专题9.2 椭圆方程与性质(解析版)

9.2椭圆方程与性质思维导图知识点总结内容提要1.椭圆定义：设F1，F2是平面上的两个定点，若平面内的点P满足PF2.椭圆的简单几何性质：标准方程xy焦点坐标FF焦距F1F图形范围−−对称性关于x轴、y轴、原点对称顶点坐标左、右顶点：A上、下顶点：B左、右顶点：B上、下顶点：A长轴长A1A2短轴长B1B2离心率e3.通径：经过椭圆焦点且垂直于长轴的弦叫做通径(如图中两条蓝色的线段)，其长度为2b典型例题分析考向一椭圆定义与应用【例1】椭圆x29+y22=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF答案：2解析：椭圆中给出PF1，可由定义求PF因为PF1+PF要求∠F1PF2，可先求F如图，F1所以cos∠F1△PF1由椭圆的对称性，O是PQ中点，而O也是F1F2从而QF1=【变式】已知椭圆C：x24+y23=答案：-2解析：如图，A在椭圆外，不易直接分析PA−PF1的最小值，可考虑用椭圆定义将PF1换成PF2来看，由题意，PF1+PF2=4，所以PF1=4−PF[反思]涉及椭圆上的点到一个焦点的距离的最值问题，若不易直接求解，则可考虑用椭圆定义，转化到另一个焦点去分析.考向二椭圆的标准方程【例2】以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据焦点在x轴上，c=1，且过点，用排除法可得.也可待定系数法求解，或根据椭圆定义求2a可得.【详解】因为焦点在x轴上，所以C不正确；又因为c=1，故排除D；将代入得，故A错误，所以选B.故选：B【变式】已知，B是圆C：上的任意一点，线段BF的垂直平分线交BC于点P.则动点P的轨迹方程为.【答案】【分析】结合线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等及椭圆定义得到正确答案．【详解】解：圆，圆心为，半径为4，因为线段的垂直平分线交于点，所以，所以．所以由椭圆定义知，的轨迹是以，为焦点的椭圆，方程为．故答案为：．考向三椭圆的离心率问题【例3】如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用椭圆与圆的性质计算即可.【详解】设，易知，则，，又，所以.故选：C【变式1】若、为椭圆：的左、右焦点，焦距为4，点为上一点，若对任意的，均存在四个不同的点满足，则的离心率的取值范围为.【答案】【分析】利用平面向量数量积的运算律和椭圆的性质求解.【详解】由题可得，，设为坐标原点，则,所以,即，因为，所以，若存在四个不同的点满足，又，所以，即，所以，所以，所以，故答案为:.【变式2】已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为，，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为．【答案】/【分析】求出线段的中点坐标，根据两直线垂直斜率关系可得，再结合可求得离心率.【详解】

如图，设的垂直平分线与交于点，由题，，，，则，，，，，化简得，，由，解得，，即.故答案为：.考向四椭圆的焦点三角形问题【例4】设F1，F2为椭圆x29+y24=答案：2或7解析：焦点三角形问题优先考虑结合椭圆的定义求解，先给出椭圆的a、b、c，由题意，a=3，b=2，c=a2−b2=5，设PF[反思]解析几何小题中对直角的常见翻译方法有：(1)勾股定理；(2)斜率之积为-1；(3)向量数量积等于0；(4)斜边上的中线等于斜边的一半等.选择合适的方法前应先预判计算量.【变式】已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b答案：5解析：椭圆C的离心率e=ca题干的向量关系式可化简，先化简，OF1−OP⋅接下来只需结合PF1=2PF2即可分析△[反思]椭圆焦点三角形已知(或可求得)三边比值求离心率，用公式e=考向五椭圆有关的最值与范围问题【例5】已知椭圆的离心率为，上顶点为A，左顶点为B，，分别是椭圆的左、右焦点，且的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则的取值范围为．【答案】【分析】根据的面积和离心率得出a，b，c的值，从而得出的范围，得到关于的函数，从而求出答案．【详解】∵的面积为，∴，∴，由已知得，即，所以，所以，又，所以，由，解得，进而，∴，又，∴，∴.即的取值范围为.故答案为：【变式1】已知椭圆：的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)点、是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，，且，求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标.【答案】(1)(2)证明见解析，定点为.【分析】（1）由题意得，再根据椭圆上的一点即可求标准方程；（2）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，利用韦达定理求出与的斜率，并结合，列方程可得参数之间的关系，进而可求定点.【详解】（1）因为椭圆：的长轴为双曲线的实轴，所以，所以椭圆：，又因为椭圆过点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）

①当直线的斜率存在时，设其方程为由得所以，所以，因为，所以，所以即，化简得所以即所以，或，当时，直线的方程为，直线恒过定点，不满足题意；当时，直线的方程为直线恒过定点，满足题意；所以直线恒过定点.②当直线的斜率不存在时，设其方程为，由得，所以，所以，解得（舍去）或，所以直线也过定点.综上，直线恒过定点.【变式2】如图，点是椭圆的短轴位于轴下方的端点，过作斜率为的直线交椭圆于点，若点的坐标为，且满足轴，．(1)求椭圆的方程；(2)椭圆的左顶点为，左焦点为，点为椭圆上任意一点，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知求得的坐标，得到直线方程，求出，的坐标，得到的坐标，由，求得，得到的坐标，把的坐标代入椭圆方程求得，则椭圆方程可求；（2）由椭圆方程得，，设，则，按坐标运