2024-2025学年江西省宜春市丰城九中九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省宜春市丰城九中九年级（上）开学数学试卷

一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中

心对称图形，也是轴对称图形的是（）

d

二4二V四叶玫瑰线

A.—三叶玫瑰线B.4

C.—（\~心形线D.-'------

2.小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动,随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的

某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为（）

A.jB.|C.1

3.如图，△ABC绕点/按顺时针方向旋转57。后与△AB'C'重合，连接贝=（）

A.45°

B.47°

C.51°

D.57°

B

4.如图，为。。的直径，点C,。在。。上.若MCD=100°,则乙4。£）的度数是（）

A.25°

e

B.22.5°

C.20°

D.15°

5.关于％的方程。久2_2%-1=0有实数根，贝!JQ的取值范围是（）

A.a>-1B.a>-1C.a>一1且aW0D.a>一1且aH0

6.如图，抛物线y=ax2+bx+c（aW0）的对称轴为直线1=1,与无轴的一个交点坐标为（-1,0）,其部分

图象如图所示，下列结论：@b2-4ac<0；②方程-=。的两个根是=-1,%2=3；

第1页，共14页

③3a+c=0；④当y>0时，x的取值范围是一1<x<3；⑤当x>0时，y随x增大而减小.其中结论正

确的个数是（）

A.4个

B.3个

C.2个

D.1个

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

7.已知关于久的一元二次方程/一3久一a=0有一个根为一1,则a的值为

8.将抛物线y=2（刀-1）2+3向右平移1个单位，向上平移2个单位所得到的

新抛物线解析式为.

9.某小区规划在一个长为40米，宽为26米的矩形场地力BCD上修建三条同

样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与48垂直，其余部分种草，

若使每一块草坪的面积都为144米2,则甬路的宽度为米.

10.如图，四边形4BCD内接于。0,4B是直径，过C点的切线与2B的延长线交

于P点，若NP=40。，贝比。的度数为

11.如图，已知矩形4BCD中，AB=4,AD=3,P是以CD为直径的半圆上的一个动

点，连接BP,贝UBP的最大值是.

12.已知，正六边形ABCDEF的边长为2,点P在它的边上，当△为等腰三角形时，4P的长为—

三、计算题：本大题共1小题，共8分。

13.已知关于万的一元二次方程/一（2卜+l）x+4fc-3=0.

（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）当Rt△ABC的斜边长a=/乳，且两条直角边6和c恰好是这个方程的两个根时，求△4BC的周长.

四、解答题：本题共10小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

14.（本小题6分）

己知：如图，。力、OB为。。的半径，C、D分别为。4、OB的中点.求证：AD=BC.

（O

cD

B

第2页，共14页A

15.(本小题6分)

先化简，再求值：(尸-£含)+年洛7,其中a是一元二次方程久2-%-1=0的根.

vaa+lzaz+2a+1

16.(本小题6分)

如图，在5X4网格中(每个小正方形的边长都是1),线段4B的两个端点都在格点上，4(1,4),B(3,l),将

线段48绕点8顺时针旋转90。，得到线段8C.

(1)旋转过程中点4运动的路径长为;

(2)在网格中用无刻度直尺作图：(不写作法，保留作图痕迹)

①画出线段BC,则点C的坐标为；

②作出A4BC的外心0.

8"

17.(本小题6分)

一个不透明的口袋中装有3个红球和9个白球，它们除颜色外完全相同.

(1)判断事件”从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是什么事件，并写出其发生的概率；

(2)现从口袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，充分摇匀后，若从口袋中随机摸出一个球是白

球的概率是小则取走了多少个白球？

18.(本小题6分)

如图，在Rt△力BC中，ABAC=90。，以点4为圆心，4c长为半径作圆，交BC于点D,交4B于点E,连接

DE.

(1)若4aBe=20°,求NDE4的度数；

(2)若4c=3,AB=4,求CD的长.

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19.(本小题8分)

由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每

包16.9元.

(1)求出这两次价格上调的平均增长率；

(2)在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可

以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包.当销售额为315元时，为让顾客获得更大的优惠，应该降价多

少元？

20.(本小题8分)

如图，点E是正方形ABCD的边8C延长线上一点，且连接4E交CD于点。，以点。为圆心，。。为

半径作。。，。。交线段2。于点尸.

(1)求证：AC是。。的切线；

(2)若4B=2避+2,求阴影部分的面积.

21.(本小题9分)

九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：

2

定义：如果二次函数y=a"+b1X+ciQ丰0皿力i，q是常数)与y=a2x+b2x+c2(a2丰。用也应是

2

常数)满足的+a2=0,b1-b2,c1+c2=0,则这两个函数互为"旋转函数”.求函数y=2x-3x+1的

“旋转函数”.

小组同学是这样思考的，由函数y=2%2—3x+1可知，的=2,6i=—3,c1=1,根据的+(12=。，历=

b2,Ci+c2=0,求出a2,b2,C2就能确定这个函数的"旋转函数".

请参照小组同学的方法解决下面问题：

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(1)函数y=x2-4x+3的“旋转函数”是；

(2)若函数y=5x2+(m-l)x+n与y=-5x2-nx-35^“旋转函数"，求(m+71)2022的值；

(3)已知函数y=2(x-l)(x+3)的图象与x轴交于4,B两点，与y轴交于点C,点4B,C关于原点的对称

点分别是乙,Bi，Ci，试求证：经过点Bi，3的二次函数与y=2Q—l)(x+3)互为“旋转函数”.

22.(本小题9分)

九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动.

操作探究：

(1)如图1,△。48为等腰三角形，OA=0B,乙4。8=60。，将△Q4B绕点。旋转180。，得到△ODE,连

接4E,F是4E的中点，连接OF,则NB4E=°,OF与DE的数量关系是；

迁移探究：

(2)如图2,(1)中的其他条件不变，当△。力B绕点。逆时针旋转，点。正好落在N40B的角平分线上，得到

AODE,求出此时NB4E的度数及OF与DE的数量关系；

拓展应用：

⑶如图3,在等腰三角形04B中，04=0B=4,N20B=90。.将△OAB绕点。旋转，得到△连接

AE,F是4E的中点，连接。F.当NE4B=15。时，请直接写出。F的长.

23.(本小题12分)

已知抛物线y="—2ax+3a顶点在第三象限，顶点纵坐标为-4.

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(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标；

(2)若图象与％轴的交点为4、B,与y轴的交点G,求△4BG的面积；

(3)在对称轴上找一点Q,使BQ+GQ的值最小，求满足条件的点Q坐标；

(4)在抛物线上是否存在一点P,使得△AGP是以4G为直角边的直角三角形？存在，求出点P坐标；不存

在，说出理由.

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参考答案

1.5

2.C

3.0

4.C

5.4

6.B

7.4

8.y=2Q—2尸+5

9.2

10.115°

11.V13+2

12.2或2避或g

13.解：(1)关于％的一元二次方程/一(2k+l)x+4k-3=0,

△=(2k+1)2—4(4k—3)=4k2-12k+13=4(/c-1)2+4>0恒成立,

故无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；

(2)根据勾股定理得：b2+c2=a2=31①

因为两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根，

则b+c=2fc+1②，be=4k—3③，

因为(b+c)2—2bc=fa2+c2=31,

即(2k+l)2-2(4fc-3)=31,

整理得：4fc2+4fc+l-8fc+6-31=0,即盾一左一6=0,

解得：fci=3,七=—2,

vh+c=2fc+1>0即k>--.be=4k-3>0即/c>

Z4

.・・©=-2(舍去)，

则b+c=2k+1=7,

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又因为a=后,

则△ABC的周长=a+6+c=国+7.

14.证明：0A,。8为O。的半径，C,。分别为。40B的中点,

0A=OB,0C=0D.

在△Z。。与△BOC中，

(0A=0B

Z-0=N。，

OD=0C

/.A4。0名△BOC(SZS).

AD=BC.

15懈：七1一警).肃$

a2—1—q2+2a(a+1)2

a(a+1)a(2a—1)

a+1

a2

・•,a是一元二次方程%2-％-1=0的根,

•••a2=a+1,

则原式=-=1・

16.⑴寻；

(2)①如图所示，线段BC即为所求:

•••4(1,4),B(3,l),

C(6,3)；

②如图点。即为所求：

A8C是直角三角形，即乙4BB=90°,

ABC的外心。即为力C的中点，

・•.如图中所示，点。即为所求

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17.解：（1）因为口袋中装有3个红球和9个白球，

所以“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是不可能事件,

所以它发生的概率是0.

（2）设取走了x个白球.

由题意,得'+；=4,

解得久=5.

故取走了5个白球.

18.解：（1）如图,连接4D.

"乙BAC=90°,乙ABC=20°,

Z.ACD=70°.

•••AC=AD,

•••^ACD=^ADC=70°,

•••/-CAD=180°-70°-70°=40°,

••­/-DAE=90°-40°=50°.

又•••AD=AE,

•••4DEA=^ADE=1(180°-50°)=65°.

(2)如图，过点力作力尸1CD,垂足为F.

•­,ABAC=90。，AC=3,AB=4,

BC=5.

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又•弓SQBC=­AC-AB,

...CF=F一(3)2=看.

•••AC=AD,AF1CD,

•••CD=2CF=差.

19.解：(1)设这两次价格上调的平均增长率为x,

依题意得：10(1+x)2=16.9,

解得：%1=0.3=30%,电=一2.3(不符合题意，舍去).

答：这两次价格上调的平均增长率为30%；

(2)设每包应该降价加元，则每包的售价为(10-机)元,每天可售出(30+5叫包,

依题意得：(10-m)(30+5m)=315,

整理得：m2—4m+3=0,

解得：m1=l,m2=3.

又V要让顾客获得更大的优惠，

•••小的值为3.

答：每包应该降价3元.

20.(1)证明：过。作。"14C于"，

•••四边形48CD是正方形，

^ADO=AAHO=90°,AD//BE,

•••Z-DAO=Z.CEO,

•・•AC=CE,

•••Z.E=Z.CAO,

Z.DAO=Z-CAO,

・•.OD=OH,

•••力c是。。的切线；

(2)解：•••四边形2BCD是正方形，

•••^ACD=4DAH=45°,

••■ACOH是等腰直角三角形，

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OC=y/20D="OH,

•••AB=272+2,

OD+yj20D=272+2,

OD—2,

•••/.DAO=■Z.HAO=/DAH=22.5°,

AAAOD=90°-22.5°=67.5°,

阴影部分的面积=△AD。的面积一扇形DOF的面积x(2避+2)x2—哈黑空

ZDOU

21.y=—%2—4x—3

【解析】(1)解：由函数y=必一4%+3知，ai=1,bi=-4,q=3,

=b、=b2,Ci+c：2=0，

。2=-1，人2=-4,。2=-3,

•••y=—%2—4x—3,

故答案为：y——%2—4x—3；

(2)解：根据题意得：｛发上不，解得｛片=「，

(m+71)2022_(3—2)2022_1；

(3)证明：化简y=2(x-l)(x+3)得、=2x2+4x-6,

则4、B、C三点的坐标分别为4(1,0),B(-3,0),C(0,-6),

.•・4、B、C三点关于原点对称的点坐标分别为4(—1,0),当(3,0),5(0,6),

;经过Ai、Bi、Ci三点的函数解析式为y=-2x2+4x+6,

...y=-2x2+4x+6与原函数y=2(x-l)(x+3)是旋转函数.

22.解:(1)90；DE=20F.

(2)由旋转的性质，可知△048丝△ODE,

•••△(MB为等边三角形，。。平分N40B,△ODE为等边三角形，

・•・LDOE=60°,2LA0D=^AOB=30°,

••・乙AOE=^AOD+乙DOE=90°,

OA=OE,

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・•・/.OAE=45°,

・••△AOE是等腰直角三角形,/-BAE=^OAB-^OAE=15°,

・・・F是4E的中点,

・•・OF1AE,

••.AOEF是等腰直角三角形，

DE=OE=@OF.

(3)24或2.

23.解：(1)y=x2-2ax+3a=(%—a)2—a2+3a,

又抛物线顶点纵坐标为-4,

•,«一层+3。——4,

解得：a=-1或a=4(此时顶点不在第三象限，舍去)，

•,・抛物线的函数表达式：y=x2+2%-3,

2

...y=x2+2%—3=(%+l)—4,

・,・顶点坐标为(—1,—4)；

(2)令y=x2-2ax+3a=0；

解得：x=1或久=—3,

・••点/(-3,0),8(1,0),

・•・AB=|1-(-3)|=4,

将久=0代入y=x2+2%—3得：y=-3,

・••点G(