4.1 指数-2020-2021学年高一数学新教材配套学案（人教A版必修第一册）

4.1指数【学习目标】课程标准学科素养理解根式的概念及分数指数幂的含义.会进行根式与分数指数幂的互化(重点).掌握根式的运算性质和有理数指数幂的运算性质(重点).1、直观想象2、数学运算【自主学习】n次方根、n次根式(1)a的n次方根的定义一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数eq\r(n,a)a∈Rn为偶数±eq\r(n,a)[0，＋∞)(3)根式：式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做，a叫做被开方数．根式的性质(1)eq\r(n,0)＝(n∈N*，且n>1)；(2)(eq\r(n,a))n＝(n∈N*，且n>1)；(3)eq\r(n,an)＝a(n为大于1的奇数)；(4)eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0，))(n为大于1的偶数)．3.分数指数幂(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈N*，且n>1)；(3)0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂．4.有理数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：(1)aras＝(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝(a>0，b>0，r∈Q)．5.无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．【小试牛刀】1．若x4＝3，这样的x有几个，如何表示？2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意实数的奇次方根只有一个．()(2)当n∈N*时，(eq\r(n,－16))n都有意义．()(3)eq\r(3－π2)＝π－3.()(4)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式．()(5)分数指数幂aeq\s\up15(eq\f(m,n))可以理解为eq\f(m,n)个a相乘．()(6)0的任何指数幂都等于0.()【经典例题】题型一根式的化简和运算根式化简与求值：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简.注意：①正确区分(eq\r(n,a))n与eq\r(n,an)两式；②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论.例1化简：(1)eq\r(4,3－π4)；(2)eq\r(a－b2)(a>b)；(3)(eq\r(a－1))2＋eq\r(1－a2)＋eq\r(3,1－a3).[跟踪训练]1求下列各式的值：(1)eq\r(（x－y）2)；(2)eq\r(5＋2\r(6))－eq\r(6－4\r(2))＋eq\r(7－4\r(3)).例2已知x∈[1,2]，化简(eq\r(4,x－1))4＋eq\r(6,x2－4x＋43)＝________.[跟踪训练]2设－3<x<3，求eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)的值．题型二根式与分数指数幂的互化注意：(1)根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子.(2)当根式为多重根式时，要清楚哪个是被开方数，一般由里向外用分数指数幂依次写出.例3用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0)．（3）[跟踪训练]3用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)：(1)a2eq\r(a)；(2)eq\r(a\r(a))；(3)eq\r(3,a2)·eq\r(a3)；(4)(eq\r(3,a))2·eq\r(ab3).例4把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0.(1)eq\r(5,a6)；(2)eq\f(1,\r(3,a2))；(3)eq\r(4,\f(b3,a2))；(4)eq\r(－a6)[跟踪训练]4把下列根式化成分数指数幂的形式(a>0，b>0)：(1)eq\r(4,b－\f(2,3))；(2)eq\f(1,\r(4,（a3＋b3）2)).题型三分数指数幂的运算进行指数幂运算时，有根式的，先将根式化成分数指数幂的形式，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．例5计算下列各式：(2)[跟踪训练]5计算下列各式(1)2eq\r(3)×eq\r(3,1.5)×eq\r(6,12)；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(7,9)))eq\s\up12(0.5)＋0.1－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(10,27)))－eq\f(2,3)－3π0＋eq\f(37,48)；(3)eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3a\f(2,3)b\f(1,4)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－8a\f(1,2)b\f(1,2))),－4\r(6,a4)·\r(b3)).题型四指数幂运算中的条件求值例6已知aeq\f(1,2)＋a－eq\f(1,2)＝4，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.[跟踪训练]6（1）已知a>0，b>0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值．（2）已知67x＝27,603y＝81，求eq\f(3,x)－eq\f(4,y)的值．【当堂达标】1．以下说法正确的是()A．正数的n次方根是正数B．负数的n次方根是负数C．0的n次方根是0(n∈N*)D．a的n次方根是eq\r(n,a)2．下列根式与分数指数幂的互化正确的是()A．－eq\r(x)＝ B.eq\r(6,y2)＝C． D．3.eq\r(（a－b）2)＋eq\r(5,（a－b）5)的值是()A.0B.2(a－b)C.0或2(a－b) D.a－b4．已知eq\r(4a＋12)＝－4a－1，则实数a的取值范围是________．5．(eq\r(3,\r(6,a9)))4＝________.6.计算：0.25×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(－4)－4÷20－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))－eq\f(1,2)＝________.7.已知求eq\f(x2＋1,x)的值．

【参考答案】【自主学习】xn＝a根指数2.0a3.0没有意义4.ar＋sarsarbr5.实数【小试牛刀】1.解有2个，表示为±eq\r(4,3)(1)√(2)×(3)√(4)√(5)×(6)×【经典例题】例1解(1)eq\r(4,3－π4)＝|3－π|＝π－3.(2)eq\r(a－b2)＝|a－b|＝a－b.(3)由题意知a－1≥0，即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.[跟踪训练]1解(1)eq\r(（x－y）2)＝|x－y|，当x≥y时，eq\r(（x－y）2)＝x－y；当x<y时，eq\r(（x－y）2)＝y－x.(2)原式＝eq\r(（\r(3)＋\r(2)）2)－eq\r(（2－\r(2)）2)＋eq\r(（2－\r(3)）2)＝eq\r(3)＋eq\r(2)－(2－eq\r(2))＋2－eq\r(3)＝2eq\r(2).例21解析∵x∈[1,2]，∴x－1≥0，x－2≤0，∴(eq\r(4,x－1))4＋eq\r(6,x2－4x＋43)＝x－1＋eq\r(6,x－26)＝x－1－(x－2)＝1.[跟踪训练]2解原式＝eq\r(x－12)－eq\r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|，∵－3<x<3，∴当－3<x<1时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.∴原式＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－2，－3<x<1，,－4，1≤x<3.))例3解(1)＝eq\r(5,x2).（2）＝eq\f(1,\r(3,x5)).（3）[跟踪训练]3解(1)原式＝a2aeq\f(1,2)＝a2＋eq\f(1,2)＝aeq\f(5,2).(2)原式＝eq\r(a·a\f(1,2))＝eq\r(a\f(3,2))＝aeq\f(3,4).(3)原式＝aeq\f(2,3)·aeq\f(3,2)＝aeq\f(2,3)＋eq\f(3,2)＝aeq\f(13,6).(4)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a\f(1,3)))eq\s\up12(2)·(ab3)eq\f(1,2)＝aeq\f(2,3)·aeq\f(1,2)beq\f(3,2)＝aeq\f(2,3)＋eq\f(1,2)beq\f(3,2)＝aeq\f(7,6)beq\f(3,2).例4解(1)(2)(3)eq\r(4,\f(b3,a2))(4)[跟踪训练]4解(1)eq\r(4,b－\f(2,3))＝beq\f(－\f(2,3),4)＝b－eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝b－eq\f(1,6).(2)原式＝[(a3＋b3)2]－eq\f(1,4)＝(a3＋b3)2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝(a3＋b3)－eq\f(1,2).例5解（1）原式＝（2）[跟踪训练]5解(1)原式＝2×3eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\f(1,3)×12eq\f(1,6)＝21＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋eq\f(1,3)×3eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝2×3＝6.(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,9)))eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))eq\s\up12(－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(64,27)))－eq\f(2,3)－3×1＋eq\f(37,48)＝eq\f(5,3)＋100＋eq\f(9,16)－3＋eq\f(37,48)＝100.(3)原式＝eq\f(（－24）×a\f(2,3)＋\f(1,2)×b\f(1,4)＋\f(1,2),（－4）×a\f(2,3)×b\f(3,2))＝6×aeq\f(2,3)＋eq\f(1,2)－eq\f(2,3)×beq\f(1,4)＋eq\f(1,2)－eq\f(3,2)＝6aeq\f(1,2)b－eq\f(3,4).例6解(1)将aeq\f(1,2)＋a－eq\f(1,2)＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.[跟踪训练]6（1）解∵a>0，b>0，又ab＝ba，由67x＝33，由603y＝81，＝eq\f(603,67)＝9＝32，∴eq\f(4,y)－eq\f(3,x)＝2，故eq\f(3,x)－eq\f(4,y)＝－2.【当堂达标】1.C解析当n为偶数时，正数的n次方根为一正一负，故A错误；当n为偶数时，负数的n次方根无意义，故B错误；当n∈N*时，0的n次方根为0，故C正确；当n为偶数，a<0时，eq\r(n,a)无意义，故D错误．2.C3.C解析当a－b≥0时，原式＝a－b＋a－b＝2(a－