4.2 指数函数（精讲）（解析版）-人教版高中数学精讲精练（必修一）

4.2指数函数（精讲）考点一指数函数的判断【例1-1】（2021·全国·高一专题练习）下列函数：①；②；③；④；⑤.其中一定为指数函数的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【解析】形如且为指数函数，其解析式需满足①底数为大于0，且不等于1的常数，②系数为1，③指数为自变量，所以只有②是指数函数，①③④⑤都不是指数函数，故选：B.【例1-2】（2022·全国·高一专题练习）函数是指数函数，则（

）A．或 B． C． D．且【答案】C【解析】由指数函数定义知，同时，且，所以解得.故选：C【一隅三反】1．（2021·全国·高一课时练习）函数，，，，其中指数函数的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因为形如的函数称为指数函数，所以和是指数函数．故选：B．2．（2022·湖南·高一课时练习）若函数是指数函数，则等于（

）A．或 B．C． D．【答案】C【解析】由题意可得，解得.故选：C.3（2021·全国·高一专题练习）已知函数和都是指数函数，则______.【答案】【解析】因为函数是指数函数，所以，由是指数函数，所以，所以，故答案为：.考点二指数函数的定义域与值域【例2-1】（2021·全国·高一课时练习）求下列函数的定义域和值域：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)定义域为，值域为(2)定义域为R，值域为(3)定义域为，值域为(4)定义域为R，值域为【解析】(1)由题意知，∴，∴函数的定义域为．∵，∴，∴函数的值域为．(2)由题意知函数的定义域为R．∵，∴，∴函数的值域为．(3)由题意知，∴，∴，∴函数的定义域为．∵，∴，又，∴，∴，∴，∴函数的值域为．(4)由题意知定义域为R．∵，∴．又，∴函数的值域为．【例2-2】（2022·河南开封）若函数f(x)＝的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围是（

）A．[0，1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞)C．(0，1) D．(2，＋∞)【答案】B【解析】∵ax－a≥0，∴ax≥a，∴当a＞1时，x≥1．故函数定义域为[1，＋∞)时，a＞1．故选：B．【例2-3】（2022·江苏）若在上恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，则原问题转化为在恒成立，即在恒成立，又当且仅当时取等号，故实数的取值范围是，故选：C．【一隅三反】1．（2022·福建）若关于的方程有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】方程有解，有解，令，则可化为有正根，则在有解，又当时，所以，故选：．2．（2021·江苏·高一专题练习）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，因为，所以函数的值域为.故选：C3．（2022·湖北·武汉市第十五中学高一期末）函数（，且）在上的最大值为13，则实数的值为___________.【答案】或【解析】∵令，则，则，其对称轴为.该二次函数在上是增函数.①若，由，得，故当，即时，，解得(舍去).②若，由，可得，故当，即时，.∴或(舍去).综上可得或.故答案为：或.4．（2021·全国·高一课前预习）求下列函数的定义域、值域.（1）；（2）y=4x-2x+1；（3）；（4）(a为大于1的常数)【答案】（1）R，(0，1)；（2）R，[)；（3），；（4）(-∞，-1)∪[1，+∞)，[1，a)∪(a，+∞)【解析】(1)函数的定义域为R(∵对一切xR，3x≠-1).∵，又∵3x>0，1+3x>1，∴，

∴，∴，∴值域为(0，1).(2)定义域为R，，∵2x>0，

∴即=-1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，∴函数的值域为[).(3)要使函数有意义可得到不等式，即，又函数是增函数，所以，即，即函数的定义域为，值域是.(4)∵，解之得(-∞，-1)∪[1，+∞)，∴定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)，又∵且，∴且，∴函数的值域为[1，)∪(，+∞).考点三指数函数的单调性运用【例3-1】（2021·云南·会泽县实验高级中学校高一阶段练习）若x满足不等式，则函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得，因为在R上单调递增，所以即x2+2x-3≤0，解得：，所以，即函数的值域是，故选:B.【例3-2】．（2022·湖南省衡南县衡云中学高一开学考试）已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵是减函数，，所以，又，∴．故选：C．【例3-3】（2022·江苏盐城·高一期末）已知函数，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，，即，所以，又，所以，而递增，故故选：D【一隅三反】1．（2022·云南丽江·高一期末）若，则a､b､c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为在上单调递增，且，所以，即，因为在上单调递减，且，所以，即，所以，即故选：A2（2021·新疆）若满足不等式，则函数的值域是（） B． C． D．【答案】B【解析】由可得，因为在上单调递增，所以即，解得：，所以，即函数的值域是，故选：B.3.（2021·浙江高一期末）已知函数，若，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】）因为，当时单调递减，且，当时，单调递减，且，所以函数在定义域上单调递减，因为，所以，解得，即不等式的解集为故选：A考点四指数函数的定点【例4】（2022·山东淄博·高一期末）函数（且）的图象必经过点___________.【答案】【解析】因为函数，其中，，令得，把代入函数的解析式得，所以函数(且)的图像必经过点的坐标为.故答案为：【一隅三反】1．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，解得，所以当时，，所以函数过定点.故选：B2．（2022·四川内江·高一期末）若幂函数在上单调递增，则函数且过定点（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为是幂函数，所以或，又因为该幂函数在上单调递增，所以，即，因为，所以函数过定点，故选：D3．（2021·河北·沧县中学高一阶段练习）已知函数（且），则函数的图像恒过定点______．【答案】【解析】由解析式，当，即时，所以的图像恒过定点.故答案为：4．（2021·江苏·高一专题练习）已知无论取何值函数（，且）的图象恒过定点，且在幂函数的图象上，则的解析式为__________；【答案】【解析】由指数函数的性质知函数（，且）的图象恒过定点，设幂函数为，在幂函数的图象上，可得：，解得，所以.故答案为：考点五指数函数的图像问题【例5-1】（2022·全国·高一专题练习）函数的图象大致是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数，当时，是增函数，当时，的减函数，且时，，即图象过点；符合条件的图象是．故选：A．【例5-2】．（2022·全国·高一）已知函数，则函数的图像经过（

）．A．第一、二、四象限 B．第二、三、四象限C．第二、四象限 D．第一、二象限【答案】B【解析】因为，所以函数的图象经过一、二象限，又的图象是由的图象沿y轴向下平移2个单位得到，所以函数的图象经过二、三、四象限，如图，故选：B【一隅三反】1．（2022·全国·高一专题练习）函数(是自然底数)的大致图像是（

）A．B．C． D．【答案】C【解析】，函数为偶函数，且过，，函数在上递增，在上递减，故C符合.故选：C.2．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，函数的图像是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，时，时，.故选：B.3．（2021·湖南·金海学校高一期中）在同一坐标系中，二次函数与指数函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】当时，指数函数是单调递增函数，且图像恒过定点，此时，则二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，故选项A错误，选项B正确；当时，指数函数是单调递减函数，且图像恒过定点，此时，则二次函数的图像开口向上，顶点坐标为，故选项C错误，选项D错误.故选：B.4．（2021·全国·高一课时练习）若函数图象不过第二象限，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于指数函数为增函数，则函数也为增函数，若图象不过第二象限，则满足，则，解得：，所以的取值范围是.故选：A.考点六指数函数的综合运用【例6】（2022·全国·高一专题练习）已知函数．(1)判断并证明在其定义域上的单调性；(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)在上单调递增；证明见解析(2)【解析】（1）在上单调递增，证明如下：设，；，，又，，，在上单调递增.（2），为上的奇函数，由得：，由（1）知：在上单调递增，在上恒成立；当时，，在上恒成立；令，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，即实数的取值范围为.【一隅三反】1．（2022·全国·高一单元测试）已知定义域为R的函数是奇函数．(1)求的解析式；(2)用定义证明的单调性．【答案】(1)(2)在R上单调递减，证明见解析【解析】（1）因为是R上的奇函数，所以，即，解得，则．又，则，解得，经检验当，时，是奇函数，所以．（2）证明：由（1）知，对任意的，R，且，有，因为，所以，所以，∴在R上单调递减．2．（2022广东）已知定义在实数集上的奇函数有最小正周期2，且当时，.(1)求函数在上的解析式；(2)判断在上的单调性，并证明；(3)当取何值时，方程在上有实数解.【答案】(1)(2)在上为减函数，证明见解析(3)【解析】（1）依题意，是定义在实数集上的奇函数，所以，当，，所以.（2）当时，，在上为减函数，证明如下：任取，.由于，所以，所以在上为减函数.（3）由（2）可知在上为减函数，所以，即，由于在上有实数解，所以.2．（2022·内蒙古赤峰·高一期末（文））已知函数（a为常数，且，）．请在下面三个函数：①；②；③中，选择一个函数作为，使得具有奇偶性．(1)请写出表达式，并求a的值；(2)当为奇函数时，若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)若选①：，则，定义域为，若函数为奇函数，则，故函数不能是奇函数，若函数为偶函数，则，由，可得，化简可得，则不