2.1 等式性质与不等式性质-2020-2021学年高一数学新教材配套学案（人教A版必修第一册）

第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质【学习目标】课程标准学科素养1．会用不等式(组)表示不等关系．2．掌握不等式的有关性质．3．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式证明或解决范围问题．（重点、难点）1、逻辑推理2、数学运算3、数学建模【自主学习】作差法比较两个实数大小基本事实：a>b⇔，a＝b⇔，a<b⇔.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．2．等式的基本性质性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).3．不等式的性质(1)如果a>b，那么；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔.(2)如果a>b，b>c，那么.即a>b，b>c⇒。(3)如果a>b，那么.(4)如果a>b，c>0，那么；如果a>b，c<0，那么.(5)如果a>b，c>d，那么.(6)如果a>b>0，c>d>0，那么.(7)如果a>b>0，那么(n∈N，n≥2)．【小试牛刀】1.若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？2.若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？3.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a＝b是eq\f(a,c)＝eq\f(b,c)成立的充要条件．()(2).a>b⇒ac2>bc2．()(3)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.()(4)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．()(5)设a，b∈R，且a>b，则a3>b3.()【经典例题】题型一用不等式(组)表示不等关系例1．如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a，b(a≠b)的不等式表示为________．题型二数(式)的大小比较注意：作差法比较两个数大小的步骤及变形方法(1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论．例2已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc.[跟踪训练]1已知x，y均为正数，设m＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)，n＝eq\f(4,x＋y)，比较m和n的大小．[跟踪训练]2已知a，b均为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．题型三利用不等式的性质求取值范围例3已知1<a<4,2<b<8.试求2a＋3b与a－b的取值范围．[变式]在本例条件下，求eq\f(a,b)的取值范围．[跟踪训练]3已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的范围．【当堂达标】1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是()A．30x－60≥400 B．30x＋60≥400C．30x－60≤400 D．30x＋40≤4002．已知a>b，c>d，且c，d不为0，那么下列不等式一定成立的是()A．ad>bc B．ac>bdC．a＋c>b＋d D．a－c>b－d3.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是()A.M>N B.M＝NC.M<N D.与x有关4.设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是()A.a－b>0 B.a3＋b3>0C.a2－b2<0 D.a＋b<05.若8<x<10，2<y<4，则eq\f(x,y)的取值范围为________.6.下列命题中，真命题是________(填序号).①若a>b>0，则eq\f(1,a2)<eq\f(1,b2)；②若a>b，则c－2a<c－2b；③若a<0，b>0，则eq\r(－a)<eq\r(b)；④若a>b，则2a>2b.已知1<a<6，3<b<4，求a－b，eq\f(a,b)的取值范围.已知－eq\f(π,2)<β<α<eq\f(π,2)，求2α－β的取值范围.若bc－ad≥0，bd>0，求证：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).10、a<b<0，求证：eq\f(b,a)<eq\f(a,b).11、设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．【参考答案】【自主学习】1.a－b>0a－b＝0a－b<003、(1)b<ab<a(2)a>ca>c(3)a＋c>b＋c(4)ac>bcac>bc(5)a＋c>b＋d(6)a＋c>b＋d(7)an>bn【小试牛刀】1.a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立.2.不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立.3.(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√【经典例题】例1[答案]eq\f(1,2)(a2＋b2)>ab例2证明(1)因为a>b，c>0，所以ac>bc，即－ac<－bc.又e>f，即f<e，所以f－ac<e－bc.[跟踪训练]1解∵m－n＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(4,x＋y)＝eq\f(x＋y,xy)－eq\f(4,x＋y)＝eq\f(x＋y2－4xy,xyx＋y)＝eq\f(x－y2,xyx＋y).又x，y均为正数，∴x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0.∴m－n≥0，即m≥n(当x＝y时，等号成立)．[跟踪训练]2(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．∵a>0，b>0且a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0.∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.例3解∵1<a<4,2<b<8，∴2<2a<8,6<3b<24∴8<2a＋3b<32.∵2<b<8，∴－8<－b<－2.又∵1<a<4，∴1＋(－8)<a＋(－b)<4＋(－2)，即－7<a－b<2.故8<2a＋3b<32，－7<a－b<2.[变式]∵2<b<8，∴eq\f(1,8)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)，又1<a<4，∴eq\f(1,8)<eq\f(a,b)<2.[跟踪训练]3设x＝a＋b，y＝a－b，则a＝eq\f(x＋y,2)，b＝eq\f(x－y,2)，∵1≤x≤5，－1≤y≤3，∴3a－2b＝eq\f(1,2)x＋eq\f(5,2)y.又eq\f(1,2)≤eq\f(1,2)x≤eq\f(5,2)，－eq\f(5,2)≤eq\f(5,2)y≤eq\f(15,2)，∴－2≤eq\f(1,2)x＋eq\f(5,2)y≤10.即－2≤3a－2b≤10.【当堂达标】Bx月后他至少有400元，可表示成30x＋60≥400.2.C由a>b，c>d得a＋c>b＋d，故选C.3.AM－N＝x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)>0.∴M>N.4.D解析本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，排除A，B，C，故选D.5.2<eq\f(x,y)<5解析∵2<y<4，∴eq\f(1,4)<eq\f(1,y)<eq\f(1,2).又∵8<x<10，∴2<eq\f(x,y)<5.①②④解析①a>b>00<eq\f(1,a)<eq\f(1,b)eq\f(1,a2)<eq\f(1,b2)；②a>b－2a<－2bc－2a<c－2b；对③取a＝－2，b＝1，则eq\r(－a)<eq\r(b)不成立.④正确.7、解∵3<b<4，∴－4<－b<－3.∴1－4<a－b<6－3，即－3<a－b<3.又eq\f(1,4)<eq\f(1,b)<eq\f(1,3)，∴eq\f(1,4)<eq\f(a,b)<eq\f(6,3)，即eq\f(1,4)<eq\f(a,b)<2.8、∵－eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,2)<－β<eq\f(π,2).∴－π<α－β<π.又∵β<α，∴α－β>0，∴0<α－β<π，又2α－β＝α＋(α－β)，∴－eq\f(π,2)<2α－β<eq\f(3,2)π.9、证明∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，∴bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b).又bd>0，两边同除以bd得，eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).10、证明：由于eq\f(b,a)－eq\f(a,b)＝eq\f(b2－a2,ab)＝eq\f(（b＋a）（b－a）,ab)，