3.1.1 椭圆及其标准方程-2020-2021学年高二数学重难点手册（圆锥曲线篇人教A版2019选择性必修第一册）

3.1.1椭圆及其标准方程知识储备1．椭圆的定义平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．(1)当2a＞|F1F2|时，M点的轨迹是椭圆；(2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是线段F1F2；(3)当2a＜|F1F2|时，M点不存在．2．椭圆的标准方程标准方程(a＞b＞0)(a＞b＞0)典例剖析eq\a\vs4\al(考点一椭圆的定义及其应用)[典例精析](1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A. B.C. D.(2)已知F1，F2是椭圆C：(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝__________.(3)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．[解析](1)设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为.(2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则∴2r1r2＝(r1＋r2)2－()＝4a2－4c2＝4b2，∴S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，∴b＝3.(3)椭圆方程化为，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，∴|AF1|＝，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋.[答案](1)D(2)3(3)6＋6－eq\a\vs4\al([变式发散])1．在本例(2)中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，则该椭圆的方程为________________．解析：由原题得b2＝a2－c2＝9，又2a＋2c＝18，所以a－c＝1，解得a＝5，故椭圆方程为.答案：2．(变条件)将本例(2)中的条件“⊥”“△PF1F2的面积为9”变为“∠F1PF2＝60°”，“＝3”，则b的值为________．解析：因为|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2，即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，所以|PF1||PF2|＝b2，又因为＝|PF1||PF2|sin60°＝×b2×＝b2＝3，所以b＝3.答案：3[解题技法]椭圆定义的应用技巧椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．[过关训练]1.如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是()A．椭圆 B.双曲线C．抛物线 D．圆解析：选A连接QA(图略)．由已知得|QA|＝|QP|.所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，得点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆．2．(2018·惠州模拟)设F1，F2为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为()A. B.C. D.解析：选D如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，|PF2|＝＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，＝，故选D.3．(2019·合肥质量检测)如图，椭圆(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H.若F1，H是线段MN的三等分点，则△F2MN的周长为()A．20 B.10C．2 D．4解析：选D由F1，H是线段MN的三等分点，得H是F1N的中点，又F1(－c,0)，∴点N的横坐标为c，联立方程得得N，∴H，M.把点M的坐标代入椭圆方程得，化简得c2＝，又c2＝a2－4，∴＝a2－4，解得a2＝5，∴a＝.由椭圆的定义知|NF2|＋|NF1|＝|MF2|＋|MF1|＝2a，∴△F2MN的周长为|NF2|＋|MF2|＋|MN|＝|NF2|＋|MF2|＋|NF1|＋|MF1|＝4a＝4，故选D.eq\a\vs4\al(考点二椭圆的标准方程)[典例精析](1)(2019·黄冈模拟)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的标准方程为()A. B.C. D.(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆的方程为____________________．(3)过点(，－)，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为________________________．[解析](1)由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′(图略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝＝8，由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，a2＝49，于是b2＝a2－c2＝49－25＝24，∴椭圆C的方程为，故选C.(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．由解得m＝，n＝.所以椭圆方程为.(3)法一：定义法椭圆的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由椭圆的定义，知2a＝，解得a＝2.由c2＝a2－b2可得b2＝4，所以所求椭圆的标准方程为.法二：待定系数法∵所求椭圆与椭圆的焦点相同，∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为(a＞b＞0)．∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①又点(，－)在所求椭圆上，即.②由①②得b2＝4，a2＝20，∴所求椭圆的标准方程为.[答案](1)C(2)(3)[解题技法]根据条件求椭圆方程的2种方法定义法根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程待定系数法待定系数法是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，再用待定系数法求出m，n的值即可能力检测姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单选题1．（2020·河北深州市中学高二期中）点与椭圆的位置关系为（）A．在椭圆上 B．在椭圆内 C．在椭圆外 D．不能确定【答案】B【解析】，可知点在椭圆内．故选：B.2．（2020·洛阳理工学院附属中学高三月考（理））已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】A【解析】因为P是焦点为，的椭圆上的一点，为的外角平分线，，设的延长线交的延长线于点M，所以，，所以由题意得是的中位线，所以，所以Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，所以当点Q与y轴重合时，Q与短轴端点取最近距离故选：A.3．（2020·武邑宏达学校高二期中）若椭圆的焦距为2，则的值是（）A．3 B．15 C．3或5 D．1或5【答案】C【解析】由题意知椭圆焦距为2，即，当焦点在x轴上时，则，，即，当焦点在y轴上时，则，，即，m的值为3或5.故选:C.4．（2020·河南高二月考（理））已知椭圆的焦距为4，直线与椭圆相交于点、，点是椭圆上异于点、的动点，直线、的斜率分别为、，且，则椭圆的标准方程是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为椭圆的焦距为，则①；设，因为直线与椭圆相交于点、，所以设，则，又点是椭圆上异于点、的动点，直线、的斜率分别为、，且，所以，又，两式作差可得，则，所以②，由①②解得，，所以椭圆的标准方程是.故选：C.5．（2020·全国高三专题练习（理））已知的顶点是椭圆的一个焦点，顶点、在椭圆上，且经过椭圆的另一个焦点，则的周长为（）A． B．6 C．4 D．12【答案】C【解析】如图，由题可知，不妨设椭圆焦点分别为，，根据椭圆定义可得，，，因为周长为，所以周长为，故选：C.6．（2020·全国高三专题练习（理））椭圆C的一个焦点为F1(0，1)，并且经过点P，则椭圆C的标准方程为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意可设椭圆C的标准方程为(a＞b＞0)，且另一个焦点为，所以2a＝|PF1|＋|PF2|.所以a＝2，又c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，故椭圆C的标准方程为.故选：D.7．（2020·福建高二期中）椭圆的焦距是2，则（）A．3 B．5 C．3或5 D．2【答案】C【解析】由题意得，得，当焦点在轴上时，，因为，所以，当焦点在轴上时，，因为，所以，解得，综上，或，故选：C8．（2020·湖南高二期中）已知直线过椭圆的右焦点F，且交椭圆于A、B两点.若线段AB的中点为P，直线OP的斜率为-1，则椭圆的方程为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，，，则，①-②得，整理可得，即，又直线过椭圆的右焦点，即，所以，，故选：D.二、多选题9．（2020·深圳市皇御苑学校高二期中）椭圆的焦距，短轴长和长轴长构成等差数列，其中长轴长等于10，则椭圆的标准方程为（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】设椭圆的焦距，短轴长和长轴长分别为2c，2b，2a．由条件得：解得：．若焦点在横轴上椭圆的标准方程为：，若焦点在纵轴上椭圆的标准方程为：．故选：AD.10．（2020·湖南雨花区·雅礼中学高二期中）下列说法正确的是（）A．方程表示一条直线B．到x轴的距离为2的点的轨迹方程为C．方程表示四个点D．“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件【答案】CD【解析】对A，，即，表示直线去掉一点，故A错误；对B，根据题意可知，满足要求的的轨迹方程为，故B错误；对C，，即，即表示，，，四个点，故C正确；对D，若表示椭圆，则，即或，“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，故D正确.故选：CD.11．（2020·湖北武汉市·高二期中）已知动圆Р与圆C1：外切，且与圆C2：内切，动圆圆心Р的轨迹方程为C，则下列说法正确的是（）A．轨迹方程C为 B．轨迹方程C的焦距为3C．轨迹方程C的长轴为10 D．轨迹方程C的离心率为【答案】ACD【解析】圆C1：的圆心，半径，圆C2：的圆心，半径，设点，动圆的半径为，则由题意得，所以，即动点P到两个定点的距离之和为10.又因为，所以点P在以两定点为焦点，10为长轴长的椭圆上.所以设此椭圆的轨迹方程为C为，这里，，则，因此，动圆圆心P所在的曲线方程为：.所以轨迹方程为C的焦距为6，轨迹方程为C的长轴长为10，轨迹方程为C的离心率为，故选：ACD.12．（2020·江苏沭阳县·高二期中）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（）A． B．椭圆的焦距为C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则【答案】CD【解析】由题可知，，又椭圆中，故，联立求得，故A错误；当，即时，焦点在轴，，故B错误，C正确；当，即时，焦点在轴上，，故B错误，D正确故选：CD三、填空题13．（2020·天津市咸水沽第一中学高二期中）已知圆：，定点，动圆过点，且与圆相内切，那么点的轨迹的方程为________.【答案】【解析】由题意，动圆M的半径为，圆的圆心，半径，且圆与圆相内切，∴，即动点到两定点、的距离之和为定值，且大于，有，，∴根据椭圆定义知：M的轨迹C为，故答案为：.14．（2020·河南高二月考（文））已知椭圆：的焦距为2，，为其左、右焦点，点，在椭圆上，且，是以为顶角的等腰三角形，则椭圆的标淮方程为______．【答案】【解析】设，，，是以为顶角的等腰三角形，，由椭圆定义可得，即，即，，则可得，即，解得，则，椭圆的标淮方程为.故答案为：.15．（2020·北京师范大学珠海分校附属外国语学校高二期中）已知椭圆方程表示椭圆，焦点，，椭圆上有一动点，则______．【答案】【解析】因为椭圆的长轴长为，又为椭圆上一点，与为椭圆的两焦点，根据椭圆的定义可得.故答案为：.16．（2020