2024年天津市中考数学二轮复习模拟题分类汇编：圆解答题（共50道）（解析版）

二轮复习2024年中考数学重要考点

名校模拟题分类汇编专题01

旋转（选择题共36道）（天津专用）

1.（2024上•天津和平•九年级天津二十中校考期末）如图，4B是。。的直径，尸为。。上一

点，AC平分NF4B交0。于点C.过点C作CD14F交2尸的延长线于点D.

⑴求证：CD是。。的切线.

（2）若DC=6,AB=13,求4F的长.

【答案】⑴见解析

（2）5

【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的判定和性质以及切线的判定定理即可得到结论;

（2）连接BF,交AC与点、E,首先借助圆周角定理证明四边形CEFD为矩形，由矩形性质可

得EF=CD=6,OC1BF,利用垂径定理即可推导BF=12；然后在RtAABF中，由勾股

定理计算力F的长即可.

【详解】（1）证明：连接。C,如下图，

IMC平分N凡4B,

^\Z-FAC=匕CAO,

朋。=CO,

^ACO=Z.CAO,

=Z-ACO,

BADWOC,

SCD1AF,

SCD1OC,

回。C为O。半径，

回CD是。。的切线；

（2）解：连接BF,交4C与点E,如下图,

财B为。。的直径，

回N4FB=90°,

0ZDFE=180°-/LAFB=90°,

SCDLAF,CD10C,

0ZFDC=Z.DCE=90°,

回四边形CEFD为矩形，

EEF=CZ）=6,4CEF=90°,即CE1BF,

EIOC为O。半径，

0BF=2EF=2X6=12,

回在Rt△ABF中，由勾股定理可得2F=7AB2-BF2=V132-122=5.

【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、垂径定理、矩形的判定与性质、平行线

的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线，灵活运用相关知识是解题关键.

2.（2024上•天津和平・九年级天津市第五十五中学校考期末）如图，在AABC中，AB=4C,

。为AC上一点，以CD为直径的。。与4B相切于点E,交BC于点尸，FG1AB,垂足为G.

⑴求证：FG是。。的切线；

(2)若BG=1,CF=1V2,求8尸的长.

【答案】⑴见解析

(2)BF=3

【分析】(1)连接。吃。尸，设4。。尸=6，4OFC=a,根据已知条件以及直径所

对的圆周角相等，证明a+£=90。，进而求得NDFG=a,NDF。=/?,即可证明FG是0。的

切线；

(2)根据已知条件结合(1)的结论可得四边形GEOF是正方形，进而求得DC的长，根据

乙BFG=LFDC=B，sin£=^=^|,即可求解.

【详解】(1)如图，连接DF,OF,

OF=OD,

贝iJziODF=乙OFD,

^Z.ODF=Z.OFD=B，AOFC=a,

•・•OF=OC,

••・乙OFC—Z.OCF-a,

••・DC为。。的直径，

・•・乙DFC=90°,

・•・Z.DFO+OFC=乙DFC=90°,

即a+S=90°,

-AB=AC,

•••Z.B-Z.ACB—a,

•・•FGLAB.

Z.GFB=90°一乙B=90。-a=S,

•・•(DFB=乙DFC=90°,

・•・Z.DFG=90°-乙GFB=90。一£=a,

Z.GFO=Z.GFD+Z-DFO=a+/?=90°,

••・OF为。。的半径，

••.FG是O。的切线；

(2)如图，

•••4B是。。的切线，贝!]OE_L力B,又。F1FG,FG1AB,

••・四边形GEOF是矩形，

0E=OF,

.,・四边形GEOF是正方形，

GF=OF^-DC,

2

在由△GFB中，BG=1,

・•・FG=y/BF2-GB2=y/BF2-1,

DC=2FG,

由(1)可得乙BFG=4FDC=0,

•・•FG1AB.DF1FC,

"BF_2A/BF2-1，

解得BF=3.

【点睛】本题考查了切线的性质与判定，正方形的性质与判定，等腰三角形的性质，正弦的

定义，掌握切线的性质与判定是解题的关键.

3.（2023上•天津和平•九年级天津市第五十五中学校考阶段练习）如图，已知，回0的半径

r=y,弦AB,CD交于点E,C为通的中点，过D点的直线交AB延长线与点F,且DF=EF.

（1）如图①，试判断DF与回O的位置关系，并说明理由；

(2)如图②，连接AC,若A03DF,BE=|AE,求CE的长.

图①图②

【答案】(1)DF与国。相切，理由见解析；(2)CE=2V10.

【分析】(1)如图，作辅助线；证明国ODC+EICDF=90。，即可解决问题.

(2)如图，作辅助线；证明0HI3AB,AH=4入，此为解题的关键性结论；证明CE=J1加；列

出方程(r-3X)2+(4入)2,求出入=a=导§=2,即可解决问题.

【详解】(1)DF与回。相切.

如图1,连接OC、0D；

I3C为弧AB的中点，

0OCSAB,0OCE+0AEC=9O°;

0DF=EF,

EEFDE=0FED=0AEC；

回OA=OC,

E0OCE=0ODC,

E0ODC+EICDF=9OO,

即ODEDF,

0DF与回0相切.

(2)如图2,连接。A、0C；

由(1)知OCEIAB,

0AH=BH；

0AC0DF,

00ACD=0CDF；而EF=DF,

00DEF=0CDF=0ACD,

0AC=AE；

设AE=5入，则BE=3人，

回AH=4入，HE”，AC=AE=5入；

团由勾股定理得：CH=3人；

CE2=CH2+HE2=9X2+X2,

0CE=VTOX；

在直角IBAOH中，由勾股定理得：

AO2=AH2+OH2,

即r2=(r-3X)2+(4人)2,

解得：A=^r=^x^=2,

ECE=2V10.

【点睛】该题主要考查了圆的切线的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线；灵

活运用有关定理来分析、解答.

4.(2023上•天津河北•九年级天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习)如图，在。。

中，4B为直径，弦CD与48交于P点，Z71DC=25°.

(1)如图①，若NDP8=55。，求42CD的度数；

(2)如图②，过点C作。。的切线与A4的延长线交于点0,若PQ=CQ,求NC4D的度数.

【答案】⑴60。

(2)110°

【分析】(1)连接BC,先求得N£MB=30。，得，最后求得N4CD=60。；

(2)连接0C,由切线的性质得NOCQ=90°,由。4=OC,PQ=CQ,得N04C=65°,A.QPC=

70°,最后求得的度数

【详解】(1)

如图①，连接BC,

D

团N0P8是尸的一个夕卜角，Z.ADC=25°,Z.DPB=55°,

团Z.DAB=乙DPB-^ADC=30°,

0乙DCB=ADAB=30°,

048为回。的直径，

0/-ACB=90°,

0/-ACD=乙ACB-乙DCB=60°.

(2)如图②，连接。C.

0/-ADC=25°,

0Z.AOC=2AADC=50°.

团QC是团。切线,

0Z.OCQ=90°.

团Z.OQC=90°-Z,AOC=90°-50°=40°.

00A=0C,PQ=CQ,

0/。女入。以=*您=65。,

乙QPC=“CP=180；OQC=70。,

0/.DAP=Z.QPC-Z.ADC=45°,

0/.CAD=/.DAP+/.OAC=110°.

【点睛】本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质、三角形

的内角和定理，熟练掌握这些性质是解题的关键.

5.（2023上•天津和平•九年级天津市汇文中学校考阶段练习）已知在。。中，弦CD与直径

交于点P.

(El)如图①，若NBCD=30。,乙40。=50。，求NCDB的度数.

(回)如图②，过点。作。。的切线交力B的延长线于点Q.若乙BCD=20°,PQ=DQ,求乙CBD

的度数.

【答案】(0)70°；(0)115°

【分析】(回)连接40.由圆周角定理推论可知N4DB=90。.再根据题意结合三角形外角性

质可求出乙4BC=AAPC-乙BCD=20°,最后再由圆周角定理可知N4DC=乙4BC=20°,

即可求出NCDB大小.

(0)连接0，由圆周角定理可知=2/8C。=40。，再由切线的性质可知

NODQ=90。.即Z.Q=90。-NOOB=90。-40。=50。.根据题意易求出=

180°丁°'=70°,乙QPD=乙QDP==65°.再根据三角形外角性质可求出NC8P=

“PD-乙BCD=45°,即求出NCBD的大小.

【详解】(回)如图，连接4D.

回48是O。的直径，

S/.ADB=90°.

回N4PC=50°,乙BCD=30°,

H/.ABC="PC-乙BCD=50°-30°=20°

^ADC=^ABC=20°.

团NCDB=NADB-乙ADC=90°-20°=70°.

(E)如图，连接OD.

0ZSCD=20°,

EZDOB=2乙BCD=40°,

回。。切O。于点D,

回。。_LOQ,艮|34。OQ=90。.

0ZQ=90°一七DOB=90°-40°=50°.

回。B=OD,PQ=DQ,

回NODB=Z.OBD=I80f=70°,乙QPD=乙QDP=%卫=65°.

2yy2

EZCBP=乙QPD-乙BCD=65°-20°=45°.

回NCBD=乙CBP+Z.OBD=45°+70°=115°.

【点睛】本题为圆的综合题.考查圆周角定理及其推论，切线的性质以及三角形外角性质.正

确的连接辅助线是解答本题的关键.

6.（2023上・天津河西•九年级天津实验中学校考阶段练习）如图，已知AB为回。的直径，PA,

PC是的切线，A,C为切点，HBAC=30°.

（1）求EIP的大小；

⑵若AB=2,求PA的长（结果保留根号）.

【答案】（1）fflP=60°；（2）PA=V3.

【详解】（1）EIPA是回。的切线，AB为回。的直径,

0PA0AB,

EBBAP=90°；

EHBAC=30°,

E0CAP=9O°-0BAC=6O°.

又回PA、PC切回。于点A、C,

EPA=PC,

H3PAC为等边三角形，

fflP=60°.

(2)如图,

连接BC,则EACB=90°.

在RtElACB中，AB=2,EIBAC=30°,

EBC=1,

0AC=V3，

EEPAC为等边三角形，

0PA=AC,

0PA=V3.

7.(2023上•天津南开•九年级南开翔宇学校校考阶段练习)如图①，在。。中，48为直径,

C为。。上一点，ZX=30°,过点C作。。的切线，与4B的延长线相交于点P.

(0)求NP的大小；

(0)如图②，过点B作CP的垂线，垂足为点E,与2C的延长线交于点F,

①求NF的大小；②若O。的半径为2,求4尸的长.

【答案】5)ZP=30°；(13)①NF=30°；@AF=4V3

【分析】(ffl)如图①中，连接OC.利用切线的性质解决问题即可；

(E)①证明OCEIBF,即可解决问题；

②证明团OBC是等边三角形，利用勾股定理即可解决问题.

【详解】(回)如图，连接OC.

团。。与PC相切于点c,

0OC1PC,即乙。。尸=90。，

回匕4=30°,

团=2Z,A=60°,

在R%OPC中，2LP0C+ZP=90°,

0ZP=9O°-6O°=3O°；

(0)①由(I)得乙OCP=90°,

又回BF_LPC,BPzPEB=90°

WC//BF

团4F=Z.ACO=4/=30°；

②由①

胤48=BF,

连接BC,

MB是直径，

^BCA=90°,即

团4C=CF

^BOC=60°,OC=OB,

SA是等边三角形，

回BC=OC=2,

0XC=slAB2-BC2=V42-22=2V3,

0XF=4V3.

【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，平行线的判定和性质，等边三角形的判定和

性质，勾股定理的应用等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

8.（2023上•天津河东•九年级天津市第七中学校考期中）如图，AB是。。的直径，C,D为

O。上的点，S.BCWOD,过点。作DEL28于点E.

DC

A\EOH

⑴求证：BD平分NABC；

(2)若BC=3,DE=2,求O。的半径.

【答案】(1)见解析

【分析】⑴利用平行线的性质得到NODB=乙CBD,再由NODB=乙OBD,即可证得NOBD=

乙CBD；

⑵过。点作。尸，8。于R如图，根据垂径定理得到BF=CF=|,再证明AODE三"。尸，

得到DE=OF=2,然后利用勾股定理计算。B的长即可.

【详解】(1)证明：•••BCWOD,

•••Z.ODB=Z.CBD,

OD=OB,

:.Z.ODB=Z.OBD,

Z-OBD=乙CBD,

・•・80平分乙48C；

(2)解：如图，过点。作。于点凡

DE1AB,

・•・£.DEO=乙OFB=90°,

•・•BCWD,

・•・乙DOF=Z.OFB=90°,

・•・(DOE+乙FOB=90°,

•・•乙DOE+乙EDO=90°,

・♦・乙EDO=乙FOB,

在△EO。和AFOB中,

ZDEO=Z.OFB

乙EDO=乙FOB

OD=OB

・•・^EDO=^FOB(AAS).

•••DE=OF=2,

•・•OF1BC,

I3

：,BF=CF=-BC=-,

22

在R30FB中，

•・•OF2+BF2=OB2,

：.OB=^OF2+BF2=J+（|）=|

••.o。的半径为|.

【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的判定，等腰三角形的性质，垂径定理，全等

三角形的判定与性质，勾股定理，作出辅助线是解决本题的关键.

9.（2022・天津・天津市双菱中学校考模拟预测）如图，是以BC为直径的半圆。的切线,

。为半圆上一点，AD=AB,AD,8C的延长线相交于点E.

（1）求证：AD是半圆。的切线；（2）连结O）,求证：0A=2EICD£.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【详解】（1）如图，连接。。，BD,

EL48是回。的切线，

EL4B0BC,即0ABC=9O°,

^AB=AD,

^3\ABD=^\ADB,

^OB=OD,

瓯£)20=回BDO,

^EABD+S\DBO=S\ADB+S\BDO,

fflA£>0=EA20=90°,

EAD是半圆。的切线.

(2)由(1)知，的。0=她30=90°,

^=360°-^ADO-BABO-^BOD=18Q°-^BOD=^DOC,

明0是半圆。的切线，

团团0。右二90°,

^\ODC^CDE=90°,

团5C是回。的直径，

团团O0C+团500=90°,

^\BDO=^CDE,

团团5。。二团O3D

^\DOC=2^\BDOf

酿00。=2团COE,

WA=2BCDE.

10.(2023•天津河西・天津市新华中学校考二模)图，A3为。。的直径，△ACD是。。的内

接三角形，尸B切。。于点5,

图①图②

⑴如图①，延长AO交尸8于点P,若NC=40。，求OP和回8A尸的度数；

(2)如图②，连接AP交。。于点E,若ND=NP,琵=AC,求SP和SBAP的度数.

【答案】⑴NP=40°,NBAP=50°

(2)zP=60°,ABAP=30°

【分析】(1)连接2。,利用切线的性质得到乙48P=90。,用圆周角定理得到乙4CD=4ABD=

40°,进而求出N08P的度数，再利用”为。。的直径得到乙4DB=90。，最后利用三角形

外角性质和三角形内角和定理求解；

(2)连接CE与AB相交于点兄由圆周角定理得到N710C=NZEC,结合NO=NP得到

^AEC=NP,进而得到CE||BP,结合切线的性质易得AB是CE的垂直平分线，得到力C=AE,

结合北=打得到ac=CE,进而得到AACE是等边三角形，求出4P的度数，再利用三角形

内角和定理求解.

【详解】(1)：连接80,如图①

图①

SP2切O。于点8,

回ZJ4BP=90°.

0Zi4CD=Z.ABD=40°,

0ZDBP=90°-Z.ABD=90°-40°=50°.

0AB为0。的直径，

^ADB=90°,

回NP=90°-乙DBP=90°-50°=40°,

0ZS4P=180°-AABP-NP=180°-90°-40°=50°；

(2)：连接CE与A3相交于点尸，如图②

图②

^1Z.ADC=Z.AEC,Z-D=乙P,

^AEC=Z.P,

0CE||BP.

团尸3切。。于点3,

^Z-ABP=^AFE=90°,

^\AB_LCE.

她3为。。的直径，

是CE的垂直平分线,

朋C=AE.

回）=由

固4c=CE,

团4C=AE=CE,

回△4CE是等边三角形,

^AEC=60°.

团24EC=Z-P,

回乙尸=60°.

^Z.ABP=90°,

^BAP=180°-"BP一乙P=180°-90°-60°=30°.

【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，平行线的判定和性质，三角

形内角和定理和三角形外角性质，直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定与性质，理

解相关知识和作出辅助线是解答关键.

n.（2023•天津河西•天津市新华中学校考一模）如图，在。。中，为直径，弦CD与。4交

于点E,连接AC,ZXDC=26°.

（1）如图①，若4DEB=55。,求乙4CD的度数；

（2）如图②，过点C作。。的切线与B4的延长线交于点F,若=求44。的度数.

【答案】（1）乙4CD=61°；

(2)^CAD=109°.

【分析】（1）连接BD,先求得4DAB=29。,最后求得N4CD=61。；

（2）连接OC,由切线的性质得/。。尸=90°,由。A=OC,EF=CF,得=64°,Z.FEC=

ZFCF=71°,最后求得NC4D的度数.

【详解】（1）解：如图①，连接BD,

团是a/OE的一个外角，Z-ADC=26°,Z.DEB=55°,

^DAB=2DPB-Z.ADC=29°,

团为。。的直径，

团乙408=90°,

^ACD=LB=90°-乙DAB=61°；

(2)解：如图②，连接。C.

团乙40c=26°,

团乙4。。=2乙ADC=52°.

是。。切线，

0ZOCF=90°.

团4F=90°-Z.AOC=90°-52°=38°.

回。/=OC,EF=CF,

180°—乙40c

团404c=/.OCA=64°,

乙FEC=乙ECF=幽W71°,

2

^DAE=AFEC-乙ADC=45°,

^CAD=/.DAE+Z.OAC=109°.

【点睛】本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质、三角形

的内角和定理，熟练掌握这些性质是解题的关键.

12.（2023•天津河西・天津市新华中学校考三模）如图，48为。。的直径，点C,D为直径AB

同侧圆上的点，且点。为标的中点，过点。作于点以延长DE,交。。于点F,47与

交于点G.

（1）如图①，若点C为力S的中点，求乙4GF的度数;

（2）如图②，若力C=12,AE=3,求。。的半径.

【答案】⑴60。

喈

【分析】（1）根据题意可推得加=眈=CB,根据圆心角、弧、弦之间的关系可求得乙4。。=

乙DOC=LCOB=6Q°,根据圆周角定理可求得/CAB=30。，根据三角形内角和定理求解;

（2）根据垂径定理可得DE=EF,根据圆心角、弧、弦之间的关系可推得DF=4C,求得

DE=6,设。。的半径为r,贝UOE=r—3,根据勾股定理即可求解.

【详解】（1）解：连接。D,OC,如图：

团点。为此的中点，点C为DB的中点，

固4。=ETC,ETC=CB,

比=既=CB,

团乙4。0=乙DOC=乙COB,

又朋8为。。的直径，

1QG°

^AOD=2DOC=乙COB=—=60°,

3

^CAB=-^COB=30°,

2

在RtUEG中，Z,GAE=30°,

0Zi4GF=9O°-3O°=6O°.

(2)连接。。，如图:

回点。为Ttt1的中点，

固步=ETC,

^\DELAB,48为。。的直径，

WE=EF,

固4力=AF,

团用定=DAF,

即DF=ZC,

团OE=-DF=-AC=6,

22

设。。的半径为r,贝iJOE=0A-AE=r-3,

在RtADOE中，。。2=*+烟，

即产=62+(r—3)2,

解得r=枭

故O。的半径为停

【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关

系，勾股定理等，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

13.(2023下•天津和平•九年级天津市双菱中学校考开学考试)如图，线段AB经过。。的圆

心。，交圆。于点A,C,BC=1,为O。的弦，连接8D,乙BAD=N4B0=30。，连

接。。并延长交O。于点E,连接BE交O。于点M.

(1)求证：直线8。是。。的切线;

(2)求线段的长.

【答案】⑴见解析

【分析】(1)根据圆周角定理可得48。。=2/.BAD=60°,从而得到Z.ODB=90°,即可求

证；

(2)连接。他80。中,根据直角三角形的性质可得8。=2。£>,从而得到0D=0C=1,

BD=V3,再由OE为O。的直径，可得DE=2,^.DME=90°,从而得到BE=夕，再由

SABDE=^BD,DE=^BE,DM,可得DM=第，再由勾股定理，即可求解・

【详解】(1)证明：^BOD=2^\BAD,

0ZBOD=2ABAD=60°,

又回N4BD=30°,

团NODB=90°,即。。1BD,

又回。。为。。的半径，

团直线8。是。。的切线；

(2)解：如图，连接。

团B。=2OD=OC+BC,

又BC=1,OD=OC,

回。。=。。=1,

而。=V3,

即用为。。的直径，

0PF=2,4DME=90°,

在RtS\BDE中，BE=VDE2+BD2=V7,

11

^SABDE=-BD-DE=-BE-DM,

BE7

在Rt^BDM中，BM=7BD2—DM?=”

7

【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理等知识,

熟练掌握切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键.

14.(2023下•天津滨海新•九年级天津经济技术开发区第一中学校考开学考试)已知回。中,

AC为直径，MA、MB分别切回0于点A、B.

(0)如图①，若回BAC=25。，求回AMB的大小；

(0)如图②，过点B作BDEIAC于点E,交回。于点D,若BD=MA,求回AMB的大小.

【答案】(回)50°;(0)60°

【分析】(回)由AM与圆。相切，根据切线的性质得到AM垂直于AC,可得出EIMAC为直

角，再由mBAC的度数，用EIMAC-EIBAC求出EIMAB的度数，又MA,MB为圆。的切线，根

据切线长定理得到MA=MB,利用等边对等角可得出E1MAB=E]MBA,由底角的度数，利用三角

形的内角和定理即可求出EIAMB的度数.

(E)连接AB,AD,由直径AC垂直于弦BD,根据垂径定理得到A为优弧BAD的中点，根

据等弧对等弦可得出AB=AD,由AM为圆。的切线，得到AM垂直于AC,又BD垂直于AC,

根据垂直于同一条直线的两直线平行可得出BD平行于AM,又BD=AM,利用一组对边平行

且相等的四边形为平行四边形得到ADBM为平行四边形，再由邻边MA=MB,得到ADBM为

菱形，根据菱形的邻边相等可得出BD=AD,进而得至IJAB=AD=BD,即回ABD为等边三角形，

根据等边三角形的性质得到E1D为60°,再利用菱形的对角相等可得出EIAMB=EID=60。.

【详解】解：(回)EIMA切回。于点A,EHMAC=90°.

又IBBAC=25",00MAB=EMAC-0BAC=65".

EIMA、MB分别切回。于点A、B,EMA=MB.

EEIMAB=0MBA.

E0AMB=18O--(0MAB+0MBA)=50°.

(ffl)如图，连接AD、AB,

0MA0AC,又BD0AC,

0BD0MA.

又回BD=MA,四四边形MADB是平行四边形.

又团MA=MB,回四边形MADB是菱形.0AD=BD.

又回AC为直径，AC0BD,

0AB="AD".

0AB=AD=BD.H3ABD是等边三角形.E0D=6O°.

国在菱形MADB中，0AMB=0D=6O°

【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，弦、弧及圆心角之间的关系，菱形的判定与

性质，等腰三角形的判定与性质，切线长定理，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握性

质及定理是解本题的关键.

15.（2023下•天津和平・九年级天津一中校考阶段练习）在。。中，弦CD与直径48相交于点

P,AABC=16°.

⑴如图①,若乙BAD=52°,求乙4PC和NCDB的大小;

（2）如图②，若CD1AB,过点。作。。的切线，与A8的延长线相交于点E,求NE的大小.

【答案】⑴入4Pp=68°；Z.CDB=74°

（2）58°

【分析】（1）由同弧所对圆周角相等求得NC,进而求得N4PC；连接AC,求得ABAC,进而

由同弧所对的圆周角相等求得NCDB.

（2）连接OD,求得NPCB,进而求得其所对圆心角NBOD,再由三角心外角和内角的关系

求得乙£

【详解】(1)解：回附=附

0ZC=匕BAD=52°

团N/PC=4。+Z.ABC=68°

如图，连接AC,她5为。。直径

^ACB=90°

^BAC=180°-乙ACB-^ABC=74°

团阮=舐

^CDB=/.BAG=74°

(2)解：如图，连接。。

团CO1AB

团4CP8=90°

^PCB=90°-Z-PBC=74°

团在。。中，上BOD=2么BCD

^BOD=148°

即用是。。的切线

团。。LDE^^ODE=90°

团4E=乙BOD-90°=58°.

【点睛】本题考查圆与三角形的综合问题，熟练掌握三角形和圆的相关性质定理是解题的关

键.

16.（2023下•天津南开•九年级南开翔宇学校校考阶段练习）在国ABC中，ZC=90°,以边AB

上一点。为圆心，OA为半径的圈与BC相切于点D,分别交AB,AC于点E,F

<I)如图①，连接AD,若NC4D=25°,求IBB的大小；

(0)如图②，若点F为旭的中点，。。的半径为2,求AB的长.

图①图②

【答案】(1)回B=40°；(2)AB=6.

【分析】(1)连接0D,由在0ABe中,垢=90。,2。是切线，易得A60D,即可求得EICM)=0A£)。,

继而求得答案；

(2)首先连接。£。。由AO3。。得团。朋=跖。。，由点尸为弧A。的中点，易得EAOF是等边

三角形，继而求得答案.

【详解】解:⑴如解图①，连接0D,

0BC切回。于点D,

EBODB=90°,

EHC=90°,

0ACSOD,

00CAD=0ADO,

0OA=OD,

E0DAO=0ADO=0CAD=25",

EEIDOB=0CAO=0CAD+[?IDAO=5OO,

00ODB=9O°,

E0B=9O0-0DOB=9O°-50°=40°;

⑵如解图②，连接OFQD,

EEOFAWFOD,

回点F为弧AD的中点，

E0AOF=EFOD,

00OFA=0AOF,

0AF=OA,

0OA=OF,

瓯AOF为等边三角形，

EBFAO=60°,贝胞DOB=60°,

回配=30°,

回在Rt0ODB中,OD=2,

0OB=4,

0AB=AO+OB=2+4=6.

【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，弧弦圆心角的关系，

等边三角形的判定与性质，含30。角的直角三角形的性质.熟练掌握切线的性质是解（1）的

关键，证明EAOP为等边三角形是解（2）的关键.

17.（2023下•天津河北•九年级天津二中校考阶段练习）在回。中，AB为直径，C为。。上一

小；

（2）如图②,D为AC上一点,连接DC并延长，与4B的延长线相交于点P,连接2D,若4D=CD,

NP=30°,求NC4P的大小.

【答案】（1）36°；（2）10°

【分析】（1）连接0C,首先根据切线的性质得到EIC）CP=90。，利用EICAB=27。得到

团C0B=2团CAB=54。，然后利用直角三角形两锐角互余即可求得答案；

(2)分另lj证明乙4。0=乙COD,乙OAD=CADO=乙ODC=Z.DCO=50°,再证明4COP=20°,

最后根据圆周角定理可得结论.

【详解】解：(1)如图，连接。C.

回。。与PC相切于点C,

WC1PC,即NOCP=90。.

^CAB=27°,

团4COB=2Z.CAB=54°.

在RtzkOPC中，Z.P+/.COP=90°,

团4P=90°-Z.COP=36°.

(2)如图，连接0C,。。.

回44。。=乙COD.

回。4=OD=OC,

团4。=/-ADO=/-ODC=Z.DCO.

团乙P=30°,

^PAD+^LADP=150°.

团4OC。=50°.

团NCOP=乙DCO一乙P=20°.

^CAP=-/.COP,

2

团4cap=io°

【点睛】本题考查了切线的性质以及圆周角定理，解题的关键是能够利用圆的切线垂直于经

过切点的半径得到直角三角形.

18.（2023下•天津河东•九年级天津市第五十四中学校考阶段练习）已知在ATIBC中，BC1

AB.2B是O。的弦，AC交。。于点D,且。为4C的中点，延长交。。于点E,连接AE.

（回）如图①，若NE=50°,求NE4C的大小；

（即如图②，过点E作。。的切线，交4C的延长线于点F.若CF=2CD,求NC48的大小.

【答案】（EI）NE4C=65°；（EI）NC4B=30°.

【分析1（1）连接ED,由EIABE=90。可得AE是回。的直径,根据圆周角定理可得EIADE=I3ABE=9O。，

由于AD=DC,根据垂直平分线的性质可得AE=CE,则!3AED=[aCED=25。，则在直角三角形AED

中，可求得EIEAD的度数；（2）首先证明三角形AEC是等边三角形，由于AB0CE,则易求出IBCAB

的度数.

【详解】解：（助连接DE.

BC1AB,延长CB交O。于点E,

•••AABE=90°.

・•・AE为O。的直径.

•••^LADE=90°.

又。为力C的中点，

•••DE垂直平分4c.

•••AE—CE.

•••^AED=MED=-AAEC=iX50°=25°.

22

•••/.EAC=90°-^AED=90°-25°=65°.

A

D

（助•••EF是。。的切线，

又由（助得4E为。。的直径，

•••EF1AE.

・•・Z,AEF=90°.

。为2C的中点，

AC=2CD.

•・•CF=2CD,

AC=CF.

••・CE=-AF=AC.

2

又由（助得=

AE=CE=AC.

・•.△ZCE是等边三角形.

Z.EAC=60°.

又BCLABf

•­•/.CAB=-Z.EAC=30°.

2

【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定与性质、垂直平分线的性质的性质等知识.

19.（2022上•天津和平•九年级天津二十中校考期末）如图，己知等边△ABC中，AB=12.以

为直径的半。。与边4C相交于点D.过点。作DE1BC,垂足为E；过点E作EF1AB,

垂足为尸，连接DF.

（1）求证：DE是。。的切线;

(2)求EF的长.

【答案】⑴见解析:

(2)第

【分析】(1)连接。D,证明。DIIBC,根据平行线的性质得到DE1。£»,根据切线的判定

定理证明结论；

(2)求出CD=6,进而求出CE,即可求出BE,在RtABEF中，根据勾股定理即可求出.

【详解】(1)证明：连接0。，

为等边三角形，

ZTI=Z.C,

v0A=0D,

・•・Z.A=Z,0DA,

:.匕ODA=Z-C,

・•.0D||BC,

vDE1BC,

DE10D,

・•・。。是o。的半径，

••.OE是o。的切线；

(2)由(1)知，0D||BC,

v0A=0B,

・•・AD=CD,

•・・AC=AB=12,

:.CD=6,

在Rt△COE中，ZC=60°,

・•・乙CDE=30°,

•••CE^-CD=3,

2

BE=BC-CE=12-3=

在RtABEF中，乙B=60°,

・•・乙BEF=30°,

1Q

•••BF=-BE=一，

22

EF=y/BE2-BF2=心—0)2=第.

c

E

AOFB

【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定、切线的判定、勾股定理、含30度角的直角

三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键.

20.（2023上•天津和平•九年级天津市第十九中学校考期末）如图，回。的直径AB与弦CD相

交于点E,且DE=CE,00的切线BF与弦AD的延长线交于点F.

（2）若回0的半径为6,回A=35。，求OBt的长.

【答案】（1）见解析；（2）等

【分析】（1）根据垂径定理、切线的性质求出AB团CD,AB团BF,即可证明;

（2）根据圆周角定理求出回COD,根据弧长公式计算即可.

【详解】（1）证明：团AB是回。的直径，DE=CE,

回AB回CD,

团BF是回0的切线,

回AB回BF,

0CD0BF；

(2)解：连接OD、0C,

团团A=35°,

回回BOD=2回A=70°,

团团COD=2团BOD=140°,

1407TX6147r

回/用C的长为:

1803

A

【点睛】本题考查的是切线的性质、垂径定理、弧长的计算，掌握切线的性质定理、垂径定

理和弧长的计算公式是解题的关键.

21.（2023上•天津・九年级天津十四中校考期末）如图，点C在以A2为直径的回。上，4。垂

直于过点C的切线，垂足为D

（1）仅用无刻度的直尺在图1中作出的平分线，并说明理由；

（2）当回BA£）=45°,OC=4时，

①连接BC,求0ABe的度数；②扇形AOC的面积（阴影部分）.

【答案】⑴见解析；（2）①67.5。;②18.8.

【分析】（1）连接AC,AC为回BAZ）的平分线，证明，连接。C,利用条件可证得AOBOC,

再根据平行线的性质和角之间的关系aDAC=^C4。；

（2）①根据圆周角定理可求得回COB的度数，因为0C=02,从而可以求出0ABC的度数；

②由①可知EICOB的度数，从而可求出0Aoe的度数，扇形AOC的面积=圆的面积x黑，

360

从而求出答案.

【详解】（1）连接AC,AC为回吐4。的平分线，证明：连接AC,OC,由题意可知：OC0ZJC,

ADSDC,故OCEIDC,i^3\DAC=SOCA,^OC=OA,故团OCA=EIOAC,^\DAC=SOAC,EAC

平分EIBA。；

（2）①aaBA£）=45°,OCSDC,故HBOC=45°,而OC=OB,故回0C2=EI0BC,可得：EL4BC

1

=-x（180°-45°）=67.5°；

2

②故可知EAOC=180°-45°=135°,扇形AOC的面积=71x42、空=6H=18.8.

360°

【点睛】本题主要考查了角平分线的概念、平行线的基本性质以及圆周角定理.

22.（2023上•天津河北•九年级天津十四中校考期末）已知AB是。。的直径，C是。。上一

点，过C点作o。的切线，交48的延长线于点P.

⑴如图，连接AC,BC,若BP=0B,求NP的大小;

⑵若BP=2,CP=4,求力B的长.

【答案】（l）NP=30°

（2）6

【分析】（1）连接。C,根据等边对等角可得AP=NBCP,NOCB=NOBC,根据三角形的外

角关系得NOBC=NP+NBCP=2N8CP,最后得到3/BCP=90。，从而计算得解；

（2）设OC=OB=x,根据勾股定理列方程、解方程，利用半径与直径的关系得到4B的长.

【详解】（1）解：如图，连接。C,OC=0B,

••・PC是。。的切线，

OC1PC,乙OCP=90°,

BP=OB,

BC—BP—OB,

4P=Z.BCP,Z.OBC=Z.P+乙BCP=2/.BCP,

•••OC=0B,

Z.OCB=Z.OBC=2/.BCP,

•••AOCP=4OCB+乙BCP=90°,

•••342cp=90°,4BCP=30°

•••乙P=30°；

(2)解：解：4OCP=90°,

设。C=OB=x,

•••OC2+CP2=OP2,

x2+42=(x+2)2,

解方程得％=3,

AB=20B=6.

【点睛】本题考查了圆的切线、勾股定理、等边对等角、三角形外角等知识，熟练掌握相关

知识并灵活运用是解题关键.

23.（2022上,天津和平,九年级天津一中校考期末）△力BC内接于。。，点。在边AC上，射

线AO交8。于点E,^AED=^ABC.

⑴如图1,求证：BDLAC；

（2汝口图2,当13cA时，求证：AB^AC.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

【分析】（1）延长AE交。。于点F,连接CF,由圆周角定理可得乙4CF=90。，由题意可证

EDWCF,可得EAOB=N4CF=90。，可得结论；

（2）延长AO交8C于由直角三角形的性质可得NC4E+NC=90。=乙4MB,由垂径定

理可得=CM,由线段垂直平分线的性质可得结论.

【详解】（1）延长AE交O。于点F,连接CF,

0Z.4CF=9OO,

^\AC—AC,

0ZF=0ABC,

0EIA£D=0ABC,

0ZF=E1AED,

SEDHCF,

^\ADB=^ACF=9Q°,

丽。1AC；

(2)延长AO交5。于M,

BD1AC,

・•・(CBD+ZC=90°,

Z-CAE=乙CBD,

・・・Z.CAE+ZC=90°=Z,AMB,

AMIBC,且/M过圆心0,

・•・BM=MC,且AMIBC,

•••AB—AC.

【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，平行线的判定与性质，垂直平分线的判定与性

质，熟练掌握相关的性质定理以及判定定理是解本题的关键.

24.(2022上•天津南开•九年级南开翔宇学校校考期末)在△ABC中，ZC=90°,以边48上

一点。为圆心，。4为半径的圆与BC相切于点。，分别交AB,4C于点E,F.

⑴如图①，连接4D,若NC4D=26。，求NB的大小；

(2)如图②，若点F为AD的中点，。。的半径为1,求力B的长.

【答案］⑴NB=38°

(2)AB=3

【分析】(1)连接。。，由在A4BC中，NC=90。，BC是切线，易得。0I4C,即可求得NC4D=

Z-BAD,继而求得答案；

(2)首先连接。F,0D,由(1)得：O0MC,由点尸为他的中点，易得△ZOF是等边三角

形，继而求得答案.

【详解】(1)解：连接00,如图1,

图1

•・•。4为半径的圆与相切于点。,

••・0D1BC,

・•.Z,ODB=90°,

•・•在中，Z.C=90°,

Z.ODB=Z.C,

・•・OD\\ACf

・•・Z-CAD=AADO=26°,

vOA=OD,

・•.Z.OAD=2LODA=26°,

・•・乙BOD=2^OAD=52°,

•••乙B=90°一乙BOD=38°；

(2)解：连接。尸，OD,如图2,

图2

由(1)得：0DII4C,

/.AFO=Z.FOD,

OA^OF,点F为脑的中点，

Z.A=Z.AFO,Z.AOF=Z.FOD,

：.Z.A=Z.AFO=Z.AOF,

.•・△4。尸是等边三角形,

团乙4=60°,

0ZC=90°,

・•・乙B=90°-Z.A=30°,

团。。与相切于点O,

^ODB=90°,

OA=OD=1,

OB=2OD=2,

・•・ZB=。2+。8=1+2=3.

【点睛】此题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质以及平行线的性质，直角三角形

的性质.注意准确作出辅助线是解此题的关键.

25.(2022上•天津河西•九年级天津市第四十二中学校考期末)如图，48是。。的直径，射

线BC交。。于点D£是劣弧4。上一点，且8E平分"84过点E作EF18C于点延长

FE,交B力延长线于点G.

⑴求证：GF是。。的切线；

(2)若=10,EF=4,求DB的长.

【答案】⑴证明见解析；

(2)6.

【分析】(1)连接。氏根据角平分线的定义，得到Nl=Z2,再利用半径相等，得到42=43,

进而得到Nl=N3,推出。矶BC,又因为EF_LBC,得到。E1GF,即可证明结论；

(2)过点。作。M_L80,证明四边形OEFM是矩形，得到。M=EF=4,再利用勾股定理

得到BM=3,最后利用垂径定理即可求出DB的长.

【详解】(1)证明：如图，连接。凡

•••BE平分NFB4

•••z.1=Z.2,

vOB=OE,

•'«Z.2=43,

•••z.1=Z.3,

・•・OE\\BCf

•・•EF1BC,

OE±GF,

•・•点E在。。上，

・•.GF是。。的切线;

(2)解：过点。作。于点M,

・・・ZOMF=90°,

•・•OE1GF,

••・Z.OEF=90°,

•・•EF1BC,

・•・乙EFM=90°,

・•・四边形OEFM是矩形，

・•.OM=EF=4,

•・・48=10,

OB=5,

•••BM=y/OB2-OM2=V52-42=3,

•••OMLBD,

：.BD=2BM=6.

【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，圆的切线性质和判定，垂径定理，矩形的判定和