上海市松江某中学2024-2025学年高三年级上册开学考试数学试卷

松江二中2025届高三数学第一学期开学考数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1.已知集合4={—1,0,1,2},5={司0<%<3},则AB=.

2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1,2）,贝Ui-z=.

3.在（4-2了的展开式中，/的系数为.

丫2

4.双曲线--V=i的两条渐近线的夹角为.

3

3

5.已知向量〃=（一1,2）/=（f,2）,且cos〈a,b〉=丁则X=.

6.函数“X）在R上可导，若/'（2）=3,则蚂"2+3Ax七/（2二用=.

'123、

7.已知随机变量X的分布为111，且-=必+3,若石用=—2,则实数。=.

J36>

8.正方体ABC。-A4G2的棱长为2,尸为棱CG的中点，△§「2以吕口为轴旋转一周，则得到的旋

转体的表面积是.

9

9.已知集合A=---->l,xeR>,设函数y=log/+a,（xeA）的值域为8,若则实数a

x-2\j

的取值范围为.

10.已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放

回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为.

22

11.如图，已知耳,工分别是椭圆C:鼻+与=1（。〉6>0）的左、右焦点，”,N为椭圆上两点，满足

ab

F】M〃F?N,且叵N|:困,：寓M|=l:2:3,则椭圆。的离心率为.

12.已知a、b、c、d都是平面向量，且问=2卜—川=|5a—c|=1,若〈a,d〉=（,则,—d|+|c—的

最小值为.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）

13.“。=2"是"直线y=—ax+2与直线y=?x—1垂直”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

14.已知根,“是两条不同直线，名尸是两个不同平面，则下列命题错误的是（）

A.若w平行于同一平面，则加与〃可能异面

B.若名万不平行，则在a内不存在与夕平行的直线

C.若机,〃不平行，则相与〃不可能垂直于同一平面

D.若a,尸垂直于同一平面，则a与P可能相交

15.在AWC中，l是边上一定点，满足兄8=：48,且对于边上任一点P,恒有

PBPC>^BF^C,则75。为（）

A.等腰三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形

16.已知函数〃x）=台，若函数g（x）=[/a）T+4（x）-e2-ae恰有5个不同的零点，则实数a的

取值范围是（）

A.（-00,-2e）B.（-GO,-e）C.co,-2]D.co,_J

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤。

17.（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，24,平面ABC。，PA=AD=2,AB=1,以BD

的中点。为球心、为直径的球面交PD于点M.

•D

18.（本题满分14分，第1小题满分2分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

黄山原名“夥山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为''黄山”.黄山

雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一.明代旅行家、地理学家徐霞客两游黄山，赞

叹说：“登黄山天下无山，观止矣！”又留“五岳归来不看山，黄山归来不看岳”的美誉，为更好地提升旅

游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制

成如图所示的频率分布直方图.

（1）根据频率分布直方图，求X的值；

（2）估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（保留两位小数）;

（3）景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在［50,60）,［60,70）的两组中共抽取6人，再从

这6人中随机抽取2人进行个别交流。求选取的2人评分分别在［50,60）和［60,70）内各1人的概率.

19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知函数y=/（x）的表达式〃x）=x+生+2（机为实数）.

（1）函数y=/（x）在区间［2,+8）上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数加的取值范围；

（2）设加＜0,若不等式无）在xe上有解，求左的取值范围.

20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

丫2

如图，已知耳,心是椭圆「1+＞2=1的左右焦点，是其顶点，直线/:y=Ax+机（左＞0）与「相交

于A8两点.

（1）求的面积尸;

（2）若/N,点A,M重合，求8点的坐标;

(3)设直线OA,OB的斜率分别为《此，记以OAOB为直径的圆的面积分别为耳,邑,AOAB的面积为S,

若匕、k、鱼恰好构成等比数列，求S($+S2)的最大值.

21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)

已知函数/'(x)=xe?-ax(a>0).

(1)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)若“X)的极大值为1-1,求a的值；

(3)当时，若对任意的为且1,+8),存在/C(YO,0］使得/(玉)+/(%2)=0，求a的取值范围.

e

松江二中2025届高三数学第一学期开学考数学试卷

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)

1.【答案】{1,2}

【解析】易知AB={1,2}.

2.【答案】—2+i

【解析】z=l+2i,i-z=i(l+2i)=-2+i.

3.【答案】—10

【解析】4+1=G(石)4X(-2)1=-10%2.

4.【答案】60°

【解析】两条渐近线分别为y=±gx,夹角为60°.

5.【答案】±1

【解析】a-b=|a|­|/?|-cos(a,b)-x2+4=x+4xx=±1.

6.【答案】12

［解析］lim〃2+3©)H2-Ax)=］im〃2+3Ax)H2)+A2)T(2-醺)

-oAx-。Ax

=11mA2+3Ax)T(2)+］jm”2)T(2…)=31皿八2+3班)-/(2)+］加/(2+')一⑵

-oAx-Ax■一03Ax­°Ax

=3八2)+八2)=12

7.【答案】—3

【解析】E[X]=lx-+2x-+3x-=~,E\Y]=E[aX+3]=aE[X]+3=-2^a=-3.

2363

8.【答案】2屈兀

【解析】由题意知，为等腰三角形，且BQ=26,PR=PB=后,所以△3/肛以BQ为轴旋

转一周，得到的旋转体是以BQ为中心轴，

PDX和依分别为母线且同底的两个圆锥构成的几何体,

可得圆锥的底面半径为=所以S表=2兀〃=2&3兀.

9.【答案】(4,5]

即匕（4-x）（^-2）>0

【解析】—>1^-—>0,20nn2<x«4nA=（2,4]

x-2x-2x-2x-2x/2

因为xeA=（2,4],所以1081]€[-2,-1）/081工+0£[-2+。,-1+。），所以3=[-2+a,—l+a）

22

—2+。〉2

因为3uA,所以1,解得4<。<5,所以实数。的取值范围为(4,5]

--l+a<4

3

10.【答案】一

5

尸2J

【解析】由题意可知，2次检测结束的概率为「2=声=而,

6+。；。灯_3

3次检测结束的概率为P3=

W10

133

则恰好检测四次停止的概率为P=1一72一夕3=1—而—记=1.

n.【答案】卓

【解析】设椭圆的半焦距为c(c>0),

如图，延长M耳，与椭圆交于点L,连接工心，由KM〃工N,所以根据对称性可知，寓4=

设比M=|耳4=f/>0,则同M=2/，|耳闾=3/，从而2a=|鸟M+I片M=5r,故|鸟4=4/,

在低中，优4=书=|地|,所以cosNLM£=2

\ML\~4

在中，4c2=9』+4/—2x3/x2/x；,即4c2=10巴

/10,-/n）

所以％=七x一c,所以2〃=Wc,所以离心率6=x2丁

12.【答案】---

2

【解析】如图设04=见。〃=5凡06="0。=。,0。=1,

点8在以A为圆心，半径为上的圆上，

2

7T

点C在以M为圆心，半径为1的圆上，ZNOM=-,

.13

所以。在射线ON上，所以|b—d|+|e—町=|。8|+|。。闫。川——+\DM\-l=\DA\+\DM\--,

22

作的A关于射线ON的对称点G,贝"。6卜|叫，且NGQA=|,

所以+21GMi—：=爪’—|=4—g，（当且仅当。、G、M共线时取等号）,

,—<7|+|c—c?|的最小值为J26-5.

二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分)

13.【答案】A

【解析】"直线y=—办+2与直线y=—1垂直”等价于一ax@=—loa=±2,故选A.

，.44

14.【答案】B

【解析】在a内与a和4的交线平行的直线与夕平行，故B错误.

15.【答案】B

【解析】取8C的中点的中点E,连接几(如图所示)，贝I

P0B-P0C=^P0D+DB)-^P0D+DC)=(凡D+DB)-^P0D-DB)=PQI)-DB2,

...2.2

同理PBPC=PD-DB~,

_22.2.2

因为PBPCiRBRC,所以PD-DB>PQD-DB',

即？02之4。2,所以对于边AB上任意一点P都有2,4，因此与D_LAB,

2

又《8=348,。为3c中点，E为0c中点，

pBBD2

所以」」=—=—,所以1D〃AE,即NSAE=90°,所以〃4c>90°,即△ABC为针角三角形.

ABBE3°

16.【答案】A

X

【解析】函数=n的定义域为{x|xwo},

p%=(x—l)e%

若%>o时，由〃x)=^求导得，/v)2>

故当Ovxvl时，/'(X)<0,当%>1时，

所以/(x)=4在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，且/(X)极小值=/(l)=e,

当X—。+时，/(x)^+oo,当X—+X)时，+CO;

若xvo时，由/(%)=—J求导得，―4，

xx

因工<0,故恒有尸(£)>0,即〃无)=-《在(ro,0)上单调递增,

且当JWD时，〃%).()+,当1.0一时，f+00,即xvO时，恒有/(尤)>0.

作出函数“X)=%的大致图像如图所示.

又由^(%)=[/(%)]'+(x)-e2-ae=[/(%)-e][/(%)+e+a]=0可得/(x)=e或

/(x)=-e-a,由图知/(x)=e有两个根，此时g(无)有2个零点；

要使函数g(x)="(x)]2+4(x)—e?—ae恰有5个不同的零点，

需使/'(x)=-e-a有3个零点，由图知，需使/(无)>e,即一e-a>e,解得a<-2e.

综上所述，实数a的取值范围是(-8,-2e).

三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须写出必要的步骤.

17.【答案】(1)证明见解析；(2)120°

【解析】(1)因为24_L平面ABCD,ABu平面ABCD,ADu平面ABCD,

所以PALAD,

又AB，AD,ADQA=AADu平面MD,QAu平面ELD,

所以平面R4D,又？Du平面R4D,所以脑上如，

有题意可知又AB5M=5,ABu平面ABM,平面ABM,

所以？D_L平面A5M.

(2)分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

因。。_L平面ABM,AMu平面ABM,所以PDLAM,

因为A4=AD=2,所以“为？。中点，

故尸（0,0,2）,。（0,2,0）,阳（0,1,1）,3（1,0,0）,C（l,2,0）,

平面A5M的一个法向量为4=。£>=（0,2,-2）,

BM=（-1,1,1）,BC=（0,2,0）,

设平面5cM的法向量为%=（x,y,z）,

由得4"，令龙=-2得y=0,z=-2,

n2BC=012y=0

则电=（-2,0,-2）'所以COM%〉=汽=1'

因为二面角A—BM—C是钝二面角，所以二面角A—BM—C的大小为120。.

18•【答案】

8

（1）x=0.03；⑵83.33；（3）——

15

【解析】(1)由图知：10x(0.005+0.01+0.015+x+0.04)=l,可得x=0.03.

⑵由10x(0.005+0.01+0.015)=0.3<0.4<10x(0.005+0.01+0.015+0.03)=0.6,所以40%分位

数在区间［80,90)内，令其为小,

则0.3+0.03x（m—80）=0.4,解得加=80+1a83.33.所以满意度评分的40%分位数为83.33.

（3）因为评分在［50,60）,［60,70）的频率分别为0.05,0.1,

0.05

贝U在［50,60）中抽取x6=2人,设为

0.05+0.1

在「60,70)中抽取———x6=4人,设为C,D,E,F；

L70.05+0.1

从这6人中随机抽取2人,则有：{a,。},{a,C},{a,£)},{4,£},{a,尸卜{。,。卜{。,。},{0,尸卜

{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共有15个基本事件，

设选取的2人评分分别在[50,60)和[60,70)内各1人为事件A,

Q

则有{0,。},{兄£＞},{名石},{必尸},也,。},{仇0},也,号,{上尸},共有8个基本事件，所以P(A)=—.

22

19.【答案】(1)(-oo,4]；(2)当相(一马时，kG[4m+5,+oo)；当一耳＜用＜0时，G[m+3,+oo).

【解析】(1)由题意，任取％1、X2G[2,+OO),且王＜%2，

(、

_x

贝I/(^2)/(i)-x2+—+2-Xj+—+2=(x2-——＞0,

X2(再JX1X2

因为犬2—%＞0,王九2＞0，所以犬1犬2一加＞0，即用＜七％2，

由％2＞芯22,得%入2＞4,所以租44,所以，加的取值范围是(一00,4].

mI7m2y

(2)由ffx)<kxf得----F2<fcv,因为—,1所以女>^-H----\~1,

x2XX

令/=工，则fe[l,2]，所以左之加产+2/+1,令g(r)=wtf2+2r+l,rG[1,2],

X

于是，要使原不等式在XC1,1有解，当且仅当左2gQ)mm，

因为加＜0,所以g(f)="/f+L]+1—1图象开口向下，对称轴为直线/=—!＞0,

\m)mm

1+?3

因为.w[l,2],设：％为区间[1,2]的中点值，%=亏=1

132

故当即0＜—＜-,即根W——时，g(r)=g(2)=4根+5；

m23

132

当务＜%,即---＞彳，即一不＜加＜°时，g«)=g(l)=加+3・

m23

22

综上，当机(一耳时，Z:e[4m+5,+oo)；当一耳＜用＜0时，e[m+3,+oo).

224

20.【答案】（1）1H—A/3；（2）B（3）S（，+S2）的最大值不存在

213，13

【解析】（1）容易求得片卜石,0）,工（石,0）,M（—2,0）,N（0,l）

所以，P=^\MF2\xb=l+^y/3.

（2）易求女尸2N=—7^，所以左=

X

代入直线方程得/:y=G（x+2）,设A（-2,0）,B（2,y2）,

由＜:能2得,+48X+44=。，

,4422「A=42

由韦达定理得：—2工2=—，解得％=—=

2131313

所以，川一石，百

（3）设4（再,％）,5（尤2，%），

\::相彳°得（1+4产）/+8fonr+4（m2_1）

由＜=0,

4（m2T

8km

由韦达定理有：%+无2=—

l+4k2

且A=16（l+4左2—加2）＞0

_%%_（如+加）（包+加）

/V一仆鼠？一一,即初2（玉+者）+7篦2=0•

七工2X/2

,11

由韦达定理得H=—,即左=—

42

由A=16(1+4%2—加2)>o得相金,

si+S2=：(x；+y；+后+yl)=~^~xi+

S1+S2=卷(X]+与『—2X/2=7(定值)

S=g|AB|d=gJl+公|X]-%2|--J=L,

22

S=|m|12-加之—lm^2—m^<1,

当且仅当/=2-m2,即帆=1时等号成立.

此时，直线方程为y=gx+l,该直线过M,N,即匕中有一个不存在，

所以，S(S1+S2)的最大值不存在.

21.【答案】(1)y=(1—a^x；(2)a=2；(3),e---

【解析】(1)/,(%)=ex^x+\)-ax-a,则左=/'(0)=1—々，

因为/(O)=O,所以切点(OJ(O))即(0,0),

所以切线为y=(l—

(2)广⑴=1(%+1)-依-〃=(%+1乂1，

因为〃>0,令/<x)=0,解得x=-1或x=lna,

①当Inav—1时，即0<〃〈!时，/(X)在(YO,Ina)上单调递增，在(lna,-l)上单调递减，在(-l,+oo)上

e

单调递增，

所以/(x)的极大值为/'(lna)=alna-ga(lna)2-alna=—ga(lna)2<0,不符合题意；

②当lna=—1时，即。=工时，/'(x)20,/'a)在R上单调递增，无极大值；