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文档简介
浙教版八年级上第7招三角形中的等面积法01典例剖析02分类训练目
录CONTENTS教你一招
在求三角形的高线长或点到直线的距离时，常常会运用
三角形的面积不变性，同一个三角形面积可以用不同方法求
解，得到等量关系进行解决.
如图，
E
是边长为1的正方形
ABCD
的对角线上一
点，且
BE
＝
BC
，
P
为
CE
上任意一点，
PQ
⊥
BC
于点
Q
，
PR
⊥
BE
于点
R
，求
PQ
＋
PR
的值.
利用等面积法求两条垂线段的长度之和，同
一个三角形面积一定，等底时高也相等.解：连结
BP
，过点
C
作
CM
⊥
BD
于点
M
.
易知
S△
BEC
＝
S△
BEP
＋
S△
BCP
，
∵
BC
＝
BE
，∴
PQ
＋
PR
＝
CM
.
利用等面积法求解三角形的高线1.
如图，在Rt△
ABC
中，∠
BAC
＝90°，
AB
＝4，
AC
＝
3，
AD
⊥
BC
，求
AD
的长.1234【解】在Rt△
ABC
中，∠
BAC
＝90°，
AB
＝4，
AC
＝3，∴
BC2＝
AB2＋
AC2＝25.∵
BC
＞0，∴
BC
＝5.又∵
AD
⊥
BC
，∴3×4÷2＝5×
AD
÷2，∴
AD
＝2.4.12342.
如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△
ABC
的顶
点在格点上.请求出
AC
边上的高线的长度
h
.1234
12343.
如图，有一块直角三角形纸片，两直角边
AC
＝6
cm，
BC
＝8
cm，现将直角边
AC
沿直线
AD
折叠，使它落在斜
边
AB
上，且与
AE
重合，求
CD
的长.【解】在Rt△
ABC
中，
AC
＝6
cm，
BC
＝8
cm，∴
BA
＝10
cm.∵
AC
沿
AD
折叠得到
AE
，∴
DE
＝
CD
.
用等面积法得6×8÷2＝10×
DE
÷2＋6×
CD
÷2，∴
CD
＝3
cm.1234
利用等面积法证等腰三角形中线段的关系4.
[新视角过程探究题]【问题情境】张老师提出这样一个问题：如图①，在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，点
P
为边
BC
上的任一点，过点
P
作
PD
⊥
AB
，
PE
⊥
AC
，垂足分别为
D
，
E
，过点
C
作
CF
⊥
AB
，垂足为
F
.
求证：
PD
＋
PE
＝
CF
.
1234小军的证明思路是：如图②，连结
AP
.
由△
ABP
与△
ACP
的面积之和等于△
ABC
的面积可以证得：
PD
＋
PE
＝
CF
.
请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：1234【变式探究】如图③，当点
P
在
BC
延长线上时，其余条件不变，求证：
PD
－
PE
＝
CF
；1234【证明】连结
AP
，如图①.∵
PD
⊥
AB
，
PE
⊥
AC
，
CF
⊥
AB
，且
S△
ABC
＝
S△
ABP
－
S△
ACP
，
∵
AB
＝
AC
，∴
PD
－
PE
＝
CF
.
1234【结论运用】如图④，将长方形
ABCD
沿
EF
折叠，使点
D
落在点
B
上，
点
C
落在点C'处，点
P
为折痕
EF
上的任一点，过点
P
作
PG
⊥
BE
，
PH
⊥
BC
，垂足分别为
G
，
H
，若
AD
＝8，
CF
＝
3，求
PG
＋
PH
的值.1234【解】如图②，过点
E
作
EQ
⊥
BC
，垂足为
Q
.
∵四边形
ABCD
是长方形，∴
AD
＝
BC
，∠
C
＝90°，
AD
∥
BC
.
∵
AD
＝8，
CF
＝3，∴
BF
＝
BC
－
CF
＝
AD
－
CF
＝5.由折叠可得
DF
＝
BF
，∠
BEF
＝∠
DEF
.
∴
DF
＝5.1234
∵
AD
∥
BC
，
EQ
⊥
BC
，∴∠
DEF
＝∠
EFB
，
EQ
＝
DC
＝4.∴∠
BEF
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