2025届太原师院附中高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题含解析

2025届太原师院附中高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的解集是（）A. B.C. D.2．已知数列的通项公式为，则（）A.12 B.14C.16 D.183．已知点是椭圆上一点，点，则的最小值为A. B.C. D.4．双曲线的渐近线的斜率是（）A.1 B.C. D.5．已知为虚数单位，复数满足为纯虚数，则的虚部为（）A. B.C. D.6．已知数列为等比数列，，则的值为（）A. B.C. D.27．某制药厂为了检验某种疫苗预防的作用，把名使用疫苗的人与另外名未使用疫苗的人一年中的记录作比较，提出假设：“这种疫苗不能起到预防的作用”，利用列联表计算得，经查对临界值表知.则下列结论中，正确的结论是（）A.若某人未使用该疫苗，则他在一年中有的可能性生病B.这种疫苗预防的有效率为C.在犯错误的概率不超过的前提下认为“这种疫苗能起到预防的作用”D.有的把握认为这种疫苗不能起到预防生病的作用8．已知数列中，，则（）A.2 B.C. D.9．在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，过双曲线上一点作轴的垂线足为，若，则该双曲线的离心率为（）A. B.C. D.10．对任意实数k，直线与圆的位置关系是（）A.相交 B.相切C.相离 D.与k有关11．以轴为对称轴，抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程是（）A. B.C.或 D.或12．双曲线的左焦点到其渐近线的距离是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点是抛物线上的两点，，点是抛物线的焦点，若，则的值为__________14．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝________15．从1，2，3，4，5中任取两个不同的数，其中一个作为对数的底数a，另一个作为对数的真数b.则的概率为______.16．已知O为坐标原点，，是抛物线上的两点，且满足，则______；若OM垂直AB于点M，且为定值，则点Q的坐标为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）随着生活条件的改善，人们健身意识的增强，健身器械比较畅销，某商家为了解某种健身器械如何定价可以获得最大利润，现对这种健身器械进行试销售.统计后得到其单价x（单位：百元）与销量y（单位：个）的相关数据如下表：单价x（百元/个）3035404550日销售量y（个）1401301109080（1）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（2）若每个健身器械的成本为25百元，试销售结束后，请利用（1）中所求的线性回归方程确定单价为多少百元时，销售利润最大？（结果保留到整数），附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.参考数据：.18．（12分）已知命题：对任意实数都有恒成立；命题：关于的方程有实数根（1）若命题为假命题，求实数的取值范围；（2）如果“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围19．（12分）如图，在直角梯形中，．直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使得平面平面．M为线段的中点，P为线段上的动点（1）求证：；（2）当点P满足时，求证：直线平面；（3）是否存在点P，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定P点的位置；若不存在，请说明理由20．（12分）如图，在空间直角坐标系中有长方体，且，，点E在棱AB上移动.（1）证明：；（2）当E为AB的中点时，求直线AC与平面所成角的正弦值.21．（12分）设等差数列的前项和为，已知.（1）求数列的通项公式;（2）当为何值时，最大，并求的最大值.22．（10分）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.求：（1）顶点的坐标；（2）直线的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】先由图像分析出的正负，直接解不等式即可得到答案.【详解】由函数的图象可知,在区间上单调递减,在区间(0,2)上单调递增，即当时,;当x∈(0,2)时,.因为可化为或，解得：0<x<2或x<0,所以不等式的解集为.故选:C2、D【解析】利用给定的通项公式直接计算即得.【详解】因数列的通项公式为，则有，所以.故选：D3、D【解析】设，则，.所以当时，的最小值为.故选D.4、B【解析】由双曲线的渐近线方程为：，化简即可得到答案.【详解】双曲线的渐近线方程为：，即，渐近线的斜率是.故选：B5、D【解析】先设，代入化简，由纯虚数定义求出，即可求解.【详解】设，所以，因为为纯虚数，所以，解得，所以的虚部为：.故选：D.6、B【解析】根据等比数列的性质计算.【详解】由等比数列的性质可知，且等比数列奇数项的符号相同，所以，即.故选：B7、C【解析】根据的值与临界值的大小关系进行判断.【详解】∵，，∴在犯错误的概率不超过的前提下认为“这种疫苗能起到预防的作用”，C对，由已知数据不能确定若某人未使用该疫苗，则他在一年中有的可能性生病，A错，由已知数据不能判断这种疫苗预防的有效率为，B错，由已知数据没有的把握认为这种疫苗不能起到预防生病的作用,D错，故选：C.8、A【解析】根据数列的周期性即可求解.【详解】由得,显然该数列中的数从开始循环,数列的周期是，所以.故选：A.9、A【解析】根据条件可知四边形为正方形，从而根据边长相等，列式求双曲线的离心率.【详解】不妨设在第一象限，则，根据题意，四边形为正方形，于是，即，化简得，解得（负值舍去）.故选：A.10、A【解析】判断直线恒过定点，可知定点在圆内，即可判断直线与圆的位置关系.【详解】由可知，即该圆的圆心坐标为，半径为,由可知，则该直线恒过定点，将点代入圆的方程可得，则点在圆内，则直线与圆的位置关系为相交.故选：.11、C【解析】由分焦点在轴的正半轴上和焦点在轴的负半轴上，两种情况讨论设出方程，根据，即可求解.【详解】由题意，抛物线的顶点在原点，以轴为对称轴，且通经长为8，当抛物线的焦点在轴的正半轴上时，设抛物线的方程为，可得，解得，所以抛物线方程为；当抛物线的焦点在轴的负半轴上时，设抛物线的方程为，可得，解得，所以抛物线方程为，所以所求抛物线的方程为.故选：C.12、A【解析】求出双曲线焦点坐标与渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得结果.【详解】在双曲线中，，，，所以，该双曲线的左焦点坐标为，渐近线方程为，即，因，该双曲线的左焦点到渐近线的距离为.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、10【解析】由抛物线的定义根据题意可知求得p,代入抛物线方程,分别求得y1,y2的值,即可求得y12+y2的值【详解】由抛物线的定义可得，依据题设可得，则（舍去负值），故，故填.【点睛】本题考查抛物线的定义和性质，利用已知相等关系求解抛物线方程，然后求解已知点的纵坐标，解题中需要熟练抛物的定义和性质，灵活应用.14、【解析】f（x）=xlnx∴f'（x）=lnx+1则f′（x0）=lnx0+1=2解得：x0=e15、##【解析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式以及对数的知识求得正确答案.【详解】的所有可能取值为，，共种，满足的为，，共种，所以的概率为.故答案为：16、①.-24②.【解析】由抛物线的方程及数量积的运算可求出，设直线AB的方程为，联立抛物线方程，由根与系数的关系可求出，由圆的定义求出圆心即可.【详解】由，即解得或（舍去）.设直线AB的方程为.由，消去x并整理得,.又，，直线AB恒过定点N(6,0),OM垂直AB于点M，点M在以ON为直径圆上.|MQ|为定值，点Q为该圆的圆心，又即Q(3,0).故答案为：；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）确定单价为50百元时，销售利润最大.【解析】（1）根据参考公式和数据求出，进而求出线性回归方程；（2）设出定价，结合（1）求出利润，进而通过二次函数的性质求得答案.【小问1详解】由题意，，则，，结合参考数据可得，，所以线性回归方程为.【小问2详解】设定价为x百元，利润为，则，由题意，则（百元）时，最大.故确定单价为50百元时，销售利润最大.18、（1）；（2）【解析】（1）先分别求出命题为真命题和命题为真命题时参数的范围，则可得当命题为假命题，实数的取值范围（2）由“”为真命题，且“”为假命题，则命题，一真一假，再分真，且假，和真，且假两种情况分别求出参数的范围，再综合得到答案.【详解】命题为真命题：对任意实数都有恒成立或；命题为真命题：关于的方程有实数根；（1）命题为假命题，则实数取值范围（2）由“”为真命题，且“”为假命题，则命题，一真一假.如果真，且假，有，且，则如果真，且假，有或，且，则综上，实数的取值范围为19、（1）见解析（2）见解析（3）存在点P，【解析】（1）建立空间坐标系求两直线的方向向量，根据数量积为0可证的结论；（2）求得直线的方向向量和面的法向量，证得两向量垂直即可；（3）求直线的方向向量和面的法向量的夹角即可.【小问1详解】由已知可得，，，两两垂直，以A为原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，因为，所以，，，，，，，，，∴，，∴，，即，，∴平面又∵平面，∴【小问2详解】设点坐标为，则，∵，∴，，，解得：，，，即设平面的一个法向量，∵，，∴，即，令，则，，得又，∴∴直线平面【小问3详解】设，则,设的一个法向量为∵，，∴，解，令，则，，得设与平面所成角为，则．解得：或(舍).故存在点P，，即点P为距的第一个5等分点20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）设，求出，，利用向量法能求出；（2）求出平面的法向量，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值【小问1详解】证明：设，，，，；【小问2详解】当为的中点时，，，设平面的法向量，则，取，得，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为：21、（1）（2）n为6或7；126【解析】（1）设等差数列的公差为d，利用等差数列的通项公式求解；（2）由，利用二次函数的性质求解.【小问1详解】解：设等差数列的公差为d，因为.所以，解得，所以；【小问2详解】，当或7