3.4函数的应用（一） 讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高一数学必修第一册

函数的应用（一）一、一次函数模型的应用【例1】为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示．(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜．二、二次函数模型的应用【例2】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？三、分段函数模型的应用【例3】中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本C(x)(万元)．当年产量不足80台时，C(x)＝eq\f(1,2)x2＋40x，当年产量不小于80台时，C(x)＝101x＋eq\f(8100,x)－2180，若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．(1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式；(2)年润．

课后练习（2019高一上·安徽期中）已知函数f(x)={(a−1)x,x≤1−logA.

(0,1]

B.

[12,1)

C.

（2020高一上·清远期末）已知函数f(x)={2x,x<0,A.

−1C.

123.（2020高一上·泉州期中）已知函数f(x)={3A.

-1或−5

B.

1

C.

-5

D.

1或-54.已知函数fx=eA.

−1e

B.

−e

C.

e

D.

1（2019高一上·哈尔滨月考）已知函数f(x)={x（2021·成都模拟）已知函数f(x)={sinx,x≥0f(−x),x<0（2019高一上·湖州期中）定义在R上的函数f(x)={log2(x（2020高一上·太原月考）已知函数f(x)={x2,x≤1（2019高一上·东方月考）设函数f(x)={（1）若f(a)=1,求a的值（2）解不等式：a2x（2020高一上·湖北期中）某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：y={1（1）当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则月处理量x为多少吨时可使亏损量最小？（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2021高一下·衢州月考）据统计，某产品在过去一段时间内的日销售量(单位：千克)与日销售单价(单位：元)均为时间t(天)的函数，日销售量g(t)=−t+m(m为常数)，且t=10时，日销售量为26千克，日销售单价满足函数（1）写出该商品日销售额y关于时间t的函数(日销售额=日销售量×销售单价)；（2）求这段时间内该商品日销售额的最大值.（2020高一上·佛山期末）已知函数f(x)={ax+1,x≤0（1）当a=−2时，在给定的平面直角坐标系中作出函数（2）若f(x0)=2精讲答案【例1】解(1)由图象可设y1＝k1x＋30(k1≠0)，y2＝k2x(k2≠0)，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1＝k1x＋30，y2＝k2x，得k1＝eq\f(1,6)，k2＝eq\f(1,2).∴y1＝eq\f(1,6)x＋30(x≥0)，y2＝eq\f(1,2)x(x≥0)．(2)令y1＝y2，即eq\f(1,6)x＋30＝eq\f(1,2)x，则x＝90.当x＝90时，y1＝y2，两种卡收费一致；当x<90时，y1>y2，使用便民卡便宜；当x>90时，y1<y2，使用如意卡便宜．【例2】解(1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9600(50≤x≤55，x∈N)．(3)因为w＝－3x2＋360x－9600＝－3(x－60)2＋1200，所以当x<60时，w随x的增大而增大．又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1125.所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1125元．【例3】解(1)当0<x<80时，y＝100x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋40x))－500＝－eq\f(1,2)x2＋60x－500，当x≥80时，y＝100x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(101x＋\f(8100,x)－2180))－500＝1680－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8100,x)))，于是y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋60x－500，0<x<80，,1680－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8100,x)))，x≥80.))(2)由(1)可知当0<x<80时，y＝－eq\f(1,2)(x－60)2＋1300，当x＝60时，y取得最大值为1300，当x≥80时，y＝1680－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8100,x)))≤1680－2eq\r(x·\f(8100,x))＝1500，当且仅当x＝eq\f(8100,x)即x＝90时，y取最大值为1500，综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元．由图可知f(x)的单调递减区间为(−∞,0]

（2）解：依题意，当x0≤0时，ax若a≥0，方程无解；若a<0，得x0当x0>0时，|log2x|=2，即log综上所述，当a≥0时，x0=4或当a<0时，x0=1a或【考点】函数单调性的性质，函数的图象，分段函数的应用【解析】(1)直接利用分段函数的解析式作出图象即可，根据图象即可写出函数的单调递减区间；(2)对a的值进行分类讨论，利用分段函数的解析式分别求解即可.

练习答案1.【答案】B【考点】分段函数的应用【解析】由题意有{a<1a−故答案为：B【分析】因为分段函数f(x)在R上的减函数，则分段函数f(x)的每一段都为减函数，根据一次函数与对数函数的单调性，列出不等式，求解即可.2.【答案】C【考点】函数的值，分段函数的应用【解析】由f(x)={2可得f(1)=3−所以f(f(1))=f(−故答案为：C【分析】根据题意选择合适的函数解析式代入数值计算出结果即可。3.【答案】D【考点】分段函数的应用【解析】解：当x≥−1时，3−当x<−1时，x+6=1，得综上，x=1或x=−故答案为：D【分析】分x≥−1和4.【答案】D【考点】函数的值，分段函数的应用【解析】.故选D.5.【答案】7【考点】函数的值，分段函数的应用【解析】由题意知f(1)=f(1+3)=f(4)=42+1=17所以f(1)故答案为：7【分析】由已知分段函数的解析式，分别代入计算即可求出f（1）﹣f（3）的值.6.【答案】12【考点】函数的值，分段函数的应用【解析】因为−π所以f(−故答案为：1【分析】根据题意由分段函数的解析式选择合适的解析式代入数值计算出结果即可。7.【答案】1【考点】函数的值，分段函数的应用【解析】∵函数f(x)={log2(x故答案为：1【分析】由题意得f(1)=f(2)=f(3)，把x=3代入求值即可.8.【答案】4【考点】函数的值，分段函数的应用【解析】解：因为函数f(x)={x所以f(−故答案为：4。【分析】利用分段函数的解析式求出函数值。9.【答案】（1）解：∵f(x)={（当a<0时，(12)当a≥0时，a=1解得a=1综上可得a=1或a=−3

（2）解：①当a>1时，由y=a∴2x−7>4x−1解得②当0<a<1时，由y=a∴2x−7<4x−1解得【考点】函数的值，指数函数单调性的应用，分段函数的应用【解析】（1）对a分两种情况讨论，分别代入解方程即可；（2）对a分两种情况讨论，结合指数函数的单调性解不等式。10.【答案】（1）当x∈[200,300]时，该项目获利为S，则S=200x−当x∈[200,300]时，S<0，因此，该项目不会获利：当x=300时，S取得最大值-5000，故当月处理量为300吨时可使亏损最小，为5000元；（2）由题意知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：yx当x∈[120,144)时，yx=13(x当x∈[144,500)时，yx当且仅当12x=80000x时等号成立，即∵200<240∴每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.【考点】分段函数的应用【解析】(1)由已知条件即可确定当xE[200，300]时，该项目获利函数，再利用配方法，即可求得结论；

(2)根据题意首先确定二氧化碳的每吨的平均处理成本，由此即可求出函数的最值，由此即可求得结论.11.【答案】（1）解：由题意可知g(10)=−10+m=26，解得∴g(t)=−所以y={(25

（2）解：当1<t<9时，y=25[37−当且仅当36t=t，即t=6时，当9≤t≤15时，y=−t2+23t+468，当t=11或因为625>600，所以t=6时，ymax答：t=6时销售额最大，最大日销售额为625元.【考点】二次函数在闭区间上的最值，分段函数的应用【解析】(1)根据题意结合商品日销售额的关系式即可得出函数的解析式。

(2)由二次函数以及基本不等式即可求出函数的最值，结合分段函数的性质即可求出函数的最值。12.【答案】（1）解：当