上海市控江中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷（解析版）

2024—2025学年上海市控江中学高一年级上学期月考数学试卷2024.9一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1—6题每个空格填对得4分，7—12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.1.若集合{1，a}与集合{2，b}相等，则a+b=___________.【答案】3【解析】【分析】根据集合相等求出即可求解.【详解】{1，a}{2，b}，则，，所以a+b=3.故答案为：32.设全集，集合，则__________.【答案】【解析】【分析】根据补集的定义进行求解即可.【详解】由全集，集合，则，故答案为：.3.设，若关于的等式对于任意实数恒成立，则__________.【答案】6【解析】【分析】根据多项式相等，相应系数分别相等可得.【详解】由题意及多项式恒等，知，所以.故答案为：64.设，若恰有两个元素，则这两个元素的和为__________.【答案】3【解析】【分析】利用根与系数的关系进行求解即可.【详解】由恰有两个元素，则方程有两个不相等的实根，因此利用根与系数的关系可知方程两根之和，即集合两个元素的和为，故答案为：.5.已知关于的方程的一次项系数被“*”遮挡了.若此方程的一个根为101，则另一个根为__________.【答案】12##【解析】【分析】利用根与系数的关系进行求解即可.【详解】设另一个根为，则两根之积为：，则.故答案为：126.设，若是集合的真子集，则的值为__________.【答案】2【解析】【分析】集合的真子集为空集，即为空集，求出的值即可.【详解】由题意知集合为空集，则，即.故答案为：.7.设全集，若，则__________.【答案】【解析】【分析】根据图，即可求解.【详解】如图，根据条件画出图，可知，故答案为：8.设，集合，且，则的值为__________.【答案】【解析】【分析】由，可得，则由集合的包含关系和集合中元素的性质，即可求得的值.【详解】因为，所以，①（舍去，不满足集合的互异性），②（舍），或.显然a=-1时满足题设故答案为：.9.设集合满足，则满足条件的所有的数目为__________.【答案】4【解析】【分析】列出所有满足条件的集合的情况，即可得问题的答案.【详解】由题意知中必含有2和4，1和3可以选也可不选，则满足条件的所有的情况如下：，，，.所以满足条件的所有的数目为.故答案为：410.设，若关于的一元二次方程的两个实根为，且，则的值为__________.【答案】【解析】【分析】由，再结合根与系数的关系进行求解即可.【详解】由关于的一元二次方程的两个实根为，则，解得：，由根与系数的关系可得，，则，解得（舍），，故答案为：.11.为说明“设是任意实数，若，则”是假命题，可以在集合中选取的值，此时为__________.【答案】【解析】【分析】根据题意在集合中选取的值，满足.【详解】若命题为假命题，则由题意知，且，此时为.故答案为：12.设集合.下面命题中，是真命题的命题序号为__________.①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则【答案】②③④【解析】【分析】根据集合的特征，代入公式或，并结合举例判断.【详解】①若，①错误，②，②正确，③，③正确，④，④正确，⑤若，⑤错误.故答案为：②③④二､选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设，陈述句：，陈述句：.若使得是的充分条件，则的取值范围是（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】是的充分条件，说明由可以推出，可得对应集合是对应集合的子集，由此建立不等关系，可以得出实数的取值范围．【详解】由：，即：，由：，即：，又是的充分条件，则，因此可得，故选：B.14.集合（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先对集合进行化简，然后再求交集即可.【详解】由题，，则.故选：C.15.能整除8的所有正整数组成的集合可表示为（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】能整除8的所有正整数组成的集合中的元素为8的整倍数，结合选项判断即可.【详解】能整除8的所有正整数组成的集合应为无限集，因此C，D排除，利用描述法表示能整除8的所有正整数组成的集合，由于选项A中的集合包含0，因此不符合正整数的要求，故A排除，而选项B，符合能整除8的所有正整数组成的集合，因此B正确，故选：B.16.设，集合，则总与相同集合为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分和进行分类讨论，确定集合具体元素，再结合选项进行判断即可.【详解】若时，集合，若时，集合对于选项A，C表示含有两个元素的集合，因此A，C不符合；对于选项B，当时，，当时，集合，因此B符合；对于选项D，例如，则，此时与集合不相同，因此D不符合，故选：B.三､解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.设，集合，集合且.（1）若，求；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1），求出，再利用交集的运算进行求解即可；（2）分和，进行分类讨论，确定的取值范围.【小问1详解】若，则，又，【小问2详解】当，即时，若，则，解得，当，即时，此时集合为空集，故不符合，综上.18设.（1）求证：；（2）若，求证：中至少有一个数是奇数.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据求解，即可证明；（2）利用反证法，即可证明.【小问1详解】假设，则，与矛盾，则假设不成立，故.【小问2详解】假设中都是偶数，则，两式相加并整理，得，与矛盾，故假设不成立，则中至少有一个数是奇数.19.设，集合.（1）求证：“实数使得”是“实数使得”的充分非必要条件；（2）是否存在，使得？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【解析】【分析】（1）求出，时，分别对应的实数的范围，再根据充分非必要条件的定义进行判断即可；（2）分别和，进行分类讨论，求出的值即可.【小问1详解】若，则，即，若，则，即，则“实数使得”是“实数使得”的充分非必要条件.【小问2详解】若，则，即，若，则，即，因此时，，若，则集合中只有一个元素，因此若，则集合中只有一个元素，即，此时，，综上知，则存在，使得.20.设，记关于与的二元一次方程组的解集为.（1）求；（2）是否存在的值，使得？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由；（3）若使得中的数对为正整数数对，即与均为正整数，求的值以及对应的.【答案】（1）（2）存在，；（3）答案见解析【解析】【分析】（1）令，解方程组，即可求出；（2）将代入，得到，求使方程无解即；（3）由（2）知，，得，求出使得为正整数的，再求出对应的即可.【小问1详解】当时，方程组为，解得，所以.小问2详解】将代入，得，整理得，当时，方程无解，即.【小问3详解】由，则，由（2）知，，得，因为为正整数，所以为正整数，解得或或，当时，，所以，当时，，所以，当时，，所以.21.设为实数，集合.（1）若，求；（2）若，求满足的条件；（3）设，，且集合均恰有两个元素，求三元数对.【答案】（1）；（2）或（3），，，.【解析】【分析】（1）代入，分解因式解方程可得；（2）由是方程的根得，再按是否为方程的根分类讨论即可；（3）先分析方程的一次项系数及方程二次项系数均不为，再分，，且三类情况讨论即可.【小问1详解】若，则方程为，即，解得或.；【小问2详解】由题意知，.，是方程根，即，解得.由，集合有且仅有一个元素，即方程有且仅有一个根，①若是方程的根，则，且，解得；②若不是方程的根，则方程无实数根，则；综上所述，或.【小问3详解】，，若，，，则，又，，所以有，解得.验证：当时，，不满足集合恰有两个元素，故；若，由，，则，，又，则，又，所以，即.由，则,即,解得.验证：当时，也不满足集合恰有两个元素，故；由上可知，且.则，且方程与有相同的判别式，即两方程根的个数相同.由集合均恰有两个元素，则.，因为，则是方程或的根.由，且，则是方程或的根.①当时，是方程的根，，则，又，则，由，则是方程的根，则.（i）若，联立解得.验证：当，，时，，，满足题意；（ii）若，方程有两个不相等的实数根，又，则方程的两根必为和.故由韦达定理得，解得；验证：当时，，，满足题意；②当时，，即是方程的根，则，又，则，则是方程的根，则，即（i）若，联立解得.验证：当，，时，，，满足题意；（ii）若，方程有两不等的实数根，又，则方程的两根必为和.故由韦达定理得，解得