高考数学一轮复习：极值与最值（讲义）（原卷版+解析）

第03讲极值与最值

目录

考点要求考题统计考情分析

(1)借助函数图象，了解函数高考对最值、极值的考查相对稳定，属

在某点取得极值的必要和充分于重点考查的内容.高考在本节内容上

2022年乙卷第16题，5分

条件.无论试题怎样变化，我们只要把握好导

2022年/卷第10题，5分

(2)会用导数求函数的极大数作为研究函数的有力工具这一点，将

2022年甲卷第6题，5分

值、极小值.函数的单调性、极值、最值等本质问题

2021年/卷第15题，5分

(3)会求闭区间上函数的最大利用图像直观明了地展示出来，其余的

2021年乙卷第10题，5分

值、最小值.就是具体问题的转化了.最终的落脚点

一定是函数的单调性与最值，因为它们

是导数永恒的主题.

函数的极小值

极值与最值

函数的最大值

函数的最值函数的最小值

―夯基•必备基础知识梳理

知识点一：极值与最值

1、函数的极值

函数/(X)在点X。附近有定义，如果对X。附近的所有点都有/(%)</(%),则称/(X。)是函数的一个极大

值，记作y极大值=/(%).如果对X。附近的所有点都有了(X)>/(%),则称/(无0)是函数的一个极小值，记作

y极小值=/(%).极大值与极小值统称为极值，称/为极值点.

求可导函数于(X)极值的一般步骤

(1)先确定函数/(X)的定义域；

(2)求导数广(x)；

(3)求方程­=0的根;

(4)检验/(x)在方程/'(x)=0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，

那么函数y=/(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数y=/(x)

在这个根处取得极小值.

注：①可导函数/(尤)在点不处取得极值的充要条件是：不是导函数的变号零点，即尸(%)=0,且在毛

左侧与右侧，广(尤)的符号导号.

②((%)=0是尤。为极值点的既不充分也不必要条件，如/(尤)=炉，尸(0)=0,但%=0不是极值点.另

外，极值点也可以是不可导的，如函数/。)=国，在极小值点无。=0是不可导的，于是有如下结论：X。为

可导函数f(x)的极值点=>尸(%)=0；但尸(Xo)=O/xo为/(x)的极值点.

2、函数的最值

函数y=/（©最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数/（元）最小值为极小值与靠近极

大值的端点之间的最小者.

2

导函数为/（x）=ax+bx+c=。（》-%）（尤-々）（in<xl<x2<n）

（1）当a>0时，最大值是/（菁）与/⑺中的最大者；最小值是/（%）与『（㈤中的最小者.

（2）当a<0时，最大值是/食2）与/（〃2）中的最大者；最小值是/（周）与/（〃）中的最小者.

一般地，设y=/（x）是定义在[加，川上的函数，>=/（尤）在（加，〃）内有导数，求函数y=/（尤）在[，w,n]

上的最大值与最小值可分为两步进行：

（1）求y=/（x）在。w,77）内的极值（极大值或极小值）；

（2）将y=/（无）的各极值与/（汕和/（〃）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最

值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；

②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；

③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.

【解题方法总结】

（1）若函数在区间。上存在最小值〃尤）1mli和最大值/（x）max，则

不等式/（X）>。在区间£）上恒成立=/（了入山>a；

不等式在区间。上恒成立o/（X）1ntoNa；

不等式/（x）<b在区间。上恒成立=/（^）_<b；

不等式W6在区间D上恒成立o/（x）max4b；

（2）若函数在区间。上不存在最大（小）值，且值域为（加，n）,则

不等式“X）>a（或/'（x）2a）在区间D上恒成立o/n2a.

不等式/（x）〈”或在区间D上恒成立07〃.

（3）若函数“X）在区间。上存在最小值〃x）1nhi和最大值/（x）max，即/（x）e[m,n],则对不等式有解

问题有以下结论：

不等式在区间。上有解0a<“X）1mx；

不等式aW/（尤）在区间。上有解oa4f（^）max;

不等式在区间。上有解；

不等式a2/（尤）在区间D上有解=。2/⑴向口；

（4）若函数”X）在区间O上不存在最大（小）值，如值域为（加，叫,则对不等式有解问题有以下结

论:

不等式”〃司(或@4/(X))在区间。上有解oa<w

不等式“〃x)(或b2/(x))在区间£)上有解ob>/"

(5)对于任意的外句凡6],总存在电e[m,n],使得〃大)Vg(%)o"xj1mx4g(xj1mx；

(6)对于任意的演e[a,可，总存在n],使得〃xj2g(%)o"x%/；

(7)若存在占e[a,b],对于任意的马仁回，,使得"再)4g(%)O/(%)1nhi4g(%)1nhi;

(8)若存在,e[a,b],对于任意的々e[m,〃],使得〃％)wg(x2)of(%)一千g(%)1mx；

(9)对于任意的%e[a,b],x2e[m,可使得/(xjVg(x?)o"xj1mxVgRhn；

(10)对于任意的再b],.e[m,〃]使得/(%)幺(％)0〃%)="(zL;

(11)若存在占e[a,6],总存在々e[m,司，使得/㈤V83)o/㈤1nhiVg(%)1mx

(12)若存在占e[a,可，总存在％e[m,n],使得〃%)/gfx?)o/(无之8优工•

.提升•必考题型归纳

题型一：求函数的极值与极值点

【例1】(2023•全国•高三专题练习)若函数〃x)存在一个极大值/(石)与一个极小值/(%)满足

"%)>/&),则/■(工)至少有()个单调区间.

A.3B.4C.5D.6

【对点训练1】(2023•全国•高三专题练习)已知定义在R上的函数/(尤)，其导函数尸(x)的大致图象如

A./(&)>/(«)>/(£■)

B.函数/■(“在x=c处取得最大值，在x=e处取得最小值

C.函数/■(*)在X=c处取得极大值，在x=e处取得极小值

D.函数外力的最小值为/(d)

【对点训练2】(2023•全国•模拟预测)已知函数〃x)的导函数为广⑺，则“'=/'(》)在(0,2)上有两个

零点”是“〃X)在(。,2)上有两个极值点”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【对点训练3](2023•广西南宁•南宁三中校考一模)设函数〃x)=(x—a)(x-b)(x-c),a,b,ceR,f'(x)

为/(x)的导函数.

⑴当a5=c=0时，过点*1,0)作曲线y=的切线，求切点坐标；

(2)若标b,b=c,且和尸(x)的零点均在集合12,-2,才中，求〃尤)的极小值.

【对点训练4】(2023•河北•统考模拟预测)已知函数/(x)=4-nln(x+b).

(1)证明：当。>0力=0时，/■(*)有唯一的极值点为%,并求/(%)取最大值时吃的值;

(2)当6>0时，讨论“X)极值点的个数.

【对点训练5】(2023•江苏无锡•校联考三模)已知函数4)=^皿+111(1),工十宗4求〃工)的极值；

【解题方法总结】

1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程((x)=0根左右的符号，更要注意变号后极大值与极

小值是否与已知有矛盾.

2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零.这个零点必须穿越x轴，否

则不是极值点.判断口诀：从左往右找穿越(导函数与x轴的交点)；上坡低头找极小，下坡抬头找极大.

题型二：根据极值、极值点求参数

【例2】(2023•贵州•校联考模拟预测)已知函数〃了)=加+及在x=l处取得极大值4,贝京-6=()

A.8B.-8C.2D.-2

【对点训练6】（2023•陕西商洛•统考三模）若函数/'（x）=/+G2+（a+6）x无极值，则。的取值范围为（）

A.[-3,6]B.(-3,6)

C.(-OO,-3]U[6,-FW)D.(―℃,—3)।(6,+oo)

【对点训练7】（2023•湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习）函数8（0=*在区间上）[eN*）上

存在极值，贝"的最大值为（）

A.2B.3C.4D.5

【对点训练8】（2023•全国•高三专题练习）已知函数〃元）=gx2-（l+a）x+alnx在x=a处取得极小值,

则实数。的取值范围为（）

A.[1,+«）B.（1,-H®）C.（0,1]D.（0,1）

【对点训练9】（2023•广东梅州梅州市梅江区梅州中学校考模拟预测）已知函数〃无）=e-^-ax（aeR）

有两个极值点，则实数。的取值范围（）

A.~,1）B.（0,1）

C.[0,1]D.。收）

【对点训练10]（2023•江苏扬州•高三扬州市新华中学校考开学考试）若x=a是函数/（x）=（x-a）2（x_l）的

极大值点，则。的取值范围是（）

A.a<\B.a<lC.a>lD.a>\

【解题方法总结】

根据函数的极值（点）求参数的两个要领

（1）列式：根据极值点处导数为。和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；

（2）验证：求解后验证根的合理性.

题型三：求函数的最值（不含参）

【例3】（2023•山东淄博•山东省淄博实验中学校考三模）已知函数/'（x）=e'sinx-2x.

⑴求曲线y=在点（0"（0））处的切线方程；

⑵求在区间[-U]上的最大值；

【对点训练11】(2023•云南昆明•高三昆明一中校考阶段练习)已知函数/(x)=ln尤-一二在区间[l,e]上

x

最大值为M，最小值为相，则"-相的值是.

【对点训练12】(2023辽宁葫芦岛统考二模)已知函数/(x)=2sinx(l+cosx)/l]/a)的最大值是.

【对点训练13](2023•湖北武汉•统考模拟预测)已知函数”《J"sin”，xjo,』，则函数〃x)

2cosx+sin%L，」

的最小值为.

【对点训练14](2023•山西•高三校联考阶段练习)已知尤>0,y>0,且In(孙尸=e*,贝|Yy-lnx-x的最

小值为.

n

【对点训练15](2023•海南海口•统考模拟预测)己知正实数机，”满足："1!1〃=招-〃111加，则一的最小

m

值为.

【解题方法总结】

求函数在闭区间[a,切上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值/(a),f(b)与

/(x)的各极值进行比较得到函数的最值.

题型四：求函数的最值(含参)

【例4】(2023•天津和平•统考三模)已知函数/'(x)=«-alnx,g(x)=(cosx-1)b,其中aeR.

⑴若曲线y=〃x)在x=l处的切线4与曲线y=g(x)在x、处的切线4平行，求。的值；

(2)若无«0㈤时,求函数g(x)的最小值；

⑶若/'(x)的最小值为M。)，证明：当ae(0,+oo)时，

【对点训练16](2023•全国•模拟预测)已知函数〃尤)=alnx+gx-a,aeR.讨论函数f(x)的最值;

【对点训练171(2023•四川成都•成都七中校考模拟预测)己知函数

=$3-g（6+a）x2+（8+6a）x-8aln尤-4a,

其中aeR.

⑴若a=2,求的单调区间;

(2)已知"2)="4),求””的最小值.(参考数据：1<30_41n2)<2)

【对点训练18】(2023•全国•高三专题练习)已知函数〃x)=ln(l+x)+axeT.

(1)当a=-l时，讨论函数/(尤)在(。,+e)上的单调性；

(2)当a20时，求在(T0］内的最大值；

{1_1_1r)yA

【对点训练191(2023•湖南长沙•湖南师大附中校考模拟预测)已知函数/(尤)=1+'inx-—-1(^w0).

⑴若/(x)存在最大值证明：M+k>l；

M-1

⑵在(1)的条件下，设函数ga)=xe'+丁-x，求g(无)的最小值(用含加，左的代数式表示).

【解题方法总结】

若所给的闭区间团，句含参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而

得到函数/(x)的最值.

题型五：根据最值求参数

【例5】(2023•四川宜宾•统考三模)已知函数/(x)=〃zxeT+x-lnM>〃eR).

⑴讨论函数的极值点个数；

(2)若机>0,/(X)的最小值是1+In加，求实数机的所有可能值.

【对点训练20］（2023•山东•山东省实验中学校考一模）若函数〃切=；/+f一2在区间（a-4,a）上存在

最小值，则整数。的取值可以是.

【对点训练2。（2023•全国•高三专题练习）若函数/（x）=12x-Y在区间（〃-5,2机+1）上有最小值，则

实数机的取值范围为.

【对点训练22］（2023•福建泉州•高三统考阶段练习）已知函数〃x）=|x-l|-alnx的最小值为0,则。的

取值范围为.

【对点训练23】（2023•江苏南通•高三校考开学考试）若函数/（X）=\ex+a\-x的最小值为T,则。=.

【对点训练24］（2023•全国•高三专题练习）若函数〃%）=^（-^+2*+°）在区间（。,4+1）上存在最大值，

则实数。的取值范围为

【对点训练25］（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=g/+:x2-2尤+1,若函数在

（2a-2,2a+3）上存在最小值.则实数。的取值范围是.

题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用

【例6】（2023•天津河北•统考二模）已知。＞0,函数〃x）=xlna-alnx+（x-e）2,其中e是自然对数的

底数.

⑴当a=l时，求曲线y=在点。，/⑴）处的切线方程；

⑵当a=e时，求函数的单调区间；

（3）求证：函数/（x）存在极值点，并求极值点与的最小值.

【对点训练26］（2023•全国•高三专题练习）已知函数/5）=2/-3（。+1）尤2+6AX+1,其中aeR.

⑴当°=3时,求函数在（0,3）内的极值;

⑵若函数“X）在［1,2］上的最小值为5）求实数。的取值范围.

【对点训练27】（2023•全国•高三专题练习）已知点x）=e*sinx.

⑴求函数/（尤）在［0,2对内的极值点；

7171

⑵求函数g（x）=/（x）-x在上的最值.

【对点训练28］（2023•全国•高三专题练习）设函数y（x）=ln（a-x）,已知x=0是函数y=W（x）的极值

点.

⑴若函数g（x）=〃x）+e2在（一1,1）内单调递减，求实数机的取值范围；

⑵讨论函数九（x）=4/（x）-x2的零点个数；

（3）求°（%）=在内的最值.

xL'

题型七：不等式恒成立与存在性问题

【例7】（2023•贵州黔东南•凯里一中校考模拟预测）若存在实数（0<&<2）,使得关于x的不等式

3/W6+6<2/+2对x©（°收）恒成立，则b的最大值是----------

【对点训练29］（2023•陕西安康•高三陕西省安康中学校考阶段练习）若不等式三+21114+%-220对

e'-2x

Vxe（O,y）恒成立，则a的取值范围是.

【对点训练30］（2023•全国•高三专题练习）若存在,使得不等式2x-sinx»7"成立，则机的

取值范围为

【对点训练31】(2023•浙江金华•统考模拟预测)对任意的x>l,不等式e-尤4+3尤31nA.一依320恒成立，

则实数。的取值范围为.

【对点训练32】(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(幻=2/+x-k,g(x)=ax3+te2+cx+47(a*O)上

的奇函数，当X=1时，g(x)取得极值一2.

(1)求函数g(M的单调区间和极大值；

(2)若对任意xe[-1,3],都有/(x)Wg(x)成立，求实数％的取值范围；

(3)若对任意％目-1,3],X2G[-1,3],都有/a)vg(%)成立，求实数上的取值范围.

【解题方法总结】

在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最

值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数.

1.(2022.全国.统考高考真题)函数/(x)=cos尤+(x+l)sinx+l在区间[0,2兀]的最小值、最大值分别为()

兀兀B.-羽二­兀兀C-3兀兀c

A.—，一C.—,—F2D.------,—F2

22222222

b

2.(2022•全国•统考高考真题)当x=l时,函数/(x)=oln无+'取得最大值一2,则f'(2)=()

X

1

A.-1B.——C.ID.1

2

3.(2021.全国.统考高考真题)设awO,若为函数〃尤)=a(x-a)2(x的极大值点，则

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

第03讲极值与最值

目录

考点要求考题统计考情分析

(1)借助函数图象，了解高考对最值、极值的考查相对稳

函数在某点取得极值的必定，属于重点考查的内容.高考

要和充分条件.在本节内容上无论试题怎样变

2022年乙卷第16题，5分

(2)会用导数求函数的极化，我们只要把握好导数作为研

2022年/卷第10题，5分

大值、极小值.究函数的有力工具这一点，将函

2022年甲卷第6题，5分

(3)会求闭区间上函数的数的单调性、极值、最值等本质

2021年/卷第15题，5分

最大值、最小值.问题利用图像直观明了地展示出

2021年乙卷第10题，5分

来，其余的就是具体问题的转化

了.最终的落脚点一定是函数的

单调性与最值，因为它们是导数

永恒的主题.

函数的极小值

函数的极大值

极小值点

极值与最值极大值点

函数的最大值

函数的最值函数的最小值

・夯基•必备基础知识梳理

知识点一：极值与最值

1、函数的极值

函数/(X)在点x0附近有定义，如果对毛附近的所有点都有f(x)</(x0),则称f(x0)是

函数的一个极大值，记作，极大值=/(无0).如果对与附近的所有点都有了(XlA/Oo),则称

/(%)是函数的一个极小值，记作y极小值=/(%).极大值与极小值统称为极值，称X。为极值

点.

求可导函数f(x)极值的一般步骤

(1)先确定函数/(元)的定义域；

(2)求导数((无)；

(3)求方程—(x)=0的根；

(4)检验「(x)在方程-(无)=0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在

右侧附近为负，那么函数y=/(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右

侧附近为正，那么函数>=/(x)在这个根处取得极小值.

注：①可导函数/(X)在点X。处取得极值的充要条件是：X。是导函数的变号零点，即

,

/(xo)=O,且在与左侧与右侧，((x)的符号导号.

②/(%)=0是％为极值点的既不充分也不必要条件，如/(%)=尤3,f'(0)=0，但/=0

不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数/(x)=N，在极小值点%=0是不可

导的，于是有如下结论：升为可导函数/(无)的极值点=>/(%)=0;但尸(%)=0/\)为/(%)

的极值点.

2、函数的最值

函数y=/(x)最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数/(幻最小值为

极小值与靠近极大值的端点之间的最小者.

2

导函数为/(x)=ax+bx+c=a(x-xl)(x-x2')(m<xl<x2<n)

(1)当a>0时，最大值是/(西)与/(〃)中的最大者；最小值是/(%)与/(〃。中的最小

者.

(2)当。<0时，最大值是/(%)与/Xm)中的最大者；最小值是/(占)与/(〃)中的最小

者.

一般地，设>=/(元)是定义在［〃?，〃］上的函数，y=/(x)在(m,w)内有导数，求函数

y=f(x)在［加，n\上的最大值与最小值可分为两步进行：

(1)求y=/(x)在(〃?，〃)内的极值(极大值或极小值)；

(2)将y=f(x)的各极值与7'(如和/(〃)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一

个为最小值.

注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最

值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可

能是区间端点处的函数值；

②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；

③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.

【解题方法总结】

(1)若函数〃尤)在区间。上存在最小值"冷向"和最大值/(X)1mJ则

不等式〃x)>a在区间D上恒成立0/(x)m，n>a；

不等式2a在区间。上恒成立O/⑴而"2a；

不等式/'(x)<b在区间。上恒成立o/(x)max<b；

不等式4b在区间D上恒成立o/(x)max<b；

(2)若函数〃尤)在区间。上不存在最大(小)值，且值域为(皿«),则

不等式/(x)>a(或f(x)>a)在区间D上恒成立<=>m>a.

不等式/(无)〈/或/(x)Wb)在区间。上恒成立07〃V/?.

(3)若函数在区间。上存在最小值〃尤)n11n和最大值〃力3,即网可，

则对不等式有解问题有以下结论:

不等式a</(X)在区间。上有解oa</(尤)max;

不等式a4在区间。上有解=a<〃对2；

不等式4>/(尤)在区间。上有解O。>〃尤)1nto；

不等式a2〃尤)在区间。上有解oa2/(x).；

(4)若函数〃x)在区间。上不存在最大(小)值，如值域为(八〃)，则对不等式有

解问题有以下结论：

不等式或aW〃力)在区间£>上有解=a<〃

不等式/(力(或52/(⑼在区间。上有解O机

(5)对于任意的石目。，可，总存在马式!!!，n],使得

〃%)Vg(%)O〃%)a&g(3/；

(6)对于任意的王£[〃，可，总存在々4m,n\,使得

/&)zg㈤o/()1111n>g(x2)min；

(7)若存在b],对于任意的％[m,n],使得

"为)<g(x2)o/a)1nhi泊㈤1nh,；

(8)若存在%]£[〃，b],对于任意的马耳111，n\,使得

(9)对于任意的b],x2e[m,3使得“xjWgf%?)o〃否)111ax<g(%)1nhi；

(10)对于任意的％«a,句,x2e[m,"]使得fa)2g(%)ofa)1nhi2g(w)皿;

(11)若存在6],总存在％w[m,n],使得f(石)4g(4)o/(%)111ta4义仁濡

(12)若存在占6[a,0，总存在/e[m,,使得2(须)2g(3)o〃玉)111ax"伍心.

一提升・必考题型归纳

题型一：求函数的极值与极值点

【例1】(2023唾国•高三专题练习)若函数/(x)存在一个极大值/(不)与一个极小值/(々)

满足了(%)>/(%)，则/'(x)至少有()个单调区间.

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】若函数f(x)存在一个极大值/&)与一个极小值/(々)，则f(x)至少有3个单调

区间，

若/(x)有3个单调区间，

不妨设了（X）的定义域为（4,6），若。＜玉＜%＜6，其中。可以为-00,Z?可以为+°0,

则”X）在（与⑼上单调递增，在（占，%）上单调递减，（若“X）定义域为（。/）内不连

续不影响总体单调性），

故/'（龙2）＜/（石），不合题意，

若。＜%＜见＜6，则”X）在（。,％）,（石,6）上单调递减，在（彳2，石）上单调递增，有

〃%）＜/&）,不合题意；

若/（X）有4个单调区间，

例如f（X）=X+上的定义域为"|X片0},则/（X）=中,

XX

令/＜x）＞0，解得x＞l或x＜-l,

则“X）在（F,-l）,（l,+向上单调递增，在（-1,0）,（0,1）上单调递减，

故函数〃x）存在一个极大值〃T）=-2与一个极小值/⑴=2,且/（-1）＜/（1）,满足题意,

此时“X）有4个单调区间，

综上所述：/（x）至少有4个单调区间.

故选：B.

【对点训练1】（2023•全国•高三专题练习）已知定义在R上的函数/（x）,其导函数尸（x）

C.函数/（x）在无=。处取得极大值，在x=e处取得极小值

D.函数“力的最小值为/（d）

【答案】C

【解析】由题图可知，当x＜c时，f'（x）＞0,所以函数〃无）在（-?,c］上单调递增,

又a＜b＜c,所以/'（a）＜/（》）＜/（c）,故A不正确.

因为/'（c）=0，/'（e）=0,且当x＜c时，/^x）＞0；当cave时，/（%）＜0；

当x>e时，/^)>0.所以函数在x=c处取得极大值，但不一定取得最大值，在尤=

e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确.

由题图可知，当dWe时，尸(力<0,所以函数在⑷e]上单调递减，从而/(d)>/(e),

所以D不正确.

故选：C.

【对点训练2】(2023•全国•模拟预测)已知函数〃x)的导函数为广⑺，则“y=「(x)在

(0,2)上有两个零点”是“〃x)在(0,2)上有两个极值点”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要

条件

【答案】D

【解析】只有当了'(X)在(0,2)上有两个变号零点时，在(0,2)上才有两个极值点，故充

分性不成立；若“X)在(0,2)上有两个极值点，则广(x)在(0,2)上有两个变号零点，则广⑺

在(0,2)上至少有两个零点，故必要性不成立.综上，“广(x)在(0,2)上有两个零点”是“〃x)在

2)上有两个极值点”的既不充分也不必要条件，

故选：D.

【对点训练3】(2023•广西南宁•南宁三中校考一模)设函数〃x)=(x-a)(x->)(x-c),

a,b,cwR,尸(x)为f(x)的导函数.

⑴当a=b=c=0时，过点P(l,0)作曲线y=的切线，求切点坐标；

(2)若出b,b=c,且和尸(x)的零点均在集合，，-2,g，中，求的极小值.

【解析】(1)当〃=b=c=0时,/(x)=x3,求导得1(%)=3炉,

设过点尸(1,0)作曲线y=/⑺的切线的切点为(吃,片)，则r(x。)=3x；,

于是切线方程为y-片=3x；(x-x。)，即y=3%尤-2£,因为切线过点尸(1,0),

即有0=3年-2焉，解得%=0或%所以切点坐标为(0,0),|-,yI.

(2)当a1b,=c时，/(x)=(x-tz)(x-Z?)2=x3-(tz+2Z?)x2+b(2a+b^x-ab2,

求导得*x)=3(尤一bjx令/'(x)=0,得x=b或户立了，

上,2a+b七“〜-人。2〕n,,2a+ba-b

依题忌〃，b,一--都在集合j2,-2,中，且a]b,a------=—^~,

当时，a----------=------->0,且。-------<a-b,贝|〃=2,力=-2,---------=一,

33333

、r,,42a+ba-b八2a+b，皿2a+b2丁人“

当a<Z?时，a-------<0,且。------->a—b,则。=—2,Z7?=2,-----=—,不付

33333

合题意，

因此a=2,b=-2,/(X)=(X-2)(X+2)2,/Z(X)=(X+2)(3X-2),

当XV—2或时2，rw>o,当一2<兀2<*时，/(％)<0,

33

于是函数“X)在(-0-2),1,+，|上单调递增，在1-2,二上单调递减，

所以当x=g时，函数〃x)取得极小值为，|]=-磬.

【对点训练4】(2023•河北•统考模拟预测)已知函数/(x)=4-aln(x+b).

(1)证明：当。>0,》=()时，f(x)有唯一的极值点为%,并求/(%)取最大值时与的值；

⑵当6>0时，讨论了(X)极值点的个数.

【解析】(1)证明：当a>0,8=0时，/(x)=Vx-<7Inx,可得/'(x)的定义域为(。,+°°),

口，，(、1ay[x-2a人r”\郎/日

且尸(x)=^-一=------，令/'(x)=0n,解得x=46,2

2Vxx2x

当0<x<44时，f(x)<0,/(x)单调递减；

当尤>4/时，/(x)>0,单调递增，

所以当x=4/时，〃x)有唯一的极小值，即有唯一的极值点为%=4〃，

由/(.^0)=/(4a2)=V4a2—aln(4a2)=2a—2aln(2a),a>0>

令t=2a，设g(f)=fTlnf,t>。,可得g'⑺=-Inf,

由g(r)=0,解得t=l,

当0<r<l时，g'")>0,g«)单调递增；当t>i时，g'«)<0,gQ)单调递减，

所以当』，即"三时,g⑺有唯一的极大值，即g⑺取得最大值1,

2

所以当/(%)的最大值1时，Xo=4a=l

1ax—2aG+b

(2)当6>0时,“X)的定义域为[0,+⑹，且-(无)=

2\[xx+b2石(x+6)

①当aWO时，尸(幻>0时网6(0,+8)恒成立，此时单调递增,

所以/(尤)极值点的个数为0个；

②当a>0时，设h(&)=x-2a&+b,BPh(x)=x2-lax+b(x>0)

⑴当4a2_伤40,即0<a4扬时，可得/i(x)N0,即/'(x)2。对Vxe(0,+oo)恒成立,

即/(x)在(0,+8)上无变号零点，所以此时/(X)极值点的个数为。个；

(ii)当4a2-4Z?>0,即a>扬时，

设/z(x)的两零点为石,三，且不<%，占+%2=2。>0,=Z?>0,可得玉>0,尤2>。

即/(X)在(0,+8)上有2个变号零点，所以此时“X)极值点的个数为2个；

综上所述，当而时，/(x)的极值点的个数为0；

当a>新时，〃x)的极值点的个数为2.

【对点训练5】(2023•江苏无锡•校联考三模)已知函数〃x)=tan^+ln(17)”［q』［

求〃x)的极值；

【解析】因为函数/(x)=taiu:+ln(l-,所以

rf(\_1-1_11_X-1+COS2%

J1%J=7।=9।=7C2―，

cosx1-xcosxx-1(x-l)cosX

设/z(x)=x—1+cos2x,"(x)=1—2cosxsinx=1—sin2x>0,

所以〃(x)在1上单调递增.

又"0)=0,所以当｝寸，/i(x)<0；当xe(O,l)时，/z(x)>0.

又因为(xT)cos、<0对恒成立，

所以当时，/^)>0；当xe(O,l)时，/'(x)<0.

即/(x)在区间［-今，°)上单调递增，在区间(0,1)上单调递减，

故“X)极大值=〃°)=°，〃x)没有极小值•

【解题方法总结】

1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程/(彳)=0根左右的符号，更要注意变

号后极大值与极小值是否与己知有矛盾.

2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零.这个零点必

须穿越x轴，否则不是极值点.判断口诀：从左往右找穿越(导函数与x轴的交点)；上坡

低头找极小，下坡抬头找极大.

题型二：根据极值、极值点求参数

【例2】(2023•贵州•校联考模拟预测)已知函数/(%)=依3+反在》=1处取得极大值4,

则〃一6=()

A.8B.-8C.2D.-2

【答案】B

【解析】因为/(%)=加+〃丫，所以/'(%)=3加+6,

所以/''(1)=3。+人=0,/(1)=4+6=4,解得。=_2,6=6,

经检验，符合题意，所以。-6=-8.

故选：B

【对点训练6】(2023•陕西商洛•统考三模)若函数/(尤)=Y+ax2+(a+6)x无极值，贝匹

的取值范围为()

A.[-3,6]B.(—3,6)

C.(-QO,-3]u[6,+00)D.(-00,-3)II(6,+oo)

【答案】A

【解析】因为析九)=炉+依2+3+6)%,所以L=3f+2ax+a+6,因为/(%)无极值，所

以(2〃)2-4x3x(〃+6)K0,解得-所以〃的取值范围为[-，6].

故选：A.

【对点训练7】(2023•湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习)函数g(x)="在区间

上,+00)«£N*)上存在极值，贝"的最大值为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】函数g(x)=£的定义域为(0,+功，

一•(x+l)_ln尤,11

\-x____________x+1—xlnx,

g(xJ_--——一一--5-

(x+1)尤(了+1)

=x+1—xlnx,==—In%,

所以当x«o,i)时,/(以>0,当尤qi,物)时，尸(以<o,

所以/(x)=x+l-xlnx在(0,1)单调递增，(1,+⑹单调递减，

所以/(尤)2=")=2>0,

又因为当xe(0,1)时，lnx<0,-xlnx>0,则/'(x)=:t+l-xlnx>。,

/(3)=4-31n3=lne4-ln27>0,

/(4)=5-41n4=lne5-ln256<ln243-In256<0,

所以存在唯一毛e(3,4),使