专题02 整式和因式分解（讲义）（解析版）

专题02整式和因式分解核心知识点精讲1．理解代数式的意义，能够进行代数式的求值．2．理解整式的相关概念，包括单项式、多项式系数、次数、同类项的概念．3．理解同类项的合并方法．4．能够进行整式的加减法、乘除法的运算，混合运算以及化简求值.5．理解同底数幂的运算．6．掌握因式分解的概念、常用方法，如提公因式法、公式法、分组分解法等．7．能够理解运用因式分解的一般步骤．考点1代数式及求值1.代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。2.代数式求值：用数值代数式里的字母，计算后所得的结果。考点2整式的相关概念1.单项式：表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是代数式。2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成。3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做多项式的次数。4.多项式：几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。常数项的次数为0。5.整式：单项式和多项式统称为整式。注意：分母上含有字母的不是整式。6.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。考点3整式的运算法则1.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。2.整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。3.整式的乘法：4.整式的除法：考点4幂的运算1.同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．am•an＝am+n（m，n是正整数）（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．2．幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．3．同底数幂的除法同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．考点5整式的混合运算—化简求值先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．考点6因式分解1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。2.因式分解的常用方法（1）提公因式法：（2）运用公式法：（3）分组分解法：（4）十字相乘法：3.因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，再看是否能用公式法，最后观察多项式的能否继续分解。【题型1：代数式及求值】【典例1】（2023秋•温州）下列各式中，符合代数式书写规则的是（）A．216b B．a×14 C．2y【答案】D【分析】代数式的书写要求：①在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；②数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面，当系数为1或﹣1时，1省略不写；③在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要化为假分数；由此判断即可．【解答】解：A、216bB、a×14应写成C、2y÷z应写成2yzD、73故选：D．【典例2】（2023秋•东莞市）若x﹣5y＝7，则代数式2x﹣10y﹣3的值为（）A．17 B．11 C．﹣11 D．10【答案】B【分析】将原式变形后代入数值计算即可．【解答】解：∵x﹣5y＝7，∴2x﹣10y﹣3＝2（x﹣5y）﹣3＝2×7﹣3＝11，故选：B．1．（2023秋•广州期中）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为4，则第2022次输出的结果是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣6【答案】D【分析】输入的x的值为4，由题意列式计算后总结规律即可．【解答】解：输入的x的值为4，第1次输出结果为：12第2次输出结果为：12第3次输出结果为：1﹣5＝﹣4；第4次输出结果为：12第5次输出结果为：12第6次输出结果为：﹣1﹣5＝﹣6；第7次输出结果为：12第8次输出结果为：﹣3﹣5＝﹣8；第9次输出结果为：12……，（2022﹣2）÷6＝336…4，则第2022次输出的结果是﹣6，故选：D．2．（2023秋•天河区）如果式子3a﹣2b的值为10，则6a﹣4b+2的值为（）A．20 B．22 C．26 D．36【答案】B【分析】把代数式6a﹣4b+2进行变形，然后代数即可．【解答】解：6a﹣4b+2＝2（3a﹣2b）+2＝2×10+2＝22．故选：B．3．（2023秋•深圳）已知a＝﹣1，则a2﹣4的值为﹣3．【答案】﹣3．【分析】把a＝﹣1代入a2﹣4，计算即可．【解答】解：当a＝﹣1时，a2﹣4＝（﹣1）2﹣4＝1﹣4＝﹣3，故答案为：﹣3．4．（2023秋•香洲区校级期中）已知x﹣2y＝3，则代数式x﹣2y+4的值为7．【答案】7．【分析】将x﹣2y＝3代入即可求解．【解答】解：∵x﹣2y＝3，∴x﹣2y+4＝3+4＝7．故答案为：7．5．（2023秋•深圳校级期中）如图，长为y（cm），宽为x（cm）的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为5cm．（1）从图可知，每个小长方形的较长边的长是（y﹣15）cm（用含y的代数式表示）．（2）求阴影A和阴影B的周长和（用含x的代数式表示）．（3）当y＝30时，用含x的代数式分别表示阴影A，B的面积，并比较A，B面积的大小．【答案】（1）（y﹣15）；（2）（4x+10）cm；（3）阴影A的面积为15（x﹣10）cm2，阴影B的面积为15（x﹣15）cm2，阴影A＞阴影B面积．【分析】（1）观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为（y﹣15）cm；（2）由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为2（2x+5）cm；（3）利用长方形的面积公式分别求得阴影A，B的面积，将y＝30代入计算阴影A，B的面积，比较大小即可得出结论．【解答】解：（1）从图可知，每个小长方形的较短边的长是5cm，∴每个小长方形的较长边的长是：y﹣5×3＝（y﹣15）cm．故答案为：（y﹣15）；（2）由图形可知，阴影A的长为（y﹣15）cm，宽为（x﹣10）cm，阴影B的长为15cm，宽为x﹣（y﹣15）＝（x﹣y+15）cm，∴阴影A和阴影B的周长和为：2（y﹣15+x﹣10）+2（15+x﹣y+15）＝（4x+10）cm．（3）由（2）知：阴影A的长为（y﹣15）cm，宽为（x﹣10）cm，阴影B的长为15cm，宽为x﹣（y﹣15）＝（x﹣y+15）cm，则阴影A的面积为（y﹣15）（x﹣10）cm2，阴影B的面积为15（x﹣y+15）cm2，当y＝30时，阴影A的面积为15（x﹣10）cm2，阴影B的面积为15（x﹣15）cm2，∵15（x﹣10）﹣15（x﹣15）＝15x﹣150﹣15x+225＝75＞0，∴阴影A＞阴影B面积．6．（2023秋•罗湖区校级期中）某商场销售的外套每件原价200元，围巾每条原价30元．“双十一”购物节到了，该商场决定举行促销活动，向客户提供了两种优惠方案：方案①买一件外套送一条围巾；方案②外套和围巾都按定价的80%付款．现甲客户要到商场购买外套40件，围巾x条（x＞40）．若该客户按方案①购买，共需付款（30x+6800）元（用含x的式子表示）；若该客户按方案②购买，共需付款（24x+6400）元（用含x的式子表示）；【答案】（30x+6800）；（24x+6400）；【分析】根据方案①、方案②的优惠方法列出代数式解答即可；【解答】解：若该客户按方案①购买，共需付款200×40+30（x﹣40）＝8000+30x﹣1200＝（30x+6800）元；若该客户按方案②购买，共需付款200×40×80%+30x×80%＝（24x+6400）元；故答案为：（30x+6800）；（24x+6400）；【题型2：整式的相关概念】【典例3】（2023秋•香洲区校级）下列说法中，不正确的是（）A．﹣ab2c的系数是﹣1，次数是4 B．2xy﹣1是整式 C．2r+πr2是三次二项式 D．6x2﹣3x+1的项是6x2，﹣3x，1【答案】C【分析】根据单项式的系数、次数，可判断A；根据整式的定义，可判断B；根据多项式次数和项，可判断C；根据多项式的项，可判断D．【解答】解：A、﹣ab2c的系数是﹣1，次数是4，故A正确，不符合题意；B、2xy﹣1是整式，故B正确，不符合题意；C、2r+πr2是二次二项式，故C不正确，符合题意；D、6x2﹣3x+1的项是6x2，﹣3x，1，故D正确，不符合题意；故选：C．【典例4】（2023秋•中山市期中）在代数式①x+yx；②−x5+y32；③0.25m2n4；④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据整式的定义进行判断即可．【解答】解：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称为整式．则①x+yx②−x③0.25m2n4符合整式的定义，它是整式；④2021符合整式的定义，它是整式；⑤1+3⑥2π综上，②③④⑥是整式，共4个，故选：D．1.（2023秋•茂名）下列说法正确的是（）A．12πB．﹣4x2y的系数为4 C．8是单项式 D．3是单项式3（x+y）的系数【答案】C【分析】根据单项式次数、系数和单项式的定义，多项式的定义对各选项逐一判断即可．【解答】解：A．12B．﹣4x2y的系数为﹣4，不符合题意；C．8是单项式，符合题意；D．3（x+y）是多项式，不符合题意．故选：C．2．（2023秋•东莞市校级）单项式−27x2y3A．−27，5 B．27，5 C．−27【答案】C【分析】根据单项式系数及次数的定义解答即可．【解答】解：单项式−27x2y3z的系数是故选：C．3．（2023秋•东莞市）单项式﹣πr2的系数和次数分别是（）A．﹣1和2 B．﹣1和3 C．﹣π和2 D．﹣π和3s【答案】C【分析】直接利用单项式的次数与系数的定义分析得出答案．【解答】解：单项式﹣πr2的系数和次数分别是：﹣π，2．故选：C．4．（2023秋•东莞市校级期中）单项式−5ab4c2【答案】−5【分析】单项式前面的数字因数即为单项式的系数，据此即可得出答案．【解答】解：单项式−5ab4故答案为：−5【题型3：整式的运算法则】【典例5】（2022秋•花都区期末）计算13a2•（﹣6ab）的结果是【答案】﹣2a3b．【分析】根据单项式乘单项式的运算法则进行求解即可．【解答】解：13a2•（﹣6ab=13×（﹣6）＝﹣2a3b．故答案为：﹣2a3b．1．（2023秋•惠州期中）若单项式am﹣1b2与12abn+5A．3 B．6 C．﹣9 D．9【答案】D【分析】根据单项式am﹣1b2与12abn+5的和仍是单项式，可得单项式am﹣1b2与12【解答】解：∵单项式am﹣1b2与12∴单项式am﹣1b2与12∴m﹣1＝1，n+5＝2，解得m＝2，n＝﹣3，∴nm＝（﹣3）2＝9，故选：D．A．16x3y B．18x【答案】D【分析】先算乘方，再算除法，即可解答．【解答】解：（x2y）3÷（2xy）3＝x6y3÷8x3y3=18x故选：D．3.（2023秋•荔湾区校级期中）添括号：a﹣b+c＝a﹣．【答案】（b﹣c）．【分析】根据添括号法则可以解答本题．【解答】解：a﹣b+c＝a﹣（b﹣c），故答案为：（b﹣c）．【题型4：幂的运算】【典例6】（2023春•高州市期中）已知3m＝4，3n＝10，求3m+n的值．【答案】40．【分析】根据同底数幂乘法的运算法则可知3m+n＝3m•3n，代入已知计算即可．【解答】解：∵3m＝4，3n＝10，∴3m+n＝3m•3n＝4×10＝40．【典例7】（2023•南山区三模）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a5 B．a+2a＝3a2 C．（ab）3＝ab3 D．（﹣a3）2＝﹣a6【答案】A【分析】先根据合并同类项法则，同底数幂的乘法和幂的乘方与积的乘方进行计算，再判断即可．【解答】解：A．a2•a3＝a5，故本选项符合题意；B．a+2a＝3a，故本选项不符合题意；C．（ab）3＝a3b3，故本选项不符合题意；D．（﹣a3）2＝a6，故本选项不符合题意；故选：A．1.（2023秋•越秀区校级期中）下列运算中，结果正确的是（）A．2m2+m2＝3m4 B．m2•m4＝m8 C．（m2）4＝m6 D．（mn）2＝m2n2【答案】D【分析】根据合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方法则运算判断即可．【解答】解：A、2m2+m2＝3m2，故原选项不符合题意；B、m2•m4＝m6，故原选项不符合题意；C、（m2）4＝m8，故原选项不符合题意；D、（mn）2＝m2n2，故原选项符合题意．故选：D．2．（2023秋•广州期中）下列运算中，结果正确的是（）A．a3•a5＝a15 B．（a3）5＝a8 C．（aⁿ+1）3＝a3n+1 D．a3+a3＝2a3【答案】D【分析】利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则及合并同类项的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、a3•a5＝a8，故A不符合题意；B、（a3）5＝a15，故B不符合题意；C、（aⁿ+1）3＝a3n+3，故C不符合题意；D、a3+a3＝2a3，故D符合题意；故选：D．3．（2023秋•黄埔区校级期中）计算(23)【答案】﹣1．【分析】根据积的乘方的逆运算法则求解即可．【解答】解：(=[＝（﹣1）2023＝﹣1．故答案为：﹣1．4．（2023春•顺德区期末）计算：（﹣3b）2＝9b2．【答案】9b2．【分析】根据积的乘方的运算法则计算即可．【解答】解：（﹣3b）2＝（﹣3）2b2＝9b2．故答案为：9b2．5.（2023秋•中山区校级期中）3m＝8，9n＝4，则32m﹣6n的值为（）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】根据幂的乘方与积的乘方将32m﹣6n化为（3m）2÷（9n）3，再代入计算即可．【解答】解：∵3m＝8，9n＝4，∴32m﹣6n＝（3m）2÷（9n）3＝82÷43＝64÷64＝1．故选：B．6．（2023春•茂名期中）下列运算正确的是（）A．（﹣a）3÷（﹣a）＝a2 B．（﹣3a）2＝6a2 C．（a2）2＝a5 D．a2•a3＝a6【答案】A【分析】根据同底数幂相除，积的乘方，幂的乘方，同底数幂相乘法则，逐项判断即可求解．【解答】解：A、（﹣a）3÷（﹣a）＝a2，故本选项正确，符合题意；B、（﹣3a）2＝9a2，故本选项错误，不符合题意；C、（a2）2＝a4，故本选项错误，不符合题意；D、a2•a3＝a5，故本选项错误，不符合题意．故选：A．【题型4：幂的运算】【典例8】（2023春•宝安区校级期中）先化简，再求值：（2x+1）2﹣（x+3）（x﹣3），其中x＝2．【答案】3x2+4x+10，30．【分析】原式利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝4x2+4x+1﹣x2+9＝3x2+4x+10，当x＝2时，原式＝12+8+10＝30．1．先化简，再求值：[（xy+2）（xy﹣2）﹣2x2y2+4]÷xy，其中x＝﹣10，y=1【答案】﹣xy，25【分析】先根据平方差公式进行计算，再合并同类项，算除法，最后代入求出答案即可．【解答】解：[（xy+2）（xy﹣2）﹣2x2y2+4]÷xy＝（x2y2﹣4﹣2x2y2+4）÷xy＝﹣x2y2÷xy＝﹣xy，当x＝﹣10，y=125时，原式＝﹣（﹣10）2．2．（2023春•禅城区校级月考）先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x+2y）（x﹣2y）]÷2x，其中12【答案】x﹣2y；6．【分析】根据完全平方公式，平方差公式先计算括号内的式子，再根据多项式除以单项式计算即可．【解答】解：[（x﹣2y）2+（x+2y）（x﹣2y）]÷2x＝（x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2）÷2x＝（2x2﹣4xy）÷2x＝x﹣2y，∵12∴12∴x﹣2y＝6，∴原式＝6．3．（2023春•南山区期末）先化简，再求值；x（x+2y）﹣（x+1）2+2x，其中x=1【答案】2xy﹣1；﹣3．【分析】直接利用乘法公式、单项式乘多项式分别化简，再合并同类项，最后把x、y的值代入得出答案．【解答】解：x（x+2y）﹣（x+1）2+2x＝x2+2xy﹣x2﹣2x﹣1+2x＝2xy﹣1；当x=115，原式＝2×1＝﹣2﹣1＝﹣3．【题型5：因式分解】【典例9】（2023秋•中山区校级期中）下列因式分解变形正确的是（）A．2a2﹣a＝2（a2﹣a） B．﹣a2﹣4＝（a+2）（a﹣2） C．﹣a2﹣2a﹣1＝﹣（a+1）2 D．a2﹣5a﹣6＝（a﹣2）（a﹣3）【答案】C【分析】利用提公因式法、公式法和十字相乘法进行分解，逐一判断即可解答．【解答】解：A、2a2﹣a＝a（2a﹣1），故A不符合题意；B、﹣a2﹣4不能因式分解，故B不符合题意；C、﹣a2﹣2a﹣1＝﹣（a+1）2，故C符合题意；D、a2﹣5a﹣6＝（a+1）（a﹣6），故D不符合题意；故选：C．【典例10】（2023秋•荔湾区期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1 C．x+2＝x（1+2x） D．x2﹣4＝（x+2）（【答案】D【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，依据分解因式的定义进行判断即可．【解答】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C．等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；D．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；故选：D．1．（2023秋•越秀区校级期末）若多项式x2+mx﹣35分解因式为（x﹣7）（x+5），则m的值是（）A．2 B．﹣2 C．12 D．﹣12【答案】B【分析】利用十字相乘法很容易确定m的值．【解答】解：∵多项式x2+mx﹣35分解因式为（x﹣7）（x+5），即x2+mx﹣35＝（x﹣7）（x+5），∴x2+mx﹣35＝x2﹣2x﹣35，系数对应相等，∴m＝﹣2，故选：B．2．（2023秋•龙华区校级期中）下列因式分解，正确的是（）A．a2﹣9b2＝（a+9b）（a﹣9b） B．x2﹣2x﹣8＝（x﹣4）（x+2） C．x2﹣y2＝（x﹣y）2 D．﹣a2+a＝﹣a（a+1）【答案】B【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式＝（a+3b）（a﹣3b），不符合题意；B、原式＝（x﹣4）（x+2），符合题意；C、原式＝（x+y）（x﹣y），不符合题意；D、原式＝﹣a（a﹣1），不符合题意．故选：B．3．（2022秋•廉江市期末）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） B．a（m+n）＝am+an C．（a+b）2＝a2+b2 D．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x【答案】A【分析】利用因式分解的定义判断即可．【解答】解：A、符合因式分解的定义，故本选项符合题意；B、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；C、等号左右两边式子不相等，故本选项不符合题意；D、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意．故选：A．4．（2023春•宝安区期中）下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A．x2B．（x﹣y）2＝x2﹣y2 C．x2﹣4+4x＝（x+2）（x﹣2）+4x D．a2﹣9＝（a﹣3）（a+3）【答案】D【分析】利用因式分解的定义判断即可．【解答】解：A、右边不是整式的积的形式（含有分式），不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；B、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2是整式乘法，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；C、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；D、符合因式分解的定义，故本选项符合题意．故选：D．一．选择题（共6小题）1．下列式子中，单项式有（）①3x②x+y2③1x④x3﹣2xy2+3；⑤24；⑥a．A．①③⑤ B．②③⑤⑥ C．①⑤⑥ D．①④⑤⑥【答案】C【分析】根据单项式的定义逐个判断即可得到答案．【解答】解：代数式①3x2π；②x+y2；③1x2；④x3﹣2xy2+3；⑤24故选：C．2．已知a2﹣5＝2a，则代数式（a﹣2）（a+3）﹣3（a﹣1）的值是（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8【答案】A【分析】根据单项式乘多项式的运算法则、多项式乘多项式的运算法则、合并同类项把原式化简，整体代入计算，得到答案．【解答】解：原式＝a2+3a﹣2a﹣6﹣（3a﹣3）＝a2+3a﹣2a﹣6﹣3a+3＝a2﹣2a﹣3，∵a2﹣5＝2a，∴a2﹣2a＝5，则原式＝5﹣3＝2，故选：A．3．下列各式中，计算正确的是（）A．x2+x3＝x5 B．a5﹣a4＝a C．（a2）3＝a5 D．a2×a4＝a6【答案】D【分析】利用合并同类项的法则，幂的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、x2与x3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；B、a5与﹣a4不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；C、（a2）3＝a6，故C不符合题意；D、a2×a4＝a6，故D符合题意；故选：D．4．若单项式am﹣1b2与12abn+5A．3 B．6 C．﹣9 D．9【答案】D【分析】根据单项式am﹣1b2与12abn+5的和仍是单项式，可得单项式am﹣1b2与12【解答】解：∵单项式am﹣1b2与12∴单项式am﹣1b2与12∴m﹣1＝1，n+5＝2，解得m＝2，n＝﹣3，∴nm＝（﹣3）2＝9，故选：D．5．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1 C．x+2＝x（1+2x） D．x2﹣4＝（x+2）（【答案】D【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，依据分解因式的定义进行判断即可．【解答】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C．等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；D．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；故选：D．6．若a﹣b＝5，ab＝3，则代数式ab2﹣a2b的值是（）A．15 B．﹣15 C．75 D．﹣75【答案】B【分析】首先将ab2﹣a2b提取公因式﹣ab得ab2﹣a2b＝﹣ab（a﹣b），然后将a﹣b＝5，ab＝3整体代入即可．【解答】解：∵a﹣b＝5，ab＝3，∴ab2﹣a2b＝﹣ab（a﹣b）＝﹣3×5＝﹣15．故选：B．二．填空题（共5小题）7．单项式﹣9x3y2的系数是﹣9．【答案】﹣9．【分析】根据单项式系数的定义来选择，单项式中数字因数叫做单项式的系数．【解答】解：单项式﹣9x3y2的系数是﹣9．故答案为：﹣9．8．单项式﹣3abc2的次数是4．【答案】4．【分析】直接根据单项式的有关概念解答即可．【解答】解：单项式﹣3abc2的次数是4，故答案为：4．9．x2•x3＝x5；(−13a)2=19a2；（﹣2b【答案】x5；19a2；﹣8【分析】利用同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则进行运算即可．【解答】解：x2•x3＝x5；(−1（﹣2b2）3＝﹣8b6．故答案为：x5；19a2；﹣810．当a+b＝2，ab＝﹣3时，则a2b+ab2＝﹣6．【答案】﹣6．【分析】利用提取公因式法进行因式分解，再将a+b＝2，ab＝﹣3代入计算即可得出答案．【解答】解：∵a+b＝2，ab＝﹣3，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝﹣3×2＝﹣6．故答案为：﹣6．11．分解因式：m2﹣5m＝m（m﹣5）．【答案】见试题解答内容【分析】原式提取公因式即可得到结果．【解答】解：原式＝m（m﹣5），故答案为：m（m﹣5）三．解答题（共4小题）12．先化简，再求值：（2x+1）2+（x+2）（x﹣2）﹣x（5x﹣4），其中x＝2．【答案】8x﹣3，原式＝13．【分析】先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【解答】解：（2x+1）2+（x+2）（x﹣2）﹣x（5x﹣4）＝4x2+4x+1+x2﹣4﹣5x2+4x＝8x﹣3，当x＝2时，原式＝8×2﹣3＝16﹣3＝13．13．先化简，再求值：5（3x2y﹣xy2）﹣（xy2﹣3x2y），其中x，y满足（x﹣1）2+|2+y|＝0．【答案】18x2y﹣6xy2；﹣60．【分析】先去括号，再合并同类项得到最简结果，根据非负数的性质可求出x，y的值，代入计算即可．【解答】解：原式＝15x2y﹣5xy2﹣xy2+3x2y＝18x2y﹣6xy2．∵（x﹣1）2+|2+y|＝0，∴x﹣1＝0，2+y＝0，∴x＝1，y＝﹣2．当x＝1，y＝﹣2时，原式＝﹣36﹣24＝﹣60．14．分解因式：（1）t2﹣6t+9．（2）4a2（x﹣y）+b2（y﹣x）．【答案】（1）（t﹣3）2；（2）（2a+b）（2a﹣b）（x﹣y）．【分析】（1）直接利用完全平方公式分解因式得出答案；（2）直接提取公因式（x﹣y），进而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：（1）t2﹣6t+9＝（t﹣3）2；（2）4a2（x﹣y）+b2（y﹣x）＝4a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）＝（x﹣y）（4a2﹣b2）＝（2a+b）（2a﹣b）（x﹣y）．15．把下列多项式分解因式．（1）6x2y+12xy；（2）2a3﹣8ab2；（3）（x﹣1）（x﹣3）+1．【答案】（1）6xy（x+2）；（2）2a（a+2b）（a﹣2b）；（3）（x﹣2）2．【分析】（1）先提公因式6xy即可；（2）先提公因式2a，再用平方差公式因式分解即可；（3）先用整式的乘法法则及加法运算，再用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）原式＝6xy（x+2）；（2）原式＝2a（a2﹣4b2）＝2a（a+2b）（a﹣2b）；（3）原式＝x2﹣3x﹣x+3+1＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2．一．选择题（共7小题）1．关于多项式x2y2﹣2x2y﹣xy+4，下列说法错误的是（）A．该多项式是四次四项式 B．二次项的系数为﹣1 C．该多项式不含一次项 D．三次项为2x2y【答案】D【分析】根据多项式次数，项数，一次项，二次项，三次项的定义一一判断．【解答】解：多项式x2y2﹣2x2y﹣xy+4是四次多项式，二次项系数为﹣1，不含一次项，三次项是﹣2x2y，故A，B，C正确，D错误．故选：D．2．已知x2＝2y+7，y2＝2x+7，且x≠y，则xy的值为（）A．7 B．3 C．﹣3 D．﹣7【答案】C【分析】两式相减，由平方差公式求出x﹣y＝﹣2，两式相加，由完全平方公式即可求出xy的值．【解答】解：∵x2＝2y+7，y2＝2x+7，∴x2﹣y2＝2（y﹣x），∴（x+y）（x﹣y）＝﹣2（x﹣y），∵x≠y，∴x+y＝﹣2，∵x2+y2＝2（x+y）+14，∴（x+y）2﹣2xy＝2（x+y）+14，∴（﹣2）2﹣2xy＝2×（﹣2）+14，∴xy＝﹣3，故选：C．3．若a＝2022×2023﹣1，b＝20222﹣2022×2023+20232，则下列判断正确的是（）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．无法判断【答案】A【分析】根据完全平方公式的变形，将b化简，进而与a比较即可求解．【解答】解：a＝2022×2023﹣1，b＝20222﹣2022×2023+20232＝（2022﹣2023）2+2022×2023＝2022×2023+1，故a＜b．故选：A．4．使（x2+p）（x2﹣qx+4）乘积中不含x2与x3项，则p+q的值为（）A．﹣4 B．﹣8 C．﹣2 D．8【答案】A【分析】根据多项式乘多项式法则展开，合并同类项，根据不含x2与x3项，令这两项的系数等于0即可．【解答】解：（x2+p）（x2﹣qx+4）＝x4﹣qx3+4x2+px2﹣pqx+4p＝x4﹣qx3+（4+p）x2﹣pqx+4p，∵不含x2与x3项，∴﹣q＝0，4+p＝0，∴p＝﹣4，q＝0，∴p+q＝﹣4，故选：A．5．若k+1012﹣1＝1022，则k的值为（）A．100 B．101 C．200 D．204【答案】D【分析】利用平方差公式解方程即可．【解答】解：∵k+1012﹣1＝1022，∴k＝1022﹣1012+1＝（102+101）（102﹣101）+1＝203+1＝204，故选：D．6．若x2+x﹣2＝0，则x3+2x2﹣x+2021等于（）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020【答案】A【分析】将x2+x﹣2＝0变形为x2＝﹣x+2，x2+x＝2，代入x3+2x2﹣x+2021即可求解．【解答】解：∵x2+x﹣2＝0，∴x2＝﹣x+2，x2+x＝2，∴x3+2x2﹣x+2021＝x•x2+2x2﹣x+2021＝x•（﹣x+2）+2x2﹣x+2021＝x2+x+2021＝2+2021＝2023．故选：A．7．若多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式2x﹣3，则a的值为（）A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣5【答案】A【分析】先分解，再对比求出a．【解答】解：∵多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式2x﹣3，﹣6＝﹣3×2．∴2x2+ax﹣6＝（2x﹣3）（x+2）＝2x2+x﹣6．∴a＝1．故选A．二．填空题（共4小题）8．4个数a，b，c，d排列成abcd，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：abcd=ad﹣bc．若x−2【答案】见试题解答内容【分析】根据题意可以将x−2x+3x+1x−2【解答】解：∵x−2x+3∴（x﹣2）（x﹣2）﹣（x+3）（x+1）＝13，x2﹣4x+4﹣x2﹣4x﹣3＝13，﹣8x＝12，解得，x=−3故答案为：−39．一个自然数除了1和它本身以外的因数叫做这个数的真因数．在自然数a的真因数前面加上负号，定义其为a的假因数．若a的所有假因数的乘积大于a本身，则称a为“飞跃数”．如12的所有假因数乘积是（﹣2）×（﹣3）×（﹣4）×（﹣6）＝144，大于12本身，故12是一个“飞跃数”．规定没有假因数的自然数不是“飞跃数”．则从2到100的自然数中，“飞跃数”的个数是33．【答案】33．【分析】根据题目要求，找出25个自然数不是飞跃数，排除，根据飞跃数还有一个要求a的所有假因数的乘积大于a本身，确定从2到100的自然数中的飞跃数即可．【解答】解：根据题目要求，要想成为飞跃数，其本身要有除了1和它本身以外的因数，从2到100的自然数中，因数只有1和它本身的自然数共25个：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97251自然数不是飞跃数，排除，题干中飞跃数还有一个要求：a的所有假因数的乘积大于a本身，故a的因数除去1和本身以外的个数应该是偶数个，且偶数个的个数大于2，若等于2，则假因数乘积等于a不是飞跃数，综上则从2到100的自然数中，飞跃数是：12，18，20，24，28，30，32，40，42，44，45，48，50，52，54，56，60，63，66，68，7072，75，76，78，80，84，88，90，92，96，98，99共33个．故答案为：33．10．因式分解：2a2−2a+1【答案】2(a−1【分析】先提取公因式，再用完全平方公式分解因式．【解答】解：原式＝2（a2﹣a+1＝2(a−111．如果x2﹣y2＝8，x﹣y＝2，那么代数式x2+y2的值是10．【答案】10．【分析】首先把x2﹣y2因式分解，根据x﹣y＝2，求出x+y的值，再求出x，y的值，代入x2+y2进行计算即可．【解答】解：∵x2﹣y2＝8，∴（x+y）（x﹣y）＝8，∵x﹣y＝2①，∴x+y＝4②，①+②得：x＝3，把x＝3代入①得：y＝1，把x＝3，y＝1代入x2+y2得：x2+y2，＝32+12，＝9+1，＝10，故答案为：10．三．解答题（共2小题）12．在日历中，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．（1）图①是2023年11月份的月历，我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），先将位置b，d上的数相乘，再将位置a，e上的数相乘，最后把他们的积相减．例如：6×20﹣5×21＝15，3×17﹣2×18＝15，发现结果都等于15．（2）设“Z”字型框架中位置c上的数为x，请用含x的代数式表示b•d＝（x﹣7）（x+7），利用整式的运算对（1）中的规律加以证明．【答案】（1）15，15，15；（2）（x﹣7）（x+7），见解答过程．【分析】（1）利用有理数的相应的法则进行运算即可；（2）分别表示出a，b，d，e，再结合题意进行运算即可求证．【解答】解：（1）6×20﹣5×21＝120﹣105＝15，3×17﹣2×18＝51﹣36＝15，发现结果都等于15；故答案为：15，15，15；（2）由题意得：a＝x﹣8，b＝x﹣7，d＝x+7，e＝x+8，∴示b•d＝（x﹣7）（x+7），∴bd﹣ae＝（x﹣7）（x+7）﹣（x﹣8）（x+8）＝x2﹣49﹣x2+64＝15．故答案为：（x﹣7）（x+7）．13．观察下列算式特征，并完成相应任务．（x+4）（x+3）＝x2+7x+12；（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6；（x+5）（x﹣2）＝x2+3x﹣10；（x﹣2）（x﹣1）＝x2﹣3x+2．（1）任务一：发现与表达请用含字母的算式表示以上算式的一般特征：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab．（2）任务二：问题与解决如果x2+mx+8＝（x+a）（x+b），其中m，a，b均为整数，则m的取值有D．A.1个B.2个C.3个D.4个（3）任务三：拓展与猜想若（ax+m）（bx+n）＝abx2+px+q，则p＝an+bm，q＝mn．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用多项式乘多项式法则判断即可；（2）判断出ab＝8，求出整数解，可得结论；（3）利用乘法公式展开即可．【解答】解：（1）（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab．故答案为：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab；（2）∵（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+8，∴ab＝8，m＝a+b，∵m，a，b均为整数，∴a＝1，b＝8或a＝2，b＝4或a＝﹣1，b＝﹣8或a＝﹣2，b＝﹣4，∴m＝a+b的值有四种可能．故答案为：D．（3）∵（ax+m）（bx+n）＝abx2+（an+bm）x+mn＝abx2+px+q∴p＝（an+bm），q＝mn．故答案为：an+bm，mn．1．（2023•广