6.3 空间向量的应用（十四大题型）（原卷版）

6．3空间向量的应用课程标准学习目标（1）能归纳出用向量方法解决平行与垂直问题的一般思路.（1）能利用向量投影推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．能把相互平行的直线间的距离、直线到平面的距离（直线与平面平行）、相互平行的平面间的距离转化为点到直线的距离或点到平面的距离，进而求得距离，体会用向量方法解决距离问题的优势．（2）能通过实例归纳出利用向量的数量积求空间两条异面直线所成角的一般方法；能够利用向量的数量积得出直线与平面、平面与平面所成角的计算公式，并用于解决有关夹角问题．体会利用向量数量积解决空间角度问题的优势．（1）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系.（2）能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、直线到平面（直线与平面平行）、相互平行的平面的距离问题．（3）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角（夹角）问题．知识点01直线的方向向量和平面的法向量1、直线的方向向量：点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式．知识点诠释：（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量．（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算．2、平面的法向量定义：直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合．知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量．3、平面的法向量确定通常有两种方法：（1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；（2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：（i）设出平面的法向量为；（ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，；（iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程；（iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．【即学即练1】（2024·高二课时练习）若向量都是直线的方向向量，则.知识点02用向量方法判定空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．（1）线线平行设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即．（2）线面平行线面平行的判定方法一般有三种：①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即．②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量．③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明．【即学即练2】（2024·全国·高三专题练习）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．求证：平面知识点03用向量方法判定空间的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．（1）线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即．（2）线面垂直①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明．②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．（3）面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．②证明两个平面的法向量互相垂直．【即学即练3】（2024·全国·高三专题练习）如图，直三棱柱中，，，，D为BC的中点，E为上的点，且．求证：平面；知识点04用向量方法求空间角（1）求异面直线所成的角已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则．知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．（2）求直线和平面所成的角设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有．（3）求二面角如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，．若分别为面的法向量，则二面角的平面角或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角．①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小．②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小．【即学即练4】（2024·江苏无锡·高二辅仁高中校考期末）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，是棱上一点.(1)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求点的位置.知识点05用向量方法求空间距离1、求点面距的一般步骤：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．即：点到平面的距离，其中是平面的法向量．2、线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解-即：点到平面的距离，其中是平面的法向量．直线与平面之间的距离：，其中是平面的法向量．两平行平面之间的距离：，其中是平面的法向量．3、点线距设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离．【即学即练5】（2024·重庆黔江·高二重庆市黔江中学校校考阶段练习）如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面底面，且分别为棱的中点．

(1)求证：；(2)求点到平面的距离．题型一：直线的方向向量【例1】（2024·陕西西安·高二校考期末）已知，若直线的一个方向向量为，则.【变式1-1】（2024·河北张家口·高二校联考阶段练习）已知，在直线上，写出直线的一个方向向量：．（坐标表示）【变式1-2】（2024·宁夏银川·高二校考阶段练习）已知向量，都是直线l的方向向量，则x的值是.【方法技巧与总结】理解直线方向向量的概念（1）直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．（2）直线的方向向量不唯一．题型二：平面的法向量【例2】（2024·全国·高二课堂例题）如图，已知正方体中，的坐标分别为，，，．分别求平面与平面的一个法向量．

【变式2-1】（2024·全国·高二专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，，⊥底面，且，，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面与平面的一个法向量．

【变式2-2】（2024·高二课时练习）如图，已知平面内有，，三点，求平面的法向量．【变式2-3】（2024·高二课时练习）已知，，，求平面ABC的一个法向量的坐标，并在坐标平面中作出该向量．【方法技巧与总结】求平面法向量的步骤（1）设出平面的法向量为．（2）找出（求出）平面中两个不共线的向量的坐标，．（3）根据法向量的定义建立关于，，的方程组（4）解方程组，取其中的一个解作为法向量（由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量）．题型三：直线和直线平行【例3】（2024·高二课时练习）已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线．【变式3-1】（2024·高二课时练习）如图，在正方体中，棱长为2，M，N分别为，AC的中点，证明：.【变式3-2】（2024·全国·高二专题练习）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．证明：.【方法技巧与总结】证明两直线平行的方法方法一：平行直线的传递性．方法二：基向量法，分别取两条直线的方向向量，，证明，即．方法三：坐标法，建立空间直角坐标佘，把直线的方向向量用坐标表示，如，，即证明，即且且．题型四：直线与平面的平行【例4】（2024·全国·高二课堂例题）如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面相交于AD，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：平面CDE．

【变式4-1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在四面体中，平面，，，．是的中点，是的中点，点在线段上，且．证明：平面；

【变式4-2】（2024·全国·高二专题练习）如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．求证：平面；【变式4-3】（2024·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面.【变式4-4】（2024·高二课时练习）如图，已知是正方形所在平面外一点，分别是上一点，且，求证：平面.【方法技巧与总结】利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：（1）证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．（2）证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．（3）先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．题型五：平面和平面平行【例5】（2024·高二课时练习）在正方体中，分别是的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求证：平面平面.【变式5-1】（2024·全国·高二专题练习）如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面．【变式5-2】（2024·全国·高一专题练习）如图所示，正四棱的底面边长1，侧棱长4，中点为，中点为．求证：平面平面.

【变式5-3】（2024·湖南株洲·高二校考期末）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：

(1)平面；(2)平面平面．【方法技巧与总结】证明面面平行问题的方法（1）利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．（2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．题型六：直线和直线垂直【例6】（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D为的中点，交于点E．证明：.【变式6-1】（2024·全国·高三专题练习）如图，棱台中，，底面ABCD是边长为4的正方形，底面是边长为2的正方形，连接，BD，.证明：.【变式6-2】（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，平面，，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，求证：【变式6-3】（2024·全国·高三专题练习）斜三棱柱的各棱长都为，点在下底面的投影为的中点.在棱（含端点）上是否存在一点使？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由；【方法技巧与总结】利用向量方法证明线线垂直的方法（1）坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直．（2）基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两直线所在的向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直．题型七：直线与平面垂直【例7】（2024·全国·高三专题练习）如图，已知直三棱柱为的中点，为侧棱上一点，且，三棱柱的体积为32．过点作，垂足为点，求证：平面；【变式7-1】（2024·浙江·高二路桥中学校考期末）已知正三棱台中，，，、分别为、的中点.

(1)求该正三棱台的表面积；(2)求证：平面【变式7-2】（2024·全国·高三专题练习）如图，直三棱柱的侧面为正方形，，E，F分别为，的中点，．证明：平面；【变式7-3】（2024·广东佛山·高二罗定邦中学校考期末）如图，在长方体中，分别是的中点．求证：(1)四边形为平行四边形；(2)平面．【变式7-4】（2024·四川南充·高二南部县第二中学校考阶段练习）如图，直三棱柱中，，，分别为，的中点．

(1)求证：平面；(2)线段上是否存在点，使平面？若存在，求；若不存在，说明理由．【方法技巧与总结】用向量法证明线面垂直的方法（1）证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直．（2）证明直线的方向向量与平面的法向量平行．题型八：平面与平面垂直【例8】（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，点E在棱PD上，且.证明：平面平面ACE；【变式8-1】（2024·四川成都·高二校考期末）已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点M为PD中点，.求证：平面平面.（注：必须用向量法做，否则不得分）【变式8-2】（2024·全国·高三专题练习）在正方体中，如图、分别是，的中点．求证：平面平面；【变式8-3】（2024·全国·高三专题练习）如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是PD的中点.求证：平面平面.【变式8-4】（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且.求证：平面平面.【方法技巧与总结】利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．题型九：两条异面直线所成的角【例9】（2024·广东河源·高二河源市河源中学校考开学考试）正四棱锥的侧棱长为，底面的边长为，E是的中点，则异面直线与所成的角为（

）A． B． C． D．【变式9-1】（2024·江苏·高二校联考阶段练习）如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【变式9-2】（2024·福建厦门·高二校考期末）如图，在中，分别为的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图．(1)求证：．(2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【变式9-3】（2024·江西·高二校联考阶段练习）手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力．某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个正方体的组合体．其直观图如图所示，，，、、、分别是棱、、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（

）

A． B． C． D．【方法技巧与总结】运用向量法常有两种途径（1）基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，经常采用取定基底的方法，在由公式求向量，的夹角时，关键是求出及与，一般是把，用基向量表示出来，再求有关的量．（2）坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单．题型十：直线与平面所成的角【例10】（2024·安徽六安·高二校考期末）如图，在正方体中，E，F，G分别是，，的中点．(1)证明：．(2)求直线与平面所成角的正弦值．【变式10-1】（2024·重庆·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面，E、F、G分别是、、的中点.(1)求证：平面；(2)线段上是否存在一个动点M，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由.【变式10-2】（2024·四川凉山·高二校联考期末）将长方体沿截面截去一个三棱锥后剩下的几何体如图所示，其中，，分别是，的中点.

(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【变式10-3】（2024·重庆黔江·高二重庆市黔江中学校校考阶段练习）在正四棱柱中，为的中点，.(1)点满足，求证：四点共面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.【方法技巧与总结】若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：题型十一：二面角【例11】（2024·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）如图，菱形的对角线与交于点，，，点，分别在，上，，交于点，将沿折到位置，．(1)证明：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值．【变式11-1】（2024·安徽黄山·高二屯溪一中校考阶段练习）在斜三棱柱中，，，在底面上的射影恰为的中点，又已知.(1)证明：平面．(2)求平面和平面的夹角的余弦值【变式11-2】（2024·河南郑州·高二校考期末）如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，点在棱上.(1)证明：平面平面；(2)当时，求二面角的余弦值.【变式11-3】（2024·广东汕尾·高二海丰县彭湃中学校考期末）如图，在四棱锥中，，，，三棱锥的体积为.(1)求点到平面的距离；(2)若，平面平面，点在线段上，，求平面与平面夹角的余弦值.【变式11-4】（2024·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，点在线段上.(1)当时，求线段的中点到平面的距离；(2)是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由【方法技巧与总结】利用向量法求二面角的步骤（1）建立空间直角坐标系．（2）分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量．（3）求两个法向量的夹角．（4）判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角．（5）确定二面角的大小．题型十二：点到平面的距离【例12】（2024·上海·高二校考期末）如图，四棱锥的底面为菱形，平面ABCD，，E为棱BC的中点．

(1)求证：平面PAD；(2)若，求点D到平面PBC的距离．【变式12-1】（2024·安徽淮北·高二淮北市第十二中学校考期末）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点．(1)求证：平面平面；(2)求点到面的距离．【变式12-2】（2024·贵州铜仁·高二校考阶段练习）如图,在直角梯形中，，，且，现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面互相垂直.

(1)求证：平面平面；(2)求点到平面的距离【方法技巧与总结】求点到平面的距离的主要方法（1）作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离．（2）在三棱锥中用等体积法求解．（3）向量法：（为平面的法向量，A为平面上一点，MA为过点A的斜线段）题型十三：点到直线的距离【例13】（2024·广东广州·高二校考阶段练习）在长方体中，，P为CD中点，则点P到直线的距离为．【变式13-1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·高二统考期末）若空间三点，则点到直线的距离为．【变式13-2】（2024·广东深圳·高二校联考阶段练习）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，设平面与平面的交线为，则点A到直线的距离为.【变式13-3】（2024·四川成都·高二树德中学校考期末）在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示，已知直线的方程为，则点到直线的距离为.【方法技巧与总结】用向量法求点到直线距离的步骤（1）建立适当的空间直角坐标系；（2）求所求点与直线上某一点所构成的向量；（3）若已知直线的方向向量，则利用公式求解；若已知直线的法向量，可利用求解．题型十四：直线（平面）到平面的距离【例14】（2024·山东淄博·高二校考阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点．(1)求直线与所成角的余弦值；(2)求直线到平面的距离．【变式14-1】（2024·全国·高二专题练习）设正方体的棱长为2，求：(1)求直线到平面的距离；(2)求平面与平面间的距离.【变式14-2】（2024·全国·高二专题练习）直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．

(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面的距离．【方法技巧与总结】用向量方法研究空间距离问题的一般步骤第一步，确定法向量；第二步，选择参考向量；第三步，利用公式求解．一、单选题1．（2024·西藏拉萨·高二校联考期末）如下图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（

）A． B． C． D．2．（2024·福建泉州·高二校考阶段练习）如图，已知四边形ABCD是菱形，，点E为AB的中点，把沿DE折起，使点A到达点P的位置，且平面平面BCDE，则异面直线PD与BC所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．3．（2024·湖北·高二湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（

）A． B．C．或 D．与的位置关系不能判断4．（2024·吉林长春·高二长春市第二中学校联考期末）直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（

）A． B．C．或 D．与的位置关系不能判断5．（2024·甘肃陇南·高二校考期末）已知正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．6．（2024·四川眉山·高二仁寿一中校考期末）在空间直角坐标系O-xyz中，点，，则（

）A．直线AB∥坐标平面xOy B．直线AB⊥坐标平面xOyC．直线AB∥坐标平面 D．直线AB⊥坐标平面7．（2024·贵州·高二统考阶段练习）在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．8．（2024·云南昆明·高二统考期末）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（

）A． B．C． D．二、多选题9．（2024·河北石家庄·高二校考期末）下列给出的命题正确的是（

）A．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则B．两个不重合的平面的法向量分别是，则C．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底D．已知三棱锥，点P为平面ABC上的一点，且，则10．（2024·江苏·高二校联考阶段练习）已知空间中三点，，，则（

）A．B．方向上的单位向量坐标是C．是平面ABC的一个法向量D．在上的投影向量的模为11．（2024·安徽黄山·高二屯溪一中校考阶段练习）已知正方体的棱长为，，分别为，的中点，在直线上，且，的重心为，则（

）A．若在平面内，则 B．若，，三点共线，则C．若平面，则 D．点到直线的距离为1