2025届新高考数学热点冲刺复习数列的概念

2025届新高考数学热点冲刺复习

数列的概念课前自主预习案课堂互动探究案课前自主预习案必

备

知

识1.数列的有关概念概念含义数列按照__________排列的一列数数列的项数列中的__________数列的通项数列{an}的第n项an通项公式数列{an}的第n项an与序号n之间的关系能用一个式子来表示，这个式子叫做数列的通项公式并非每一个数列都有通项公式，数列有通项公式时也不一定是唯一的前n项和数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和确定的顺序每一个数2.数列的分类分类标准类型满足条件按项的个数有穷数列项数_____无穷数列项数_____按项与项间的大小关系的变化趋势递增数列an＋1________an(n∈N*)递减数列an＋1________an(n∈N*)常数列an＋1＝an(n∈N*)摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列有限无限大于小于3.数列与函数的关系数列{an}是从正整数N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是________，对应的函数值是____________，记为an＝f(n)．序号n数列的第n项

夯

实

基

础1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(

)(2)一个数列只能有一个通项公式．(

)(3)任何一个数列，不是递增数列就是递减数列．(

)(4)若数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(

)×××√

答案：D

3．(教材改编)在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中，x为________．21解析：设题中数列为{an}，则a1＝1，a2＝1，a3＝2，观察可得an＋2＝an＋1＋an，∴x＝8＋13＝21.

答案：B

5．(易错)已知Sn＝2n＋3，则an＝_____________．

课堂互动探究案1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．问题思考·夯实技能【问题1】数列的通项公式与递推公式有何异同点？提示：数列的通项公式与递推公式都能求出数列中的任何一项，但通项公式求解时更为简便．【问题2】数列的单调性与对应函数的单调性相同吗？

关键能力·题型剖析题型一

由an与Sn的关系求通项公式例1(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则an＝________．2n＋1解析：当n＝1时，a1＝S1＝3.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1.又a1＝3也满足上式，∴an＝2n＋1.(2)数列{an}的前n项和Sn，若a1＝1，an＋1＝5Sn(n≥1)，则an＝____．

【变式练习】

若将本例(2)中的“an＋1＝5Sn(n≥1)”改为“an＋1＝5Sn＋1(n≥1)”，则an＝________．6n－1

题后师说Sn与an关系问题的求解策略

答案：B

答案：D

题后师说如果数列{an}的递推公式满足an＋1－an＝f(n)的形式，且f(n)可求和，那么就可以运用累加法an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，并验证a1，求出数列{an}的通项公式．

答案：D

4

an＝n·2n

答案：B

角度二数列的单调性例5数列{an}的通项公式为an＝(n－λ)·2n(n＝1，2，…)，若{an}是递增数列，则λ的取值范围是(

)A．[1，＋∞) B．(1＋log2e，3)C．(－∞，1＋log2e] D．(－∞，3)答案：D解析：因为数列{an}的通项公式为an＝(n－λ)·2n(n＝1，2，…)，且{an}是递增数列，所以an<an＋1对于∀n∈N*都成立，所以(n－λ)·2n<(n＋1－λ)·2n＋1对于∀n∈N*都成立，即n－λ<2(n＋1－λ)对于∀n∈N*都成立，所以λ<n＋2对于∀n∈N*都成立，所以λ<1＋2＝3，即λ的取值范围是(－∞，3)．故选D.

答案：C

答案：A

(2)已知数列{an}满足an＝2n＋kn，若{an}为递增数列，则k的取值范围是(

)A．(－2，＋∞) B．(2，＋∞)C．(－∞，－2) D．(－∞，2)答案：A解析：若{an}为递增数列，则an＋1－an>0，则有2n＋1＋k(n＋1)－(2n＋kn)＝2n＋1－2n＋k＝2n＋k>0，对于n∈N＋恒成立．∴k>－2n，对于n∈N＋恒成立，∴k>－2.故选A.

答案：B

1．[2024·河北邢台模拟]数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋an＋2＝an＋1，则a2023的值为(

)A．－2 B．1C．3 D．2答案：B解析：由已知an＋2＝an＋1－an，a3＝3－1＝2，a4＝2－3＝－1，a5＝－1－2＝－3，a6＝－3－(－1)＝－2，a7＝(－2)－(－3)＝1，a8＝1－(－2)＝3，因此数列{an}是周期数列，周期是6，所以a2023＝