化简并结合余弦定理可得的值，再对结合正、余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状.【详解】由，得，整理得，则，因为，所以，又由及正弦定理得：，化简得，所以为等边三角形，故选：C.14．（2223高一下·四川凉山·期末）中，若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】利用正余弦定理边角化及两角和的正弦公式，结合三角形的内角和定理和三角函数的特殊值对应的特殊角即可求解.【详解】由及正余弦定理，得，化简得，将代入，得，即，由及正弦定理，得,因为,所以，所以，即，所以，故是等边三角形.故选：B.15．（2223高一下·江苏宿迁·期末）在中，角所对的边分别为．若，则为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【分析】利用余弦定理角化边，然后因式分解可得.【详解】由余弦定理可得：，即，整理得：，得或，所以为等腰或直角三角形.故选：D题型六、判断三角形解的个数16．（2223高一下·浙江台州·期末）在中角所对的边分别为，若，，，则（

）A．当时， B．当时，有两个解C．当时，只有一个解 D．对一切，都有解【答案】C【分析】由正弦定理、正弦函数的性质计算可得.【详解】因为，，，所以由正弦定理，即，当时，又，所以或，故A错误；当时，又，此时无解，故B、D错误；当时，则，又，此时只有一解，即只有一个解，故C正确；故选：C17．（2122高一下·福建莆田·期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】由三角形内角和可判断A项，由三角形中大边对大角可判断B项，由正弦定理解三角形可判断C项，由余弦定理解三角形可判断D项.【详解】对于A项，由，，可得，所以三角形只有一解；对于B项，由，，，可得，所以，此时三角形有唯一的解；对于C项，由正弦定理，可得，可得B有两解，所以三角形有两解；对于D项，由余弦定理得，可得c有唯一的解，所以三角形只有一解．故选：C．18．（2122高一下·河南开封·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，，，，若满足条件的三角形有1个，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先由正弦定理得，再结合满足条件的三角形有1个得或，即可求解.【详解】由正弦定理得，则，又满足条件的三角形有1个，则或，解得或.故选：B.题型七、正、余弦定理的实际应用19．（2324高一下·江苏无锡·期中）如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一平面内的两个观测点C与D，现测得，，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，则该铁塔的高度约为（

）（参考数据：，，，）

A．40米 B．14米C．48米 D．52米【答案】C【分析】在中利用正弦定理求，再在中求.【详解】在中，由题意可得，则，，由正弦定理可得，在中，可得，所以该铁塔的高度约为48米.故选：C.20．（2023·山西·模拟预测）中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（

）

A．74m B．60m C．52m D．91m【答案】A【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出，从而得到的长度.【详解】在中，，，，在中，，由，，在中，.故选：A21．（2223高一下·辽宁鞍山·期末）如图，小明想测量自己家所在楼对面的电视塔的高度，他在自己家阳台M处，M到楼地面底部点N的距离为，假设电视塔底部为E点，塔顶为F点，在自己家所在的楼与电视塔之间选一点P，且E，N，P三点共处同一水平线，在P处测得阳台M处、电视塔顶处的仰角分别是和，在阳台M处测得电视塔顶F处的仰角，假设，和点P在同一平面内，则小明测得的电视塔的高为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可得，在中利用正弦定理可求，进而在中求得结果.【详解】在中，，在中，，，则，由正弦定理，可得，在中，(m).故选：A.题型八、解三角形综合小题22．（2324高一下·江苏南通·期中）在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理将边化角，再结合三角恒等变换公式得到，从而，再由正弦定理将边化角，转化为的三角函数，由的范围计算可得.【详解】因为，则由正弦定理得，又，所以，则，又，，则所以或，即或（舍去），则，所以，解得，则，所以，所以的取值范围是．故选：D．【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是利用正弦定理将边化角，得到、，最后将转化为关于的三角函数.23．（2223高一下·贵州安顺·期末）锐角中，内角、、的对边分别为、、，为的面积，且，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量数量积的定义以及三角形的面积公式可求得的值，结合角的取值范围可得出角的值，根据为锐角三角形求出角的取值范围，在利用正弦定理结合正弦函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】因为，即，即，因为为锐角三角形，则，所以，，则，因为，由正弦定理可得，由已知可得，解得，则，因此，.故选：B.24．（2223高一下·福建龙岩·期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，则周长的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出，可得，由正弦定理得的周长为，再求出，进而可得答案.【详解】因为所以，∵，∴，，∵，∴，，∴，∴，由正弦定理得∴，，所以的周长为∵，∴的周长为，故选：B.题型九、边角互化25．（2324高一下·上海·期中）的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，则=.【答案】/【分析】由正弦定理化角为边，得，再由余弦定理化边为角即可求解.【详解】由结合正弦定理得，则，即，由余弦定理有，而，所以.故答案为：.26．（2223高一下·重庆渝中·期末）设中角所对的边分别为，，，为边上的中线；已知且，．则．【答案】/【分析】根据题意利用正、余弦定理分析可得，由结合数量积相关运算整理得关于的方程，运算求解即可.【详解】因为，且，由正弦定理可得：，由余弦定理可得：，整理得，又因为D为中点，所以，设的夹角为θ，则，即，且，因为，则为锐角，可知，可得，解得或（舍去）所以，整理得，解得或，且，即，所以，所以.故答案为：.

【点睛】关键点睛：对于等分点问题，常利用向量的线性运算以及数量积建立关系，运算求解即可.27．（2122高一下·辽宁沈阳·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则.【答案】/【分析】根据由正弦定理化边为角化简可得，再利用三角形面积公式和余弦定理化简可得，即可求出.【详解】因为，由正弦定理可得，即，即，因为，所以，因为，所以，因为，即，因为，所以，所以.故答案为：.题型十、利用基本不等式求范围问题28．（2324高一下·广东·期末）已知的三个内角所对的边分别为，满足．(1)求；(2)若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）边化角，将变形为的形式，进而求得，可得；（2）法一，应用正弦定理将转化为，结合为锐角三角形，求得，即可得解；法二，由为锐角三角形，采用余弦定理得到，求出，求得，即可得解.【详解】（1）已知，由正弦定理得：，，得，又，即，即，又因为，所以，且，所以，即．（2）法一：由正弦定理得：，即，且，，即．而由为锐角三角形，，，得，所以，即．所以，且，所以的周长的取值范围为．法二：由，不妨设，则，由为锐角三角形，只需，由余弦定理得：，即．又．（*）所以，得：，解得．由（*）式得：，所以，且，所以的周长的取值范围为．29．（2223高一下·安徽六安·期末）从条件①；②中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.在中：内角的对边分别为，______.(1)求角的大小；(2)设为边的中点，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）若选①，利用正弦定理边化角，结合辅助角公式可整理得到，由角的范围可求得；若选②，利用二倍角和辅助角公式可化简求得，由角的范围可求得；（2）由，平方后可用表示出，结合基本不等式可求得最大值.【详解】（1）若选条件①：由正弦定理得：，，，，，即，，又，，，解得：；若选条件②：，，，，，，解得：.（2），，即，（当且仅当时取等号），的最大值为.30．（2223高一下·甘肃酒泉·期末）已知函数.(1)若，求函数的值域；(2)设三角形中，内角、、所对边分别为、、，已知，且锐角满足，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，由可求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得函数的值域；（2）由已知条件可得出，结合角的取值范围可得出角的值，利用余弦定理结合基本不等式可得出的最大值，再结合三角形三边关系即可得出的取值范围.【详解】（1）解：，当时，，则，故，当时，函数的值域为.（2）解：因为，可得，因为，则，所以，，解得，因为，由余弦定理可得，可得，当且仅当时，等号成立，又因为，故，故的取值范围是.题型十一、利用三角函数值域求范围问题31．（2223高二下·湖南郴州·期末）在锐角中，内角所对的边分别为，若满足．(1)求角的大小；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理边角互化来处理；（2）利用正弦定理，将用角来表示，结合正弦函数的单调性处理.【详解】（1）由余弦定理，，整理可得，又，而，解得.（2）由正弦定理，，于是，，故.由是锐角三角形可知：，解得，则，根据正弦函数在上递增，在上递减，故在上的值域为，故32．（2223高一下·四川成都·期末）已知函数．(1)求的最小正周期和对称中心；(2)已知锐角的三个角的对边分别为，若，求周长的最大值．【答案】(1)的最小正周期为，对称中心为.(2)【分析】（1）化简，根据正弦函数的最小正周期公式和对称中心可求出结果；（2）由，为锐角得，根据的范围求出的最大值后可得周长的最大值.【详解】（1）.的最小正周期为，令，，得，，所以的对称中心为.（2）由，得，因为为锐角三角形，，所以，所以，.因为，，所以，同理得，所以，因为，且，所以，所以，所以当，即时，取得最大值为，从而取得最大值为.即周长的最大值为.33．（2223高一下·黑龙江牡丹江·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.(1)求角B；(2)若，求周长的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理，作边化角处理，然后化简可求解.（2）利用正弦定理，可得周长，化简后，利用三角函数的性质可求得周长的范围.【详解】（1）因为，整理得，，，，，可得，，，，最后可得，（2），，周长，，，，周长的范围为题型十二、正、余弦定理在几何图形中的计算34．（2324高一下·广东佛山·期中）四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，.(1)求的大小；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理化简得到，再由，两式相除求得，即可求解；（2）根据题意，利用，求得，结合余弦定理，即可求解.【详解】（1）在中，由正弦定理得，所以，因为，两式相除得，所以，又因为，可得，所以.（2）因为，所以，又因为平分，可得，因为，且，，所以，即，解得，在中，由余弦定理得，所以.35．（2223高一下·云南玉溪·期末）如图，在梯形中，，，．

(1)求CD；(2)平面内点P在直线CD的上方，且满足，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）设，在与中分别利用余弦定理得到关于的方程，解得即可；（2）首先求出，即可得到，再利用基本不等式计算可得.【详解】（1）∵，，∴，在中，记，由余弦定理得，在中，，由得，即，解得或，∵与梯形矛盾，舍去，又，∴，即．（2）由（1）知，故，，故，在中，，∵，（当且仅当时，等号成立）．∴，故当时，取得最大值．

36．（2223高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．

(1)选__________，求角B的大小；(2)如图，作，设，使得四边形满足，，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）选①，利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，即可求得答案；选②，利用正弦定理角化边，结合余弦定理化简，即可求得答案；选③，利用三角形面积公式以及数量积的定义，化简求值，即得答案.（2）解三角形求出的表达式，结合三角恒等变换，即可求得的表达式，结合角的范围，根据正弦函数性质，即可求得答案.【详解】（1）选①，则，即，由于，故，而，故；选②，则，故，则，而，故；选③，则，即，即，故，又，故；（2）设，，则，在中，，则，在中，，则，因为，故，，则，即的取值范围为.【专题强化】一、单选题37．（2324高一下·江苏南通·期中）一艘船以32nmile/h的速度向正北方向航行．从A处看灯塔S位于船北偏东的方向上，30分钟后船航行到B处，从B处看灯塔S位于船北偏东的方向上，则灯塔S与B之间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】确定中的已知边与角，利用正弦定理，即可求得结果.【详解】由题意知，，，由正弦定理得，，解得.故选：B.38．（2223高一下·甘肃临夏·期末）已知的外接圆半径为4，，，则的面积S为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据正弦定理、面积公式、二倍角的正弦公式求解.【详解】由，，解得，由正弦定理可得，，所以，，.故选：D39．（2223高一下·吉林·期末）在中，，，，的角平分线交BC于D，则（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】根据余弦定理求得的长，再利用，即可求得答案.【详解】在中,由余弦定理得,

则，即，解得，（负值舍），而AD平分，即，又，故，则，故选：B40．（2223高一下·陕西宝鸡·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，，，则（

）A． B． C．4 D．【答案】D【分析】根据正弦定理面积公式和余弦定理求解即可.【详解】因为的面积为，，所以，即.所以，所以.故选：D.41．（2223高一下·福建福州·期末）瑞云塔位于福清市融城东南龙首桥头，如图，某同学为测量瑞云塔的高度MN，在瑞云塔的正东方向找到一座建筑物AB，高约为17.3m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，瑞云塔顶部M的仰角分别为和，在A处测得瑞云塔顶部M的仰角为，瑞云塔的高度约为（

）

A．39m B．34.6m C．33m D．32m【答案】B【分析】由题意，由直角三角形的性质，可得AC的大小，在△AMC中，由正弦定理可得MC的大小，进而在Rt△MNC中，求出MN的大小．【详解】在Rt△ABC中，，由题意可得，由图知，，所以，在△AMC中，由正弦定理可得：即，解得在Rt△MNC中，如图可得故选：B．42．（2223高一下·宁夏银川·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则角A的大小为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件结合正、余弦定理求出即可得解.【详解】在中，由正弦定理进行角换边得，再由余弦定理得，而，所以.故选：D.43．（2223高一下·广西南宁·期末）△ABD、△BCE、△CAF是3个全等的三角形，用这3个三角形拼成如图所示的2个等边三角形△ABC、△DEF，若，.，则DF＝（

）

A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】根据正三角形面积公式可得，再根据正余弦定理分别计算即可.【详解】由题意，等边中，解得.等边，故，则.又为锐角，故，由正弦定理，即，解得，由全等可得.由余弦定理有即，即，故.故.故选：C44．（2223高一下·江西景德镇·期末）已知的内角，，的边分别对应，，，若，为中点，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，再由余弦定理求出，即可得到，最后由勾股定理计算即可．【详解】中，，由正弦定理可得：，又在三角形中，，所以，可得，由，，则，即，则有，为中点，若，，则，，中，，，由余弦定理，整理得，解得，则，，如图所示，

所以在中，，则.故选：B二、多选题45．（2223高一下·甘肃临夏·期末）在中，，，，D为线段上的点，则下列说法正确的是（

）A．B．若D为的中点，则C．若为的平分线，则D．若，则【答案】AC【分析】根据向量的数量积的运算公式，可判定A正确；结合，结合模的计算公式，可判定B错误；在和中，利用正弦定理，可判定C正确；根据三角形的面积公式，求得的长，结合三角函数的定义，可判定D错误.【详解】在中，因为，且D为线段上的点，对于A中，由，且，所以，所以A正确；对于B中，由D为的中点，可得，则，所以，所以B错误；对于C中，由为的平分线，可得且，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，两式相除，可得，所以C正确；

对于D中，在中，由余弦定理得即，所以，又由三角形的面积公式，可得，解得，可得，所以，所以D错误.故选：AC.

46．（2223高一下·辽宁鞍山·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列叙述正确的是（

）A．若，，，则满足条件的三角形有且只有一个B．若，则为钝角三角形C．若不是直角三角形，则D．若，则为等腰三角形【答案】ABC【分析】A选项，根据得到满足条件的三角形只有一个；B选项，由正弦定理和余弦定理得到，B正确；C选项，利用化简得到答案；D选项，变形得到，由余弦定理和倍角公式得到，从而得到或.【详解】对于A，由，则，又，知满足条件的三角形只有一个，故A正确；对于B，，即，A为钝角，故B正确；对于C，因为不是直角三角形，所以均有意义，又，所以，所以，故C正确；对于D，，即，由正余弦定理可得，则，所以或，故D错误.故选：ABC.47．（2223高一下·辽宁沈阳·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（

）A．B．若，则该三角形周长的最大值为6C．若角A的平分线AD交BC于D，且AD＝2，则D．若的面积为2，a，b，c边上的高分别为，且，则的最大值为【答案】BCD【分析】由商数关系、正弦定理、三角恒等变换化简可得，可得的大小，即可判断A；由正弦定理可得，则由三角恒等变换可化简得，由正弦函数的性质可得周长的最值，即可判断B；由三角形面积可得，结合基本不等式求最值可判断C；根据面积公式及余弦定理结合基本不等式可得的范围，从而可得的取值范围，即可判断D.【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，又因为，所以，化简可得，又，可得，又，故，即选项A错误；对于B，若，又，由正弦定理得，所以，则因为，所以，所以则的最大值为，故B正确；对于C，

因为若是的角平分线，且，故，而，所以，得，所以，则当且仅当，即时，等号成立所以，故C正确；对于D，由题意可得，所以，则，又因为，所以由余弦定理得，当且仅当时等号成立所以，所以，故D正确.故选：BCD.48．（2223高一下·安徽宣城·期末）已知的内角A，B，C所的对边分别为a，b，c，其中，，，下列四个命题中正确的是（

）A．是钝角三角形 B．面积为C．外接圆面积为 D．若D为AB中点，则【答案】ABD【分析】对于A，由已知可知最大，所以利用余弦定理求出进行判断，对于B，由求出，然后利用面积公式求解，对于C，利用正弦定理求出三角形外接圆的半径，从而可求出三角形的面积，对于D，在中利用余弦定理求解.【详解】对于A，因为，，，所以，所以，因为，所以角为钝角，所以是钝角三角形，所以A正确，对于B，由选项A可知，角为钝角，所以，所以面积为，所以B正确，对于C，由正弦定理得，所以外接圆半径为，所以外接圆面积为，所以C错误，对于D，因为D为AB中点，所以，在中，由余弦定理得，，所以，所以D正确，故选：ABD49．（2223高一下·贵州黔东南·期末）已知的内角所对的分别是，且，是外一点，若，，则下列说法正确的是（

）A．B．若，则四点共圆C．是等边三角形D．四边形面积的最大值为【答案】CD【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求，再利用，可知是等边三角形，从而判断A、C；利用四点共圆，四边形对角互补，从而判断B；由余弦定理可得，利用三角形面积公式，三角函数恒等变换可求四边形的面积，由正弦函数的性质求出最值，判断D.【详解】因为，由正弦定理得，即，因为，所以，又，且，所以．所以是等边三角形，故C正确，由于无法得到的值，故无法判断A；对于B：

若，则，在中，由余弦定理得，则，即，所以，，，四点不共圆，故B错误；对于D：设，，由余弦定理得，所以四边形面积即，因为，所以，所以当，即时，取得最大值，故D正确；故选：CD.三、填空题50．（2223高一下·黑龙江牡丹江·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，，，则.【答案】【分析】根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.【详解】因为的面积为，所以，于是有，由余弦定理可知：，故答案为：51．（2223高一下·内蒙古赤峰·期末）在锐角中，角的对边分别为，且满足，若恒成立，则实数的取值范围为．=【答案】【分析】首先根据正弦定理，结合三角恒等变换求得，再将不等式参变分离为恒成立，转化为求函数的最小值，即可求解.【详解】由正弦定理边角互化可知，，则，得，所以，因为，，，所以，则，所以不等式恒成立，即恒成立，则因为，，因为三角形为锐角三角形，所以，解得：，则，设，函数在区间单调递减，所以函数的值域为，即，则，所以，得.故答案为：52．（2223高一下·河南安阳·期末）某同学为了测量学校天文台的高度，选择学校宿舍楼三楼一阳台，到地面的距离为，在它们之间的地面上的点(、、三点共线)处测得阳台，天文台顶的仰角分别是和，在用台处测得天文台顶的仰角为，假设、和点在同一平面内，则学校天文台的高度为.

【答案】【分析】由已知可得，求出、的大小，利用正弦定理求出，然后在可求出的长.【详解】在中，，在中，，，，由正弦定理得，故，在中，，故学校天文台的高度为.故答案为：.53．（2223高一下·黑龙江大庆·期末）已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值是．【答案】【分析】首先利用正弦定理边角互化，得，再结合余弦定理，将表示为三角函数，即可求函数的最值.【详解】由题意可知，，即，由余弦定理可知，,所以，即，其中，所以的最大值为.故答案为：54．（2223高一下·江西景德镇·期末）在锐角中，内角，，的边分别对应，，，若，则的取值范围是.【答案】【分析】先对边角互换化简，得到，再锐角中，找到，再化简即可求解.【详解】因为，由正弦定理得，，，化简得，在中，则，则,所以锐角中，，，故答案为：.四、解答题55．（2223高一下·重庆沙坪坝·期末）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．(1)求A；(2)若D为延长线上一点，且，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）已知，由正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式和同角三角函数的商数关系化简，得，可求；（2）在中，由正弦定理有，在中，由正弦定理有，得，由角的范围求的取值范围.【详解】（1）角A，B，C是的内角，故．在锐角中，，由正弦定理得，，即，所以，即，故，又，所以.（2）在中，，由正弦定理有，则，在中，由正弦定理有，即，则，所以，，故.因为为锐角三角形，，所以，解得，，所以，所以，从而．故的取值范围为．56．（2223高一