专题05 一元二次方程及其应用（云南专用）（解析版）

专题05一元二次方程及其应用目录热点题型归纳 1题型01一元二次方程的解 1题型02解一元二次方程—直接开平方法 3题型03解一元二次方程—配方法 5题型04解一元二次方程—公式法 8题型05解一元二次方程—因式分解法 10题型06根的判别式 12题型07根与系数的关系 14题型08由实际问题抽象出一元二次方程、一元二次方程的应用 16中考练场 21 题型01一元二次方程的解【解题策略】（1）只含有一个未知数，未知数的最高次数是二次，且系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程.（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项，a是二次项的系数，b是一次项的系数，注意a≠0.【典例分析】例1.（2023·广东）关于x的方程a−1x2+4x−3=0是一元二次方程，则A.a>1 B.a=1 C.a≠1 D.a≥0【答案】C

【解析】根据一元二次方程的二次项系数不等于零得到a−1≠0，由此求得a的取值范围．依题意得：a−1≠0，

解得a≠1．

故选：C．本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).例2.（2023·江苏）若x=1是关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根，则m=______．【答案】5

【解析】解：把x=1代入方程x2+mx−6=0得1+m−6=0，

解得m=5．

故答案为：5．

把x=1代入原方程得到1+m−6=0，然后解一次方程即可．【变式演练】1.（2023·山东）若一元二次方程mx2+2x+1=0有实数解，则m的取值范围是(

)A.m≥−1 B.m≤1

C.m≥−1且m≠0 D.m≤1且m≠0【答案】D

【解析】略2.（2023·湖南）已知关于x的方程x2+mx−20=0的一个根是−4，则它的另一个根是______．【答案】5

【解析】解：设方程的另一个解为t，

根据根与系数的关系得−4t=−20，

解得t=5，

即方程的另一个根为5．

故答案为：5．

设方程的另一个解为t，则利用根与系数的关系得−4t=−20，然后解一次方程即可．

本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)3.（2023·山东）若x=3是关x的方程ax2−bx=6的解，则2023−6a+2b【答案】2019

【解析】解：把x=3代入方程得：9a−3b=6，即3a−b=2，

则原式=2023−2(3a−b)=2023−4=2019．

故答案为：2019．

把x=3代入方程求出3a−b的值，代入原式计算即可求出值．

此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．题型02解一元二次方程—直接开平方法【解题策略】1、直接开平方法:(x+m)2=n(n≥0)的根是2、直接开平方法：把方程变成的形式，当m＞0时，方程的解为；当m＝0时，方程的解；当m＜0时，方程没有实数解．【典例分析】例1．（2023·全国模拟）方程(2x+1)2=49的根是

【答案】x1=3，【解析】略例2.（2023·广东模拟）解方程：(x+3)2−25=0【答案】解：移项得：(x+3)2=25，

方程两边开平方得：x+3=±5，

所以x1【解析】先把方程变形为解(x+3)2=25，然后利用直接开平方法解方程．

本题考查了解一元二次方程−直接开平方法：形如x【变式演练】1.（2023·吉林模拟）方程x2=16的解为______．【答案】x1=4，【解析】【分析】

本题考查了解一元二次方程−直接开平方法：形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．

利用直接开平方法解方程．

【解答】

解：x2=16，

开平方，得x=±4，

所以x1=42.（2023·天津模拟）方程(x+6)2−9=0的两个根是A.x1=3，x2=9 B.x1=−3，x2=9

C.【答案】D

【解析】解：∵(x+6)2−9=0，

∴(x+6)2=9，

则x+6=±3，

∴x1=−3，x3.（2023·黑龙江）

解方程：(x−2)【答案】解：x−2=±2

x1=0，【解析】见答案题型03解一元二次方程—配方法【解题策略】适用二次项系数为1的一元二次方程将一般形式的常数项移到“=”右边两边同时加上一次项系数一半的平方，得到式的一元二次方程3）利用直接开方法求解方程2、配方法：通过配方把一元二次方程变形为的形式，当b2-4ac≥0时，用直接开平方法求解，它的解为．【典例分析】例1．（2023·山东模拟）用配方法解一元二次方程2x2−12x−9=5，则方程可变形为A.2(x−6)2=43 B.(x−6)2=43

【答案】D

【解析】解：∵2x2−12x−9=5，

∴2x2−12x=14，

x2−6x=7，

则例2.（2023·北京模拟）将一元二次方程x2−8x+10=0通过配方转化为(x+a)2A.(x−4)2=6 B.(x−8)2=6【答案】A

【解析】解：x2−8x=−10，

x2−8x+16=6，

(x−4)2=6．

故选：A．

先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．

此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：

(1)把常数项移到等号的右边；

【变式演练】1.（2023·浙江模拟）方程x2−2x=1经过配方后，其结果正确的是

(

)A.(x−1)2=2 B.(x+1)2=2【答案】A

【解析】【分析】

此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，首先利用等式性质把方程的二次项的系数化为1，其次在方程二边同加一次项的系数一半的平方．【解答】解：∵x∴x∴(x−1)故选：A．2.（2023·江苏模拟）用配方法解一元二次方程2x2+4x−5=0时，将它化为(x+a)2=b的形式，则A.8 B.92 C.72 【答案】B

【解析】解：2x2xx2x2(x+1)所以a=1，b=7所以a+b=故选：B.先把常数项移到方程右边，再把方程两边除以2，接着把方程两边加上1，然后把方程左边配成完全平方式，从而得到a、b的值，最后计算它们的和即可．本题考查了解一元二次方程−配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．3.（2023·江苏模拟）(本小题8分)

(1)解不等式：x+12+x−13≤1；

(2)【答案】解：(1)x+12+x−13≤1，

3×(x+1)+2×(x−1)≤1×6，

3x+3+2x−2≤6，

3x+2x≤6+2−3，

5x≤5，

x≤1；

(2)x2+4x−1=0，

x2+4x=1，

x2+4x+4=5，

(x+2)【解析】(1)利用①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1的步骤解出不等式；

(2)根据配方法解出方程即可．

本题考查的是一元一次不等式的解法、配方法解一元二次方程，掌握解一元一次不等式的一般步骤、配方法的一般步骤是解题的关键．题型04解一元二次方程—公式法【解题策略】适用所有一元二次方程将方程写成一般式；分别写出a、b、c的表达式，带入求出根的判别式的值将数据带入公式，得到方程的两个解x1、x2【典例分析】例1．（2023·江苏模拟）方程x2−3x=1的解是______．【答案】x1=3+【解析】解：方程化为一般式为x2−3x−1=0，

a=1，b=−3，c=−1，

Δ=(−3)2−4×1×(−1)=13>0，

x=3±132×1=3±132，

所以x1例2.（2023·广东模拟）解方程：x2−2x−15=0【答案】解：∵x2−2x−15=0．

∴a=1，b=−2，c=−15，

∴b2−4ac=4+60=64>0，

∴x=2±【解析】【试题解析】

本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握公式法的解题步骤是解题的关键．根据公式法的步骤即可解决问题．【变式演练】1.（2023·广东模拟）用适当的方法解下列方程．(1)x(x−3)=x−3(2)【答案】解：(1)

x(x−3)=x−3

，∴

x(x−3)−(x−3)=0

，∴

(x−3)(x−1)=0

，解得：

x1=1,(2)

x2+3x−1=0a=1,b=3,c=−1

，

，∴

x=−b±解得：

x1=−3+13【解析】(1)根据因式分解法解一元二次方程即可求解．(2)根据公式法解一元二次方程即可求解．2.（2023·山东模拟）已知函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y之间满足下列表格中的数量关系，那么(a+b+c)(−b+x245y0.350.353A.18 B.15 C.9 D.3【答案】A

【解析】解：∵抛物线经过(2,0.35)，(4,0.35)，

∴抛物线对称轴为直线x=−b2a=3，

∴−ba=6，

∵抛物线经过(5,3)，对称轴为直线x=3，

∴抛物线经过(1,3)，即a+b+c=3，

∴(a+b+c)(−b+b2−4ac2a+−b−b2−4ac2a题型05解一元二次方程-因式分解法【解题策略】化成一般形式后，“=”左边可以因式分解的一元二次方程将一元二次方程化成一般是将“=”左边的部分因式分解让各部分因式分别=0各部分因式分别=0的x的值即为方程的解【典例分析】例1．（2023·广东模拟）方程x2+2x−3=0的两个根分别是x1=

，【答案】1−3【解析】【分析】运用因式分解法求解即可．【详解】∵x∴(x+3)(x−1)=0，∴x+3=0或x−1=0，∴x

 1

=1，x

 2

【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握计算法则是解题关键．例2.（2023·天津）方程x2+4x+3=0的两个根为(

)A.x1=1，x2=3 B.x1=−1，x2=3

C.【答案】D

【解析】解：x2+4x+3=0，

(x+3)(x+1)=0，

x+3=0或x+1=0，

x1=−3，x2=−1，

故选：D．

根据解一元二次方程−因式分解法，进行计算即可解答．【变式演练】1.（2023·湖南模拟）方程3x2−6x=0的解是

【答案】x1=0，【解析】略2.（2023·四川模拟）解方程：x2−2x−3=0．【答案】解：将原方程左边分解因式，得

(x−3)(x+1)=0，

∴x−3=0或x+1=0，

∴x1=3，【解析】【分析】

先将原方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出两个一元一次方程的解即可．

【点评】

本题考查了解一元二次方程−因式分解法，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．题型06根的判别式【解题策略】一元二次方程根的判别式对于一元二次方程的一般形式：，方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程没有实数根【易错警示】在应用跟的判别式时，若二次项系数中含有字母，注意二次项系数不为0这一条件；当时，可得方程有两个实数根，相等不相等未知【典例分析】例1．（2023·广东）已知一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为

．【答案】9

【解析】【分析】

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．

根据根的判别式的意义得到Δ=62−4m=0，然后解关于m的方程即可．

【解答】

解：根据题意得Δ=例2.（2023·贵州）若一元二次方程kx2−3x+1=0有两个相等的实数根，则k【答案】94【解析】解：∵一元二次方程kx2−3x+1=0有两个相等的实数根，

∴Δ=(−3)2−4k×1=0，且k≠0，

解得：k=94，【变式演练】1.（2023·北京）已知关于x的方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是________【答案】1

【解析】解：∵关于x的方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根，

∴△=22−4×1×k=0，

解得：k=1．

故答案为：1．

根据方程的系数结合根的判别式△=0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k2.（2023·吉林）一元二次方程x2−5x+2=0根的判别式的值是(

)A.33 B.23 C.17 D.【答案】C

【解析】解：x2−5x+2=0，

∵a=1，b=−5，c=2，

∴Δ=b2−4ac=(−5)2−4×1×2=25−8=17．

故选：3.（2023·四川）关于x的一元二次方程x2+2ax+a2A.没有实数根

B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根

D.实数根的个数与实数a的取值有关【答案】C

【解析】解：∵Δ=(2a)2−4×1×(a2−1)

=4a2−4a2+4

=4>0．

∴关于题型07根与系数的关系【解题策略】如果关于的一元二次方程的两根（当）为,,那么有【典例分析】例1．（2023·湖北）已知关于x的一元二次方程x2−3x+1=0的两个实数根分别为x1和x2，则【答案】2

【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−3x+1=0的两个实数根分别为x1和x2，

∴x1+x2=−−31=3，x1x2=11=1，

∴x1+例2.（2023·天津）若x1，x2是方程x2−6x−7=0A.x1+x2=6 B.x1【答案】A

【解析】解：∵x1，x2是方程x2−6x−7=0的两个根，

∴x1+x2=6，x1x2=−7，

故选：A【变式演练】1.（2023·湖北模拟）设x1，x2是一元二次方程x2−x−1=0的两根，则x【答案】0

【解析】解：∵x1,x2是方程x2−x−1=0的两根，

∴x1+x2=1，x1⋅x2=−1，

∴x12.（2023·江苏模拟）若一元二次方程x2+3x−2=0的两个根为x1，x2，则x1【答案】−4

【解析】略3.（2023·山东）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2+2=0【答案】1

【解析】解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2+2=0的两实根，

∴x1+x2=2(m+1)，x1x2=m2+2，

∵(x1+1)(x2+1)=8，

∴m2+2+2(m+1)+1=8，

解得m=1或m=−3，

∵Δ=4(m+1)2题型08由实际问题抽象出一元二次方程、一元二次方程的应用【解题策略】1．应用问题中常用的数量关系及题型(1)数字问题(包括日历中的数字规律)关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律．(2)体积变化问题关键是寻找其中的不变量作为等量关系.(3)打折销售问题其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝×100%．明确这几个关系式是解决这类问题的关键．(4)关于两个或多个未知量的问题重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程.(5)行程问题对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.(6)和、差、倍、分问题增长量＝原有量×增长率；现有量＝原有量+增长量；现有量＝原有量-降低量．2．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．要点诠释：方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．【典例分析】例1．（2023·福建）根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元.设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程(

)A.43903.89(1+x)=53109.85 B.43903.89(1+x)2=53109.85

C.43903.89【答案】B

【解析】解：设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，

根据题意得，43903.89(1+x)2=53109.85，

故选：B．

设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85例2.（2023·广东）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用y1(元)与该水果的质量x(千克)之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用y2(元)与该水果的质量x(千克)之间的函数解析式为y2=10x(x≥0)．

(1)求y1与x之间的函数解析式；【答案】解：(1)当0≤x≤5时，设y1与x之间的函数解析式为y1=kx(k≠0)，

把(5,75)代入解析式得：5k=75，

解得k=15，

∴y1=15x；

当5<x≤10时，设y1与x之间的函数解析式为y1=mx+n(m≠0)，

把(5,75)和(10,120)代入解析式得5m+n=7510m+n=120，

解得m=9n=30，

∴y1=9x+30，

综上所述，y1与x之间的函数解析式为y1=15x(0≤x≤5)9x+30(x>5)；

(2)在甲商店购买：9x+30=600，

解得x=6313，

∴在甲商店600元可以购买6313【解析】(1)用待定系数法，分段求出函数解析式即可；

(2)把y=600分别代入y1，y2解析式，解方程即可．【变式演练】1.（2023·江苏）2020年−2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是(

)A.5.76(1+x)2=6.58 B.5.76(1+x2)=6.58【答案】A

【解析】解：由题意得：5.76(1+x)2=6.58．

故选：A．

根据2020年的人均可支配收入×(1+年平均增长率)2.（2023·上海）某商店以20元/千克的单价进货了一批商品，经调查发现，每天的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图中线段AB所示．

(1)求y与x的函数表达式；

(2)要使每天的销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？【答案】解：(1)设y与x的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，

将(20,60)，(80,0)代入y=kx+b，得：20k+b=6080k+b=0，

解得：k=−1b=80k=−1，b=80．

∴y与x的函数表达式为y=−x+80．

(2)根据题意得：(x−20)(−x+80)=800，

整理得：x2−100x+2400=0，

解得：x1=40，x2【解析】(1)观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法可求出y与x的函数表达式；

(2)根据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．

本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．3.（2023·广东模拟）某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同．(1)求该种商品每次降价的百分率；(2)若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1475元，每件应降价多少元？【答案】解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x，

依题意，得：200(1−x)2=128，

解得：x1=0.2=20%，x2=1.8(不合题意，舍去)，

答：该种商品每次降价的百分率为20%．

(2)设每件商品应降价y元，

根据题意，得：(128−y−80)(20+5y)−100=1475，

解方程得y1=41，y2=3，

∵【解析】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键．

(1)设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；

(2)根据关系式为：每件商品的盈利×(原来的销售量+增加的销售量)=1475，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可．4.（2023·山东模拟）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．

(1)求该公司销售A产品每次的增长率；

(2)若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？【答案】解：(1)设该公司销售A产品每次的增长率为x，

依题意，得：20(1+x)2=45，

解得：x1=0.5=50%，x2=−2.5(不合题意，舍去)．

答：该公司销售A产品每次的增长率为50%．

(2)设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出(30+y0.5×20)套，

依题意，得：(2−y)(30+y0.5×20)=70，

整理，得：4y2−5y+1=0，

解得：y1【解析】(1)设该公司销售A产品每次的增长率为x，根据2月份及4月份该公司A产品的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

(2)设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出(30+y0.5×20)套，根据总利润=每套的利润×销售数量，即可得出关于y1.（2023·辽宁）若关于x的一元二次方程(k−1)x2+2x−2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是A.k>12且k≠1 B.k>12

C.k≥1【答案】A

【解析】解：∵关于x的一元二次方程(k−1)x2+2x−2=0有两个不相等的实数根，

∴k−1≠0Δ=22−4×(k−1)×(−2)>0，

解得：k>12且k≠1，

∴k的取值范围是k>12且k≠1．

故选：A．

由二次项系数非零及根的判别式2.（2023·湖南）已知关于x的一元二次方程x2+mx−2=0的一个根为−1，则m的值为______，另一个根为______．【答案】−1，2．

【解析】解：将x=−1代入原方程可得1−m−2=0，

解得：m=−1，

∵方程的两根之积为ca=−2，

∴方程的另一个根为−2÷(−1)=2．

故答案为：−1，2．

将x=−1代入原方程，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再结合两根之积等于−2，即可求出方程的另一个根．

本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于−b3.（2023·四川）已知方程x2−3x−4=0的根为x1，x2，则【答案】6

【解析】解：∵方程x2−3x−4=0的根为x1，x2，

∴x1+x2=3，x1⋅x2=−4，

∴(4.（2023·上海）方程(x−1)2=9【答案】x=−2或x=4

【解析】解：(x−1)2=9，

两边直接开平方得：x−1=±3，

则x−1=3，x−1=−3，

解得：x1=4，x2=−2，

故答案为：x=4或−2．

5.（2023·内蒙古）用配方法解方程x2−4x−1=0时，配方后正确的是(

)A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=17【答案】C

【解析】略6.（2023·江苏）

(1)解方程：2x2+x−2=0；

(2)解不等式组：x+3>−2x【答案】解：(1)2x2+x−2=0，

∵a=2，b=1，c=−2，

∴b2−4ac=12−4×2×(−2)=17，

∴x=−b±b2−4ac2a=−1±174，

∴x1=−1+【解析】(1)方程利用公式法求解即可；

(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

本题考查的是解一元二次方程以及解一元一次不等式组，掌握公式法和解一元一次不等式组的基本步骤是解答本题的关键．7.（2023·黑龙江）(本小题8分)

解方程：x【答案】解：x2−3x+2=0，

(x−1)(x−2)=0，

x−1=0或x−2=0，

∴x1【解析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，利用十字相乘法因式分解，得到两个关于x的一元一次方程，

分别解两个一元一次方程即可得到一元二次方程的解．8.（2023·上海）(本小题8分)

解方程：(x−2)2−4(x−2)=12【答案】解：(x−2)2−4(x−2)=12，

(x−2)2−4(x−2)−12=0，

(x−2−6)(x−2+2)=0，

x(x−8)=0，

x=0或x−8=0，【解析】方程利用因式分解法求解即可．

本题考查了解一元二次方程，掌握十字相乘法因式分解是解答本题的关键．9.（2023·山东）若一元二次方程mx2+2x+1=0有实数解，则m的取值范围是A.m≥−1 B.m≤1

C.m≥−1且m≠0 D.m≤1且m≠0【答案】D

【解析】解：∵一元二次方程mx2+2x+1=0有实数解，

∴Δ=22−4m≥0，且m≠0，

解得：m≤1且m≠0，

故选：D．10.（2023·四川）关于x的一元二次方程x2−2x+m−2=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是(

)A.m<32 B.m>3 C.m≤3 【答案】D

【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m−2=0有两个不相等的实数根，

∴Δ=(−2)2−4×1×(m−2)=12−4m>0，

解得：m<3．

故选：D．

根据方程的系数结合根的判别式Δ>0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m11.（2023·辽宁）若关于x的一元二次方程kx2−2x+3=0有两个实数根，则k的取值范围是A.k<13 B.k≤13

C.k<13且【答案】D

【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2−2x+3=0，

∴k≠0，

∵方程有两个实数根，

∴Δ=(−2)2−4k×3≥0，

解得k≤13，

∴k的取值范围是k≤13且k≠0，

故选：D．12.（2023·湖南）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2−m+2=0有两个不相等的实数根，且x1【答案】3

【解析】解：∵原方程有两个不相等的实数根，

∴Δ=(2m)2−4×1×(m2−m+2)>0，

∴m>2．

∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2mx+m2−m+2=0的两个实数根，

∴x1+x2=−2m，x1⋅x2=m2−m+2，

∵x1+x2+x1⋅x2=2，

∴−2m+m213.（2023·江苏）若x ​2−4x+3=0，y ​2−4y+3=0，【答案】−2

【解析】【分析】

本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程根与系数是解答关键.根据已知条件，可以把x、y看作方程t2−4t+3=0的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系得到x+y=4，xy=3，然后利用整体代入的方法计算．

【解答】

解：∵x2−4x+3=0，y2−4y+3=0，且x≠y，

∴x、y可看作方程t2−4t+3=014.（2023·山东）一元二次方程x2+3x−1=0的两根为x1，x2，则1A.32 B.−3 C.3 D.【答案】C

【解析】解：∵一元二次方程x2+3x−1=0的两根为x1，x2，

∴x1+x2=−3；x1x2=−1．

∴1x1+1x2

=x1+x2x1x15.（2023·浙江）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程(

)A.x+(1+x)=36 B.2(1+x)=36

C.1+x+x(1+x)=36 D.1+x+【答案】C

【解析】解：由题意得：1+x+x(1+x)=36，

故选：C．

患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是(x+1)人，则传染x(x+1)人，依题意列方程：1+x+x(1+x)=36．

本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．16.（2023·广东）某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是(

)A.y=x2+a B.y=a(x−1)2

【答案】D

【解析】解：依题意，

得y=a(1+x)2．

故选D．

本题是增长率的问题，基数是a元，增长次数2次，结果为y，根据增长率的公式表示函数关系式．17.（2023·黑龙江）如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面