广西陆川县中学2017-2018学年高二下学期3月月考数学（理）试题

广西陆川县中学2018年春季期高二第一次月考试卷理科数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因为，所以，选B.2.从某中学甲班随机抽取9名男同学测量他们的体重(单位：kg)，获得体重数据如茎叶图所示，对这些数据，以下说法正确的是A.中位数为62B.中位数为65C.众数为62D.众数为64【答案】C【解析】∵由茎叶图得到所有数据从小到大排为∴中位数为，众数为故选C3.命题“，”的否定是A.不存在，B.，C.，D.，【答案】D【解析】特称命题的否定是全称命题,故选.4.容量为100的样本，其数据分布在，将样本数据分为4组：，，，，得到频率分布直方图如图所示.则下列说法不正确的是A.样本数据分布在的频率为B.样本数据分布在的频数为40C.样本数据分布在的频数为40D.估计总体数据大约有分布在【答案】D【解析】对于A.样本数据分布在的频率为：，正确；对于B.样本数据分布在的频数为，正确；对于C.样本数据分布在的频数为，正确；对于D，样本数据分布在的频率为：，所以估计总体数据大约有分布在，D不正确.故选D.5.已知椭圆的左焦点为F1(－4,0)，则m等于A.9B.4C.3D.2【答案】C【解析】因为左焦点为F1(－4,0)，所以，选C.6.若AB是过椭圆中心的弦，F1为椭圆的焦点，则△F1AB面积的最大值为A.6B.12C.24D.48【答案】B【解析】,当直线斜率不存在时,三角形面积为.当直线的斜率存在且不为零时,设直线的方程为,交点到直线距离为,将直线方程代入椭圆方程,得,所以,故面积为.综上所述面积的最大值为.选.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的直至关系,考查三角形面积的最值问题.首先根据题意求出椭圆的的值,由于题目不限制焦点是左焦点还是右焦点,故用其中一个交点就可以.在写直线的方程时,当直线斜率不存在,可直接求得面积,当直线斜率为时,不符合题意,当直线斜率存在且不为零时,设出直线的方程,求得面积后利用不等式的性质可求得最值.7.设抛物线y2＝4x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是A.B.[－2,2]C.[－1,1]D.[－4,4]【答案】C【解析】∵，∴)(Q为准线与x轴的交点),设过Q点的直线l方程为.∵l与抛物线有公共点，，∴方程组有解即有解。∴即⩽1.∴，故选C.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．8.“”是“为椭圆方程”是A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】依题意有,解得,故选.9.设点，，若直线与线段没有交点，则的取值范围是A.B.C.D.【答案】B【解析】直线恒过点且斜率为由图可知，且故选10.在平面内，已知两定点，间的距离为2，动点满足，若，则的面积为A.B.C.D.【答案】B【解析】因为,因此的面积为，选B.11.抛物线上的一点到直线的距离的最小值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】抛物线上的一点到直线的距离为，所以最小值是，选C.12.已知椭圆的左右焦点分别是，焦距为，若直线与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因为直线斜率为，倾斜角为，所以，，因此，因为，选B.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13.双曲线的虚轴长是_______.【答案】6【解析】因为虚轴长是，所以双曲线的虚轴长是14.设，则中点到C的距离_______.【答案】【解析】中点，．15.已知定点，点是抛物线上一动点，点到直线的距离为，则的最小值是_______.【答案】【解析】点A是抛物线外一点，所以，当且仅当点为线段AF与抛物线交点时取等号，即的最小值是.点睛：1.涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题正好逆转化2．利用三角形三边之间大小关系，求两线段和或差的最值.16.已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上的点P满足，则的面积为_______.【答案】【解析】由椭圆定义得，由得，因为，所以，即为直角三角形，其面积为三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.如图，求直线与抛物线所围成的图形的面积.【答案】【解析】试题分析：先求出直线与抛物线的交点坐标，从而得到积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后根据定积分的定义求出即可．试题解析：或.18.已知，复数（其中为虚数单位）.（1）当实数取何值时，复数是纯虚数；（2）若复数在复平面上对应的点位于第四象限，求实数的取值范围。【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）将复数整理得，由纯虚数的定义得，解方程组即可；（Ⅱ）因为复数对应的点在第四象限，所以，解不等式组即可.试题解析：（Ⅰ），由题意得，（Ⅱ）由解得，考点：1.复数相关的定义；2.复数的几何意义;3.复数的运算.19.已知为实数，且函数.（1）求导函数；（2）若，求函数在上的最大值、最小值.【答案】（1）（2）最大值、最小值分别为【解析】试题分析:（1）将函数函数展开，利用幂函数求导法则求导即可；（2）由解得值，再求出另外一个极值点，比较两个极值和端点的函数值的大小即可求得函数在上的最大值、最小值.试题解析：（1）由，得.（2）因为,所以,，令，则或，又，在在上的最大值、最小值分别为,.考点：1、函数的求导法则；2、利用导数求函数的最值.20.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆与直线相切.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知点为动直线与椭圆的两个交点，问:在轴上是否存在定点,使得为定值？若存在，试求出点的坐标和定值；若不存在,请说明理由.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）由，以原点为圆心，椭圆的长半轴为半径与直线相切，求出的值，由此可求出椭圆的方程；（2）由得，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在轴上存在点，使为定值，定点为。试题解析：（Ⅰ）由，得，即，①又以原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆为，且圆与直线相切，所以，代入①得，则.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）由得，且设，则，根据题意，假设轴上存在定点，使得为定值，则有要使上式为定值，即与无关，则应，即，此时为定值，定点为.点睛：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的综合应用，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中把直线方程与椭圆方程联立，转化为方程的根与系数的关系、韦达定理的应用是解答的关键。21.已知抛物线关于轴对称，顶点在坐标原点，直线经过抛物线的焦点.（I）求抛物线的标准方程；(II)若不经过坐标原点的直线与抛物线相交于不同的两点，，且满足，证明直线过轴上一定点，并求出点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由直线经过抛物线的焦点可求出抛物线的标准方程；（2）由题意，直线不与轴垂直，设直线的方程为，，联立直线与抛物线的方程，由韦达定理得与，再由，即可求出，从而求出定点坐标.试题解析：（1）由已知，设抛物线的标准方程为∴∴∴抛物线的标准方程为.（2）由题意，直线不与轴垂直，设直线的方程为，.联立消去，得.∴，，，∵∴又∵，∴∴∴或∵∴