2024-2025学年高中数学第一章解三角形测评含解析新人教A版必修5

PAGEPAGE5第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.在△ABC中,若A=60°,BC=4,AC=4,则角B的大小为()A.30° B.45° C.135° D.45°或135°解析由正弦定理,得,则sinB=.因为BC>AC,所以A>B,而A=60°,所以B=45°.答案B2.在△ABC中,A=120°,AB=5,BC=7,则的值为()A. B. C. D.解析由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA,即72=52+AC2-10AC·cos120°,∴AC=3.由正弦定理得.答案D3.如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧河岸边选定一点C,测出A,C的距离是50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则A,B两点间的距离为()A.50m B.50m C.25m D.m解析在△ABC中,∠ABC=180°-45°-105°=30°.由正弦定理,得,即,解得AB=50m.答案A4.在△ABC中,cos2(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形态为()A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形解析∵cos2,∴,∴cosB=,∴,∴a2+c2-b2=2a2,即a2+b2=c2,∴△ABC为直角三角形.故选B.答案B5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,sinAcosC+(sinC+b)cosA=0,则角A=()A. B. C. D.解析∵a=1,sinAcosC+(sinC+b)cosA=0,∴sinAcosC+sinCcosA=-bcosA,∴sin(A+C)=sinB=-bcosA,∴asinB=-bcosA,由正弦定理可得sinAsinB=-sinBcosA,∵sinB>0,∴sinA=-cosA,即tanA=-.∵A∈(0,π),∴A=.故选D.答案D6.某海轮以30nmile/h的速度航行,在点A测得海面上油井P在南偏东60°方向,向北航行40min后到达点B,测得油井P在南偏东30°方向,海轮改为北偏东60°的航向再行驶80min到达点C,则P,C间的距离为()A.20nmile B.20nmileC.30nmile D.30nmile解析如图,在△ABP中,AB=30×=20(nmile),∠APB=30°,∠BAP=120°.依据正弦定理,得,即,解得BP=20nmile.在△BPC中,BC=30×=40(nmile),由已知得∠PBC=90°,所以PC==20(nmile),即P,C间的距离为20nmile.答案B7.一角槽的横断面如图所示,四边形ADEB是矩形,且α=50°,β=70°,AC=90mm,BC=150mm,则DE的长为()A.210mm B.200mmC.198mm D.171mm解析由题图可知,∠ACB=α+β=50°+70°=120°.在△ABC中,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=902+1502-2×90×150×-=44100,解得AB=210.故DE的长为210mm.故选A.答案A8.已知△ABC的三边分别为a,b,c,且a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC的外接圆的直径为()A.4 B.5 C.5 D.6解析∵S△ABC=acsinB,∴c=4.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=25,则b=5.由正弦定理,得2R==5(R为△ABC外接圆的半径).答案C9.如图,在△ABC中,B=45°,D是边BC上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB的长为()A. B.5C. D.5解析在△ADC中,由余弦定理,得cos∠ADC==-,所以∠ADC=120°,所以∠ADB=60°.在△ABD中,由正弦定理,得AB=.答案C10.在△ABC中,sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C,则A=()A.30° B.60° C.120° D.150°解析由正弦定理及已知得,a2=b2+bc+c2,∴b2+c2-a2=-bc,∴cosA==-,又0°<A<180°,∴A=120°.答案C11.在△ABC中,A=,b=2,其面积为2,则=()A. B. C. D.解析由题意可得S△ABC=bcsinA=×2×c×=2,解得c=4.依据余弦定理有a2=b2+c2-2bccosA=4+16-2×2×4×=12,所以a=2.依据正弦定理=2R,则.故选A.答案A12.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知sin(B+A)+sin(B-A)=3sin2A,且c=,C=,则△ABC的面积是()A. B. C. D.解析∵sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA,sin(B-A)=sinBcosA-cosBsinA,sin2A=2sinAcosA,sin(B+A)+sin(B-A)=3sin2A,∴2sinBcosA=6sinAcosA.当cosA=0时,A=,B=.又c=,所以b=.由三角形的面积公式,得S=bc=;当cosA≠0时,由2sinBcosA=6sinAcosA,得sinB=3sinA.依据正弦定理,可知b=3a,再由余弦定理的推论,得cosC==cos,解得a=1,b=3,所以此时△ABC的面积为S=absinC=.综上可得△ABC的面积为,故选D.答案D二、填空题(每小题5分,共20分)13.在△ABC中,sin,AB=1,BC=3,则AC=.

解析∵sin,AB=1,BC=3,∴cosB=1-2sin2=1-2×,∴由余弦定理可得AC==2.答案214.如图,在△ABC中,BD·sinB=CD·sinC,BD=2DC=2,AD=2,则△ABC的面积为()解析过点D分别作AB和AC的垂线,垂足分别为E,F.∵由BD·sinB=CD·sinC,可得DE=DF,则AD为∠BAC的平分线,∴=2.又cos∠ADB+cos∠ADC=0,即=-,解得AC=2,∴在△ABC中,cos∠BAC=,∴sin∠BAC=,∴S△ABC=AB·AC·sin∠BAC=.答案15.如图所示,某海岛上一视察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C处,12时20分测得船在海岛北偏西60°的B处,12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km的E港口,假如轮船始终匀速直线前进,则船速为km/h.

解析轮船从C到B用时80分钟,从B到E用时20分钟,而船始终匀速前进,由此可见,BC=4EB.设EB=x,则BC=4x,由已知得∠BAE=30°,∠EAC=150°.在△AEC中,由正弦定理,得,∴sinC=.在△ABC中,由正弦定理,得,∴AB=.在△ABE中,由余弦定理,得BE2=AB2+AE2-2AB·AE·cos30°=+25-2××5×,故BE=.∴船速v=(km/h).答案16.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=,a=,则b2+c2的取值范围是.

解析由正弦定理=2,得b=2sinB,c=2sinC,则b2+c2=4(sin2B+sin2C)=2(1-cos2B+1-cos2C)=4-2cos2B-2cos2C=4-2cos[(B+C)+(B-C)]-2cos[(B+C)-(B-C)]=4-4cos(B+C)cos(B-C)=4+4cosAcos=4+2cos.又0<B<,则-<2B-,即-1<2cos≤2,所以3<4+2cos≤6,即b2+c2的取值范围是(3,6].答案(3,6]三、解答题(共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知=2,若cosB=,且△ABC的周长为5,求边b的长.解因为=2,所以=2,即c=2a.又因为△ABC的周长为5,所以b=5-3a.由余弦定理,得b2=c2+a2-2accosB,即(5-3a)2=(2a)2+a2-4a2×,解得a=1,所以b=2.18.(本小题满分12分)(2024·全国Ⅰ高考,文18)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150°.(1)若a=c,b=2,求△ABC的面积;(2)若sinA+sinC=,求C.解(1)由题设及余弦定理得28=3c2+c2-2×c2×cos150°,解得c=-2(舍去),c=2.从而a=2.△ABC的面积为×2×2×sin150°=.(2)在△ABC中,A=180°-B-C=30°-C,所以sinA+sinC=sin(30°-C)+sinC=sin(30°+C).故sin(30°+C)=.而0°<C<30°,所以30°+C=45°,故C=15°.19.(本小题满分12分)如图,在平面四边形ABCD中,AC与BD为其对角线,已知BC=1,且cos∠BCD=-.(1)若AC平分∠BCD,且AB=2,求AC的长;(2)若∠CBD=45°,求CD的长.解(1)∵对角线AC平分∠BCD,即∠BCD=2∠ACB=2∠ACD,∴cos∠BCD=2cos2∠ACB-1=-,∵cos∠ACB>0,∴cos∠ACB=.∵在△ABC中,BC=1,AB=2,cos∠ACB=,∴由余弦定理AB2=BC2+AC2-2BC·AC·cos∠ACB,可得AC2-AC-3=0,解得AC=或AC=-(舍去),∴AC的长为.(2)∵cos∠BCD=-,∴sin∠BCD=.又∵∠CBD=45°,∴sin∠CDB=sin(180°-∠BCD-45°)=sin(∠BCD+45°)=(sin∠BCD+cos∠BCD)=,∴在△BCD中,由正弦定理,可得CD==5,即CD的长为5.20.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b2=ac,且cosB=.(1)求的值;(2)设,求a+c的值.解(1)由cosB=,得sinB=.由b2=ac及正弦定理,得sin2B=sinAsinC.于是.(2)由,得accosB=.由cosB=,得ac=2,即b2=2.由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得a2+c2=b2+2accosB=5,∴(a+c)2=a2+c2+2ac=5+4=9,∴a+c=3.21.(本小题满分12分)在海港A正东39nmile处有一小岛B,现甲船从A港动身以15nmile/h的速度驶向B岛,同时乙船以6nmile/h的速度向北偏西30°的方向驶离B岛,不久之后,丙船则向正东方向从B岛驶出,当甲、乙两船相距最近时,在乙船观测发觉丙船在乙船南偏东60°方向,问此时甲、丙两船相距多远?解设在行驶th后,甲船到达C处,乙船到达D处,丙船到达E处,此时甲、乙两船相距最近,由题意,得CD2=CB2+BD2-2CB·BD·cos60°=(39-15t)2+36t2-6t(39-15t)=351t2-1404t+1521=351(t-2)2+117,所以当t=2时,CD2最小,即CD取得最小值,也即此时甲、乙两船相距最近,过点D作DF⊥AB,则∠BDF=30°,∠DBE=120°,所以∠BDE=30°,∠DEB=180°-120°-30°=30°,故△BDE为等腰三角形.所以BE=BD=6t=6×2=12(nmile),CE=BC+BE=39-15t+12=51-15×2=21(nmile).答:甲、乙两船相距最近时,甲、丙两船相距21nmile.22.(本小题满分12分)已知a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C所对的边,且acosC+c=b.(1)求A;(2)如a=1,△ABC的周长L的取值范围.解(1)acosC+c=b变形得2acosC+c=2b,利用正弦定理得2sinAcosC+sinC=2sinB=2sin(A+C)=2sinAcosC+2