3.3 幂函数透课堂-2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第一册)

2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第一册)3．3幂函数【知识导学】知识点一幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．知识点二五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．2．五个幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减知识点三一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．【考题透析】透析题组一：幂函数的定义1．（2021·全国高一课时练习）下列函数中，不是幂函数的是（）A．y＝2x B．y＝x－1 C．y＝ D．y＝x22．（2021·全国）已知点在幂函数的图像上，则函数是（）.A．奇函数B．偶函数C．减函数D．增函数3．（2021·全国）幂函数在上单调递增，则的值为（）A． B． C． D．或透析题组二：幂函数的值域问题4．（2021·全国高一专题练习）已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是（）A．1 B． C． D．5．（2021·全国高一专题练习）设，则使函数的值域为R且为奇函数的所有a值为（）A．1，3 B．，1 C．，3 D．，1，36．（2019·全国高一专题练习）已知幂函数f（x）=（m–1），则下列关于f（x）的说法不正确的是A．存在x0∈[0，+∞），使f（x0）>0 B．f（x）的图象过点（1，1）C．f（x）在其定义域上是增函数 D．对于任意x∈R，f（–x）+f（x）=0透析题组三：幂函数的定点和图像问题7．（2021·全国高一专题练习）幂函数，及直线将直角坐标系第一象限分成八个“卦限：（如图所示），那么，而函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是（）A． B． C． D．8．（2021·全国高一课时练习）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中②对应的幂函数是（）A． B． C． D．9．（2021·全国）下列结论正确的是（）A．幂函数图象一定过原点B．当时，幂函数是减函数C．当时，幂函数是增函数D．函数既是二次函数，也是幂函数透析题组四：幂函数的单调性问题（比较大小、解不等式、参数）10．（2020·乌鲁木齐市第三十一中学高一月考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．11．（2021·全国高一课时练习）下列结论中，正确的是（）A．幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1)B．幂函数的图象可以出现在第四象限C．当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数D．当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数12．（2021·全国高一课时练习）若，则实数m的取值范围为（）A． B．C． D．透析题组五：幂函数的奇偶性问题13．（2020·全国）已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)（）A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数14．（2021·全国高一课前预习）已知幂函数(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则m等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．315．（2020·乌苏市第一中学高一月考）已知，若幂函数为偶函数，且在上递减，则（）A．， B．1，3 C． D．，2【考点同练】一、单选题16．（2021·云南省玉溪第一中学）已知幂函数的图象过点，则该函数的解析式为（）A． B． C． D．17．（2020·南京市第十三中学高一月考）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（）A． B．C． D．18．（2021·全国）下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为（）A．y＝x－4 B．y＝x－1C．y＝x2 D．y＝x19．（2021·全国高一课时练习）若幂函数的图象过点，则函数的最大值为（）A． B． C． D．20．（2021·全国）已知，，，则（）.A．B．C．D．21．（2021·全国高一课时练习）点在幂函数的图象上，则函数的值域为（）A． B． C． D．22．（2021·全国高一课时练习）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为（）A． B． C． D．23．（2021·全国高一单元测试）已知函数是幂函数，直线过点，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、多选题24．（2020·三亚华侨学校高一期中）已知幂函数的图像经过，则幂函数具有的性质是（）A．在其定义域上为增函数 B．在上单调递减C．奇函数 D．定义域为25．（2021·全国高一课时练习）已知函数为幂函数，则该函数为（）A．奇函数 B．偶函数C．区间上的增函数 D．区间上的减函数26．（2021·全国高一课时练习）已知幂函数，对任意，且，都满足，若且，则下列结论可能成立的有（）A．且 B．且C．且 D．以上都可能27．（2021·江苏高一课时练习）有如下命题，其中真命题的标号为（）A．若幂函数的图象过点，则B．函数且的图象恒过定点C．函数在上单调递减D．若函数在区间上的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是三、填空题28．（2021·鹤庆县第一中学高一期末）若函数是幂函数，且是偶函数，则m＝____________.29．（2021·雄县第二高级中学高一期末）已知幂函数过定点，且满足，则的范围为________．30．（2021·全国）已知函数f(x)＝(m2－m－5)xm是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值是________．31．（2020·如皋市第一中学高一月考）若函数同时满足：（1）对于定义域上的任意，恒有；（2）对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数中：①；②；③；④，能被称为“理想函数”的有______(填相应的序号).四、解答题32．（2021·上海高一专题练习）已知函数是幂函数.求函数的解析式.33．（2021·全国高一课前预习）比较下列各组数的大小：（1）和；（2）和；（3）和；34．（2021·全国）已知函数是幂函数，且.（1）求函数的解析式；（2）试判断是否存在实数，使得函数在区间上的最大值为6，若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.35．（2021·江西省乐平中学高一开学考试）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增.（1）求函数的解析式；（2）若，求的取值范围：（3）若实数满足，求的最小值.36．（2021·浙江高一期末）已知幂函数在上单调递增，函数．（1）求m的值；（2）当时，记的值域分别为集合A，B，设，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．（3）设，且在上单调递增，求实数k的取值范围．【答案精讲】1．A【详解】为指数函数；，，为幂函数；故选：A.2．A【详解】且，解得，，∴在定义域的奇函数，故选：A.3．A【详解】解：幂函数在上单调递增，，且，解得或，当时符合题意；当时不符合题意；故选：．4．C【详解】由幂函数的图像过点，可得，解得，所以，函数，则，所以在区间上单调递增，所以的最小值.故选：5．A【详解】当时，，为奇函数，但值域为，不满足条件.当时，，为奇函数，值域为R，满足条件.当时，为偶函数，值域为，不满足条件.当时，为奇函数，值域为R，满足条件.故选：A.6．D【详解】由题意得m–1=1，即m=2，所以f（x）=，易知A，B，C正确，f（x）是非奇非偶函数，故D错．故选D．7．B【详解】对于幂函数，因为，所以在第一象限单调递减，根据幂函数的性质可知：在直线的左侧，幂函数的指数越大越接近轴，因为，所以的图象比的图象更接近轴，所以进过第卦限，在直线的右侧，幂函数的指数越小越接近轴，因为，所以的图象位于和之间，所以经过卦限，所有函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是，故选：B8．C【详解】解：由图知：①表示，②表示，③表示，④表示.故选：C.9．D【详解】由题意，函数的图象不过原点，故A不正确；函数在及上是减函数，故B不正确；函数在上是减函数，在上是增函数，故C不正确；根据幂函数的定义，可得函数是二次函数，也是幂函数，所以D正确.故选：D.10．A因为在上递增，所以，又因为在R上递减，所以，所以，故选：A11．C【详解】当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不经过原点，故A错误；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B错误；当α>0时，y＝xα是增函数，故C正确；当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误．故选：C.12．C【详解】因为幂函数在和上都是单调递减的，所以，由可得或或解得或，即实数m的取值范围为.故选：C.13．D【详解】设幂函数的解析式为，将点的坐标代入解析式得，解得，∴，函数的定义域为,是非奇非偶函数，且在上是增函数，故选：D.14．B【详解】因为在(0，＋∞)上是减函数，所以m－3<0,所以m<3.又因为m∈N*，所以或.又因为是奇函数，所以m－3是奇数，所以m＝2.故选：B.15．C【详解】若幂函数为偶函数，且在上递减，则且，所以.故选：C16．D【详解】设，依题意，所以.故选：D17．C【详解】由题意，若时，函数在递增，此时递增，若时，函数在递减，递减，所以当时，和单调性相同，故排除选项A，B，选项D中：由图象可知，此时与轴交点为，所以交于轴正半轴，可排除D，故选：C.18．A【详解】函数y＝x－4为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y＝x－1为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y＝x2为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增；函数y＝x为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．故选：A.19．C【详解】设幂函数，因为函数的图象过点，所以，所以，故，所以.令，所以，则，所以当时，.故选：C.20．C【详解】，，，且幂函数在上单调递增，指数函数在上单调递增，则，故选：C.21．B解：因为点在幂函数的图象上，所以，即，，所以，故，，，因为，所以，所以，所以函数的值域为.故选：B.22．D由题意得：，得或当时，图象关于y轴对称，不成立；当时，是奇函数，成立；所以不等式转化为，即，解得.故选：D23．D【详解】由是幂函数，知：，又在上，∴，即，则且，∴.故选：D.24．BC【详解】设幂函数，幂函数图象过点，，，定义域为，满足，是奇函数，值域为，在定义域内不单调，在上单调递减.故选：BC25．BC【详解】由为幂函数，得，即m=2，则该函数为，故该函数为偶函数，且在区间上是增函数，故选：BC.26．BC【详解】因为为幂函数，所以，解得：m=2或m=-1.因为任意，且，都满足，不妨设，则有，所以为增函数，所以m=2，此时因为，所以为奇函数.因为且，所以.因为为增函数，所以，所以.故BC正确.故选：BC27．BD【详解】对于A，令，则，解得：，，，A错误；对于B，令，即时，，恒过定点，B正确；对于C，为开口方向向上，对称轴为的二次函数，在上单调递增，C错误；对于D，令，解得：或；又，实数的取值范围为，D正确.故选：BD.28．【详解】因为函数是幂函数，所以，解得：或，当时，函数是偶函数，成立，当时，函数是奇函数，不成立.故答案为：29．【详解】设幂函数，其图象过点，所以，即，解得：，所以，因为，所以为奇函数，且在和上单调递减，所以可化为，可得，解得：，所以的范围为，故答案为：．30．3【详解】解：因为函数f(x)＝(m2－m－5)xm是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，所以，解得m＝3.所以数m的值是3.故答案为：3.31．④【详解】若满足：（1）对于定义域上的任意，恒有；可知是奇函数；若满足：（2）对于定义域上的任意，，当时，恒有，可知是减函数，所以即是奇函数又是减函数的函数就是“理想函数”.对于①：是奇函数，在和单调递减，但在定义域内不是减函数，不符合理想函数的定义，故①不正确；对于②是偶函数，在单调递减，在单调递增，不符合理想函数的定义，故②不正确；对于③：是奇函数，因为和都是增函数，所以在上单调递增，不符合理想函数的定义，故③不正确；对于④：作出分段函数的图象如图所示：由图知：图象关于原点对称是奇